高等數(shù)學(xué)全套課件(同濟(jì)五版)第三章 習(xí)題課

習(xí)題課洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容1、羅爾中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、洛必達(dá)法則關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.注意：洛必達(dá)法則的使用條件.5、泰勒中值定理常用函數(shù)的麥克勞林公式Fermat定理中值定理揭示了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的有效工具。是溝通導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)與函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)的重要橋梁。6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法(2)函數(shù)的極值及其求法極值必要條件、第一、第二充分條件求極值的步驟:(3)最大值、最小值問(wèn)題(4)曲線的凹凸與拐點(diǎn)(5)函數(shù)圖形的描繪(6)弧微分曲率曲率圓例1解二、典型例題這就驗(yàn)證了命題的正確性.例2Darboux定理:證首先假定不妨設(shè)如右圖所示oyxab由假設(shè)知由右方鄰近，有由左側(cè)鄰近，有由Fermat

定理,得其次，取介于之間的任意數(shù)

C為明確起見(jiàn)，不妨設(shè)引進(jìn)輔助函數(shù)由上述已證知例3證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一實(shí)根[分析]如令則的符號(hào)不易判別不便使用介值定理用Rolle定理來(lái)證證令則且故由Rolle定理知即在(0,1)內(nèi)有一實(shí)根例4證滿足Rolle定理的條件例5解例6解例7例8證由介值定理,（1）（2）注意到由（1）,（2）有（3）（4）（3）+（4）,得例9問(wèn)方程有幾個(gè)實(shí)根解同時(shí)也是最大值分三種情況討論①由于方程有兩個(gè)實(shí)根，分別位于②方程僅有一個(gè)實(shí)根，即③方程無(wú)實(shí)根①②③例10證（1）（2）（1）–（2）,則有例11解若兩曲線滿足題設(shè)條件,必在該點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),于是有解此方程組得故所求作拋物線的方程為曲率圓的方程為兩曲線在點(diǎn)處的曲率圓的圓心為例12解奇函數(shù)列表如下:極大值拐點(diǎn)極小值作圖例13Rolle定理的推廣形式①證由Rolle定理知②證一則由題設(shè)知故由①知而證二若則結(jié)論顯然成立下設(shè)不妨設(shè)有必存在最大值M即故由Fermat

定理知③證一類似于②證一，作變換證二作變換證三若則結(jié)論顯然成立下設(shè)不妨設(shè)有必存在最小值m即故由Fermat定理知④證明與③類似例14證不妨設(shè)由Lagrange定理，有得注這個(gè)結(jié)論其實(shí)就是Jensen不等式(n=2的情況)其幾何意