概率論ppt課件 概率5

§5.1大數(shù)定律§5.2中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理第五章本章要解決的問題

2023/3/1421.為何能以某事件發(fā)生的頻率

作為該事件的概率的估計？2.為何能以樣本均值作為總體期望的估計？3.為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？4.大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)是什么？大數(shù)定律中心極限定理

大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率一、大數(shù)定律主要：(1)頻率穩(wěn)定性(2)大量測量結(jié)果算術(shù)平均值的穩(wěn)定性。定理

設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=2,

則對任意的正數(shù)，有

--------切比雪夫(chebyshev)不等式．切比雪夫不等式證明:（X為連續(xù)型）設(shè)X的概率密度為f(x)，則(1)這個不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下事件|x-μ|<ε的概率的一種估計方法。例如:(2)切比雪夫不等式也從另一角度體現(xiàn)了方差D(X)的意義。從切比雪夫不等式可以看出，隨機(jī)變量X的方差越小，則X的取值越集中在其中心E(X)的附近。方差越小，X取值越集中在區(qū)間(E(X)-ε,E(X)+ε)之內(nèi)。意義：切比雪夫不等式(3)可以證明方差性質(zhì)（P136）例1一臺設(shè)備由10個獨(dú)立工作的元件組成,每一元件在時間T發(fā)生故障的概率為0.05．設(shè)在時間T發(fā)生故障的元件數(shù)為X.試用切比雪夫不等式估計隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望的偏差（若不對稱？P135例5.1）（a）小于2；(b)不小于2的概率．解（a）由題意知X~b(10,0.05)，且由切比雪夫不等式，得E(X)=0.5D(X)=0.475(b)

性質(zhì)：設(shè)則稱隨機(jī)變量序列Y1,Y2,…,Yn

,...依概率收斂于a

，記為:若對任意正數(shù)，有定義1

設(shè)Y1,Y2…,Yn

,...為一隨機(jī)變量序列,a是常數(shù).,g(x,y)在點(diǎn)(a,b)連續(xù),則定理1

（辛欽大數(shù)定理）設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,...相互獨(dú)立同分布，數(shù)學(xué)期望E(Xk)=

(k=1,2,...),則對任意即的>0,有【注】

辛欽大數(shù)定理不要求隨機(jī)變量的方差存在.它為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.證由切比雪夫不等式即推論1（伯努利大數(shù)定律）設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù).p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對任意>0,有因而E(Xk)=p，

(k=1,2,...),由辛欽大數(shù)定理證:因?yàn)橛屑?/p>

1.伯努利大數(shù)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性.【注】2.伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法.在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，往往用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率．

二、中心極限定理中心極限定理的客觀背景

在實(shí)際問題中，常需考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.瞄準(zhǔn)時的誤差，如空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.對我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.

觀察表明，如果一個量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)在我們研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和的規(guī)律性問題：1.當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么？2.在什么條件下極限分布是正態(tài)分布？3.考慮n個隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.定理1

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1,2,...),則定理表明,當(dāng)n充分大時,Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.的分布函數(shù)Fn(x)滿足:對任意實(shí)數(shù)x，有(證明略)獨(dú)立同分布的中心極限定理例1

一盒同型號螺絲釘共100個，已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機(jī)變量，期望值是100g，標(biāo)準(zhǔn)差是10g，求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2kg的概率.且解：設(shè)Xi

為第i個螺絲釘?shù)闹亓?i=1,2,…,100.Xi相互獨(dú)立同分布.于是,一盒螺絲釘?shù)闹亓繛橛芍行臉O限定理定理2(李雅普諾夫定理)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,

E(Xk)=k，D(Xk)=2k0(k=1,2,...),

當(dāng)n充分大時，Zn的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記,若存在>0,使得則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意x，有(證明略)證由§4.2例知,n可以看成n個相互獨(dú)立的服從同一(0-1)分布的隨機(jī)變量X1,...,Xn之和，即定理3(棣莫弗-拉普拉斯定理)設(shè)隨機(jī)變量n(n=1,2,…)服從參數(shù)為n，p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對任意x，恒有此定理表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，所以當(dāng)n充分大時，我們可以用正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布.由定理1知，例2

某車間有200臺車床獨(dú)立工作,設(shè)每臺車床的開工率為0.6,開工時耗電1千瓦，問供電所至少要供多少電才能以不小于99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？

至少供電142千瓦,才能保證車間以不小于99.9%的概率正常工作.

由定理3解記X為200臺車床中工作著的車床臺數(shù)，則X~b(200,0.6)．按題意，要求最小的k，使P{Xk}0.999例3

在人壽保險公司里,有3000個同一年齡的人參加保險.設(shè)在一年內(nèi)這些人的死亡率為0.1%,參加保險的人在一年的頭一天交付保險費(fèi)10元，死亡時，家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元．求（1）保險公司一年中獲利不小于10000元的概率；（2）保險公司虧本的概率是多少？解設(shè)一年中死亡人數(shù)為X，X=0,1,…,3000,死亡率=0.001,則

而由拉普拉斯定理，有(1)P{保險公司獲利不小于10000元}=P{30000-2000X10000}=P{0X10},即一年中保險公司獲利10000元以上的概率為96%．X~b(3000,0.001).而保險公司每年獲利=300010-2000X(元)由此可見保險公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險公司虧本}=P{2000X>30000}=P{X>15}2023/3/14222023/3/14232023/3/1424