單調(diào)區(qū)間與極值

單調(diào)區(qū)間與極值1第一頁，共三十頁，2022年，8月28日未定式求極限的方法:轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化使用羅必塔法則復習：上節(jié)課的主要內(nèi)容2第二頁，共三十頁，2022年，8月28日兩條經(jīng)驗2).羅比塔法則不是萬能的1).靈活使用羅比塔法則（如，等價無窮小替換，設等3第三頁，共三十頁，2022年，8月28日一、函數(shù)的單調(diào)性4第四頁，共三十頁，2022年，8月28日增減1、函數(shù)單調(diào)性的判斷5第五頁，共三十頁，2022年，8月28日定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導.(1).若在內(nèi)(2).若在內(nèi)單調(diào)減少.,則在上單調(diào)增加.,則在上說明在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零,若則函數(shù)在該區(qū)間上仍是單增(或單減)的.在其余點處恒為正(或負),6第六頁，共三十頁，2022年，8月28日證明應用拉格朗日中值定理(1).設即所以在上單增.（2）證明類似7第七頁，共三十頁，2022年，8月28日解例1.判定函數(shù)在上的單調(diào)性.在上單增.一個函數(shù)并不一定在其整個定義域內(nèi)都是單調(diào)增加或單調(diào)減少,而往往是在定義域內(nèi)的某一部分區(qū)間上單增,在另一部分區(qū)間上單減,函數(shù)的單增區(qū)間,單減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.8第八頁，共三十頁，2022年，8月28日解(1).定義域例2.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.令,得(2).(3).以為分界點,將定義域分割,列表:增減增函數(shù)的單增區(qū)間為:單減區(qū)間為:9第九頁，共三十頁，2022年，8月28日xyo不存在,確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和步驟:(1).求(2)找使的點(駐點),及使不存在的點;(3).以(2)中所找點為分界點,將定義域分割成部分區(qū)間,判斷在每一區(qū)間上導數(shù)的符號，由定理得出結論。觀察圖形可知：(求導）(找點）(列表）10第十頁，共三十頁，2022年，8月28日解(1)定義域例3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2).令,得當時,不存在,(3).列表:增減增函數(shù)的單增區(qū)間為:單減區(qū)間為:練習一下11第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日時,例4.證明當方法１：設所以，在時，是增函數(shù)故有，即，2、函數(shù)單調(diào)性的應用12第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日方法２：設對在上應用拉氏中值定理,,使即因所以即13第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日例5證明：當時，恒有練習一下14第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日二、函數(shù)的極值15第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日定義1設f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,都有極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.若存在1).,則稱為函數(shù)的極大值.2).,則稱為函數(shù)的極小值.1、函數(shù)的極值的定義xyo16第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日注意1)函數(shù)的極值概念是局部性的2)函數(shù)的極值可能有多個3)函數(shù)的極大值可能比極小值小4)函數(shù)的極值不在端點上取17第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日由圖所示,函數(shù)的極大值為:極小值為:函數(shù)的極值在單調(diào)區(qū)間的分界點處取得.xy的最大值為:最小值為:18第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日定理2（必要條件）是極大值.證不妨設由定義知,設函數(shù)在處可導并取得極值,則的某一鄰域內(nèi),恒有在2、極值的求法19第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日條件必要而不充分.即導數(shù)為零的點未必是極值點.注意例y=x3在x=0點導數(shù)為零，但不是極值點。20第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日說明1）導數(shù)不存在的點也可能是函數(shù)的極值點.若，稱點為函數(shù)的駐點.2）極值點只可能在駐點或?qū)?shù)不存在的點取到。21第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日定理3(極值存在充分條件之一)當時,當時,1)若則在處取得極大值.當時,2)若當時,則在處取得極小值.3)若在的鄰近兩側(cè)不變號,則在處沒有極值.在點連續(xù)，在的某一鄰域內(nèi)可導（可除外）設函數(shù)xy22第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日例6.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解.得列表:極大值極小值增減增極大值為:極小值為:23第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值的步驟:(1).求（2）找使的點(駐點),及使不存在的點;(3).以(2)中所找點為分界點,將定義域分割成部分區(qū)間,判斷在每一區(qū)間上導數(shù)的符號，由定理判斷單調(diào)區(qū)間與極值。(求導）(找點）(列表）24第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日（千萬別忘記了定義域）例7.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解(1)定義域為(2)令,得(3).列表:增減極小值練習一下25第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日定理4（極值存在充分條件之二）設函數(shù)處具有二階導數(shù),且在點則當時,為極大值;當時,為極小值.當時,待定26第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日列表:極小值增減減增非極值非極值例8.求函數(shù)的極值.解:得方法１27第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日所以有極小值:定理4失效,用定理3判斷.當時,時,不是極值點當時,時,不是極值點方法228第二十八頁，共三十頁，2022年，8