單變量最優(yōu)化

單變量最優(yōu)化第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日問題

一頭豬重200磅（1磅=0.454kg）,每天增重5磅，飼養(yǎng)每天需花費45美分。豬的市場價格為每磅65美分，但每天下降1美分。問題：求出售豬的最佳時間。清晰問題：需要回答，獲得最大收益時的出售時間及其收益。第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日1.問題分析與假設(shè)、符號說明涉及的變量：

1.豬的重量w(磅)，

2.飼養(yǎng)時間t≥0(天),3.t天內(nèi)飼養(yǎng)豬的花費C(美元)，

4.豬的市場價格p(美元/磅)，

5.售出生豬所獲得的總收益R(美元)，

6.我們最終獲得的凈收益P(美元).第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日1.問題分析與假設(shè)、符號說明涉及的常量：

1.豬的初始重量200(磅)，

2.飼養(yǎng)每天的花費0.45(美元)，

3.生豬增加重量s(=5磅/天)，

4.當前的市場價格0.65(美元)，

5.生豬的價格下降速率r(=0.01美元/磅.天)。第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日1.問題分析與假設(shè)、符號說明變量之間的關(guān)系：假設(shè)1：豬的重量從初始的200(磅)按每天s(=5磅)增加，于是有關(guān)系：

w(磅)=200(磅)+s(磅/天)×t(天)假設(shè)2：當前的市場價格0.65(美元/磅),生豬的價格下降速率r(=0.01美元/磅.天),那么在t天時出售時生豬的價格為：

p(美元/磅)=0.65(美元/磅)-r（美元/磅.天)×t(天)第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日1.問題分析與假設(shè)、符號說明因此，我們有如下關(guān)系式：飼養(yǎng)生豬的總的費用為：C(美元)=0.45(美元/天)×t(天)

售出生豬時獲得的總收益為：R(美元)=p(美元/磅)×w(磅)

最終獲得的凈收益為：P(美元)=R(美元)-C(美元)小技巧：分析中列出變量的單位有助于檢查所列等式是否有意義。

當生豬賣出獲得最大收益的時間即為最佳出售時間，因此原問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學表達就是求P達到最大時的時間t≥0，其中P的表達式為：

P(t)=R(t)-C(t)=p×w-0.45t=(0.65-rt)(200+st)-0.45t第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日2.建立數(shù)學模型

由上述分析與基本假設(shè)，原問題的數(shù)學模型如下：

(2.1)其中，r,s為模型參數(shù)，此處取值為s=5,r=0.01.第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日3.模型求解

當s=5,r=0.01時，這是一個單變量t的函數(shù)的最優(yōu)化問題，而且P(t)是一個連續(xù)可微的函數(shù)?？梢岳梦⒎e分知識求解，其求解過程如下：(1)求駐點：

P’駐點為：

t*=(-0.45+0.65s-200r)/2rs(3.1)代入常量參數(shù)得到：t*=8(天)，P(8)=133.20(美元)。第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日3.模型求解(2)判斷是否為極值點：函數(shù)P(t)在區(qū)間(0,8)是單調(diào)上升的，而在區(qū)間(8,+∞)是單調(diào)下降的，因此,P(t)在點t*=8達到全局最大值：133.20,圖1為P(t)的圖形。

（圖1凈收益P(t)關(guān)于時間t的曲線）至此，我們可以回答原來的問題答案，在8天后出售，可以獲得最大凈收益133.20美元。第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日4.靈敏性分析

在實際問題中，我們不會有絕對準確的信息，即使能夠建立一個完美的精確的模型，我們也可能采用較簡單和易于處理的近似方法，因此我們必須考察數(shù)學模型的穩(wěn)鍵性：即使數(shù)學模型不完全正確，由其導出的結(jié)果仍然正確。在建模過程中我們提出了兩種類型的假設(shè)：（1）數(shù)據(jù)假設(shè)（2）其它假設(shè)由于我們很少能夠保證這些假設(shè)都是完全正確的，因此我們需要考慮所得結(jié)果對每一條假設(shè)的敏感程度，它是數(shù)學建模過程中的一個重要方面，具體問題與所建立的模型以及求解方法有關(guān)。

第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日4.靈敏性分析：

數(shù)據(jù)是由測量、觀察甚至猜測得到，因此需要考慮數(shù)據(jù)的不準確的可能性。有些數(shù)據(jù)的具有相當大的確定性，如生豬當前的重量，生豬現(xiàn)在的價格，每天飼養(yǎng)花費；有些數(shù)據(jù)的確定性卻很低，如豬的生長速率s，價格的下降速率r。

在前面，我們假設(shè)s=5(磅/天)，r=0.01(美元/天)。第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日1）考慮s不變,r發(fā)生變化時,最佳出售時機關(guān)于價格下降速率的靈敏性

先對r取幾個不同的值做實際計算，觀察其變化規(guī)律，計算結(jié)果見表1。

觀察表1可以得到,隨著r增加,t*減小。更詳細的分析是考察(3.1)式,我們將s=5(磅/天)代入(3.1)中，可得:t*=(2.80-200r)/10r(4.1)

只要t*≥0,即0<r≤0.014,最佳售出時間由(4.1)確定，它們的關(guān)系曲線見圖2。第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日2）考慮r不變,s發(fā)生變化時,最佳出售時機關(guān)于生長速率的靈敏性

先對s取幾個不同的值做實際計算，觀察其變化規(guī)律，計算結(jié)果見表2。

觀察表2可以得到,隨著s增加,t*增加。更詳細的分析是考察(3.1)式,我們將r=0.01代入(3.1)中，可得:t*=(65s-245)/2s(4.2)

只要t*≥0,即s≥3.77,就可以繼續(xù)飼養(yǎng)。最佳售出時間由(4.2)確定，它們的關(guān)系曲線見圖3。第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日

第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日3）在1）和2）中，我們將靈敏性數(shù)據(jù)表示成了絕對改變量的形式，但實際中相對改變量或者百分比改變的形式更加使用。

例如:r的10%的下降導致了t的39%的增加，而s的10%的下降導致t的34%的下降。如果t的改變量為⊿t,則t的相對改變量為⊿t/t，百分比改變量為100⊿t/t；如果r的改變量為⊿r,導致t有⊿t的改變量，則相對改變量的比值為：

令⊿r→0,按照導數(shù)的定義，我們有

稱這個極限值為t對r的靈敏性，記為S(t,r),即有第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日

將r=0.01,t=8代入(4.4)式右端，得

S(t,r)=-7/2（4.5）即若r增加2%，則t下降7%。類似地，將s=5,t=8代入(4.6)式右端，得

S(t,s)=3.0625（4.7）即生豬的生長率增加1%，會導致多等待3%的時間再將生豬售出。注：

通常只需要選擇那些有較大不確定性的參數(shù)進行靈敏性分析，對靈敏性系數(shù)的解釋還依賴于參數(shù)的不確定程度，這會影響我們對答案的自信度。第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日5.穩(wěn)定性與穩(wěn)健性

前面我們已經(jīng)利用靈敏性分析評估了模型對不確定性數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性；現(xiàn)在我們來看看其他類型的假設(shè)。它們可能來自于數(shù)學處理的方便和簡化的目的，在回答問題之后，應(yīng)該考察這些假設(shè)是否過于特殊，以致使結(jié)果無效。在前面的假設(shè)中，極為重要的假設(shè)就是：豬的重量和每磅的價格都是時間的線性函數(shù)，這樣做顯然過于簡單化，不可能嚴格滿足。

（模型失效）例如，根據(jù)這些假設(shè)，從現(xiàn)在起的一年后，豬的重量將是w=2025磅，而賣出所得的收益為p=-3.00美元/磅。第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日

因此，一個更實際的模型應(yīng)該既考慮這些函數(shù)的非線性性，并且考慮到隨著時間推進的不確定性的增加。如果假設(shè)是錯的，模型又怎能給出正確的答案呢？雖然數(shù)學模型力求完美，但這是不可能達到的，一個更確切的說法數(shù)學模型力求接近完美。一個好的數(shù)學模型有穩(wěn)健性，是指雖然它給出的答案并不是完全精確的，但足夠近似從而可以在實際問題中應(yīng)用。現(xiàn)在讓我們來考慮售豬問題中的線性假設(shè)，其基本方程為：P(t)=p(t)w(t)-0.45t

第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日如果模型的初始數(shù)據(jù)和假設(shè)沒有與實際相差太遠,則售豬的最佳時間應(yīng)該由P’(t)=0確定。經(jīng)過簡單計算可得：

p’(t)w(t)+p(t)w’(t)=0.45（5.1）其中（5.1）左端是每天利潤的增值，右端是每天投入的資金（飼養(yǎng)費）。模型告數(shù)我們，只要利潤的增值比飼養(yǎng)的費用增長快，就應(yīng)暫不賣出，繼續(xù)飼養(yǎng)。此外，利潤的增值包含兩個方面：（1）p’(t)w(t)代表因價格下降而損失的價值；（2）p(t)w’(t)代表由于豬增重而增加的價值。

更一般的模型(5.1)在應(yīng)用中會遇到許多實際問題，我們無法知道p(t),w(t)的具體形式，它們是否有意義。生豬是否可以在明天凌晨3點出售？豬價是否可以為無理數(shù)等等.第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日看看一個具體的情況:一個農(nóng)民有一頭重量大約為200磅的豬，在上一周豬每天增重約5磅。5天前豬價為70美分/磅，但現(xiàn)在豬價下降為65美分/磅，他應(yīng)該怎么辦?顯然應(yīng)該以這些數(shù)據(jù)(w=200,w’=5,p=0.65,p’=0.01)為依據(jù)確定何時出售，我們建立的模型正是這樣做的。我們知道p’和w’記在未來幾周內(nèi)不會保持常數(shù)，因此，p和w也不會是時間的線性函數(shù)。但是，只要p’和w’在這段時間內(nèi)的變化不太大，由于假設(shè)它們是線性的而導致的誤差就不會太大。

第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日下面我們給靈敏性分析的結(jié)果一個更一般化的解釋。由于S(t,s)=3,假設(shè)在下幾周內(nèi)豬的實際增長率在每天4.5到5.5磅之間，即為預(yù)期值的10%內(nèi)，則最佳售豬時間會在8天的30%之內(nèi)變化，即5到11天。我們來考察仍在第8天賣出所導致的收益損失。收益:P(t)=(0.65-0.Olt)(200+st)-0.45t最佳出售時間：t*=(65s-245)/2s,計算結(jié)果見表3.

由表3可得，最壞的兩種情況損失均不超過1美元，這說明在短期內(nèi)假設(shè)它們是線性的而導致的誤差就不會太大。第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日在考慮價格。設(shè)我們認為今后幾周內(nèi)