地球橢球及投影理論課件

第四章地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論14.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系

地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)(或稱元素):長半軸ａ短半軸ｂ橢圓的扁率橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率通常用a,

2為簡化書寫，還常引入以下符號(hào)橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系32、空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)位于總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心；Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺(tái)所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)G；Y軸與此平面垂直，且指向東為正。地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。

常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系53、子午面直角坐標(biāo)系

設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L，在過P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x,y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L,x,y表示。常用坐標(biāo)系及其關(guān)系64、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系

設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系;以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長Ｐ２Ｐ與輔助圓相交Ｐ１點(diǎn)，則OP１與x軸夾角稱為P點(diǎn)的歸化緯度u。

常用坐標(biāo)系及其關(guān)系7常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.2

坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系

9常用坐標(biāo)系及其關(guān)系

令:

pn=N10常用坐標(biāo)系及其關(guān)系空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系11常用坐標(biāo)系及其關(guān)系由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)13B、u、φ之間的關(guān)系

B和u之間的關(guān)系

常用坐標(biāo)系及其關(guān)系14常用坐標(biāo)系及其關(guān)系U、φ之間的關(guān)系Ｂ、φ之間的關(guān)系大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)B=45°時(shí)15橢球面上幾種曲率半徑17橢球面上幾種曲率半徑18卯酉圈曲率半徑(N)

卯酉圈:過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。麥尼爾定理:

假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。橢球面上幾種曲率半徑19卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn):

卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。

橢球面上幾種曲率半徑21主曲率半徑的計(jì)算

以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。

橢球面上幾種曲率半徑22橢球面上幾種曲率半徑2325任意法截弧的曲率半徑

橢球面上幾種曲率半徑26M，N，R的關(guān)系

橢球面上幾種曲率半徑29對(duì)于克拉索夫斯基橢球橢球面上幾種曲率半徑304.4橢球面上的弧長計(jì)算子午線弧長計(jì)算公式

31橢球面上的弧長計(jì)算32橢球面上幾種曲率半徑33如果以B＝90°代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長約為10002137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約為40008549.995m。即一象限子午線弧長約為10000km，地球周長約為40000km。為求子午線上兩個(gè)緯度B１及Ｂ２間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應(yīng)的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，該ΔＸ即為所求的弧長。當(dāng)弧長甚短(例如X≤40km，計(jì)算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午圈的曲率半徑Mｍ

橢球面上的弧長計(jì)算34由子午弧長求大地緯度

迭代解法:

平行圈弧長公式

橢球面上的弧長計(jì)算35橢球面上的弧長計(jì)算子午線弧長和平行圈弧長變化的比較364.5大地線

兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢?它應(yīng)是大地線。相對(duì)法截線

37相對(duì)法截線

大地線38相對(duì)法截線的特點(diǎn):當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A，B，C三個(gè)點(diǎn)處所測得的角度(各點(diǎn)上正法截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。

大地線39大地線大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫大地線。40

大地線的性質(zhì):大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角

在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。長度差異可忽略,方向差異需改化。

大地線41大地線的微分方程和克萊勞方程

大地線的微分方程42大地線的微分方程43大地線的微分方程大地線的克萊勞方程

在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù)44當(dāng)大地線穿越赤道時(shí)當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí)由克萊勞方程可以寫出

454.6將地面觀測值歸算至橢球面

觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。

歸算的兩條基本要求：

①以橢球面的法線為基準(zhǔn)；②將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。將地面觀測的水平方向歸算至橢球面

將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三差改正。

46垂線偏差改正

以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以ξ,η表示，M是地面觀測目標(biāo)m在球面上的投影。垂線偏差對(duì)水平方向的影響是(R-R1)

地面觀測值歸算至橢球面47標(biāo)高差改正

地面觀測值歸算至橢球面48截面差改正

地面觀測值歸算至橢球面49

將地面觀測的長度歸算至橢球面

基線尺量距的歸算

將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長度，以Ｓ０表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度S。

1.垂線偏差對(duì)長度歸算的影響

地面觀測值歸算至橢球面502.高程對(duì)長度歸算的影響

地面觀測值歸算至橢球面51電磁波測距的歸算

地面觀測值歸算至橢球面52地面觀測值歸算至橢球面53

大地測量主題解算4.7.1大地主題解算的一般說明

主題解算分為:短距離(<400km)中距離(<1000km)長距離(1000km以上)

541.以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算。主要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離典型解法：高斯平均引數(shù)法

大地測量主題解算552.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)1)按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面向球面的過渡；2)在球面上解算大地問題；3)按球面上得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)現(xiàn)從圓球向橢球的過渡。典型解法：白塞爾大地主題解算

特點(diǎn)：解算精度與距離長短無關(guān)，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算。可適應(yīng)20000km或更長的距離，這對(duì)于國際聯(lián)測，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都具有重要意義。

大地測量主題解算564.7.2勒讓德級(jí)數(shù)式

為了計(jì)算的級(jí)數(shù)展開式，關(guān)鍵問題是推求各階導(dǎo)數(shù)。

大地測量主題解算57一階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：

大地測量主題解算58三階導(dǎo)數(shù)

大地測量主題解算59

大地測量主題解算60

大地測量主題解算61

大地測量主題解算624.7.3高斯平均引數(shù)正算公式

高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)的基本思想：

首先把勒讓德級(jí)數(shù)在P１點(diǎn)展開改在大地線長度中點(diǎn)M展開，以使級(jí)數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn)M的復(fù)雜性，將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的m點(diǎn)來代替，并借助迭代計(jì)算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。

大地測量主題解算63(1)建立級(jí)數(shù)展開式:

大地測量主題解算64同理可得:

(2)

大地測量主題解算65

大地測量主題解算66

大地測量主題解算(3)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù):67

大地測量主題解算68大地測量主題解算69同理可得：大地測量主題解算70

注意：從公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進(jìn)行公式的計(jì)算。除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問題解算，其計(jì)算經(jīng)緯計(jì)算精度可達(dá)到0.0001”,方位角計(jì)算精度可達(dá)到0.001”。714.7.4高斯平均引數(shù)反算公式

高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導(dǎo)出:上述兩式的主式為:7273已知：求得：744.7.5白塞爾大地主題解算方法

白塞爾法解算大地主題的基本思想:

以輔助球面為基礎(chǔ),將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應(yīng)三角形,由三角形對(duì)應(yīng)元素關(guān)系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。

這種方法的關(guān)鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式,同時(shí)也要解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。

75在球面上進(jìn)行大地主題解算

球面上大地主題正算:已知求解

球面上大地主題反算:已知

求解761、球面三角元素間的相互關(guān)系77

球面上大地主題正解78

球面上大地主題反解方法

792

、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式80在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:81白塞爾提出如下三個(gè)投影條件：1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.大地線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方位角相等；3.球面上任意一點(diǎn)緯度等于橢球面上相應(yīng)點(diǎn)的歸化緯度。

8283以上為白塞爾微分方程.843、白塞爾微分方程的積分8586積分得到下式：87反算:正算:

迭代法:

直接法:88適合于反算:適合于正算:迭代法:直接法:8990將三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)用倍角函數(shù)代替，合并同類項(xiàng)，積分。截去4倍角項(xiàng)，其值小于0.0001秒。91正算：反算：924白塞爾法大地主題正算步驟

1.計(jì)算起點(diǎn)的歸化緯度2.計(jì)算輔助函數(shù)值，解球面三角形可得:3.按公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)A,B,C以及α,β

934.計(jì)算球面長度迭代法:

直接法:945.計(jì)算經(jīng)度差改正數(shù)6.計(jì)算終點(diǎn)大地坐標(biāo)及大地方位角

95965白塞爾法大地主題反算步驟

1.輔助計(jì)算972.用逐次趨近法同時(shí)計(jì)算起點(diǎn)大地方位角、球面長度及經(jīng)差，第一次趨近時(shí)，取δ＝０。98計(jì)算下式,重復(fù)上述計(jì)算過程2.3.計(jì)算大地線長度S4.計(jì)算反方位角991001014.8地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念

1、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程

所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡略地說來就是將橢球面上元素(包括坐標(biāo)，方位和距離)按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上，研究這個(gè)問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。投影變換的基本概念1022、地圖投影的變形1.長度比:

長度比m就是投影面上一段無限小的微分線段ds，與橢球面上相應(yīng)的微分線段dS二者之比。不同點(diǎn)上的長度比不相同，而且同一點(diǎn)上不同方向的長度比也不相同

投影變換的基本概念1032.主方向和變形橢圓

投影后一點(diǎn)的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小長度比的方向，稱為主方向。在橢球面的任意點(diǎn)上，必定有一對(duì)相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個(gè)方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。

投影變換的基本概念104

投影變換的基本概念以定點(diǎn)為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個(gè)長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。105

3.投影變形

1）長度變形

投影變換的基本概念1062）方向變形

投影變換的基本概念1073）角度變形：

角度變形就是投影前的角度u與投影后對(duì)應(yīng)角度u’之差

投影變換的基本概念1084）面積變形：P-14.8.3地圖投影的分類1.按變形性質(zhì)分類1）等角投影：投影前后的角度不變形，投影的長度比與方向無關(guān)，即某點(diǎn)的長度比是一個(gè)常數(shù)，又把等角投影稱為正形投影。

2）等積投影：投影前后的面積不變形.3）任意投影：既不等角，又不等積.

投影變換的基本概念1092.按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類

1）方位投影

取一平面與橢球極點(diǎn)相切，將極點(diǎn)附近區(qū)域投影在該平面上。緯線投影后為以極點(diǎn)為圓心的同心圓，而經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)線交角不變。

LightSource投影變換的基本概念110

2）圓錐投影:取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經(jīng)線剪開成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated投影變換的基本概念1113）圓柱(或橢圓柱)投影

取圓柱(或橢圓柱)與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投影到圓柱面(或橢圓柱面)上，然后將圓柱或橢圓柱展開成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated投影變換的基本概念1123.按投影面和原面的相對(duì)位置關(guān)系分類1)正軸投影：圓錐軸(圓柱軸)與地球自轉(zhuǎn)軸相重合的投影，稱正軸圓錐投影或正軸圓柱投影。2)斜軸投影：投影面與原面相切于除極點(diǎn)和赤道以外的某一位置所得的投影。3)橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉(zhuǎn)軸相垂直，且與某一條經(jīng)線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。除此之外，投影面還可以與地球橢球相割于兩條標(biāo)準(zhǔn)線，這就是所謂割圓錐，割圓柱投影等。投影變換的基本概念1134.9高斯平面直角坐標(biāo)系

1、高斯投影概述

控制測量對(duì)地圖投影的要求（1）采用等角投影(又稱為正形投影)（2）長度和面積變形不大（3）能按高精度的、簡單的、同樣的計(jì)算公式把各區(qū)域聯(lián)成整體

高斯投影描述高斯平面直角坐標(biāo)系114高斯平面直角坐標(biāo)系想象有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面。115投影帶：以中央子午線為軸，兩邊對(duì)稱劃出一定區(qū)域作為投影范圍；

1）分帶原則（1）限制長度變形使其不大于測圖誤差；（2）帶數(shù)不應(yīng)過多以減少換帶計(jì)算工作。

我國規(guī)定按經(jīng)差6°和3°進(jìn)行投影分帶。高斯平面直角坐標(biāo)系2）分帶方法116高斯平面直角坐標(biāo)系

6°帶:

自0°子午線起每隔經(jīng)差6°自西向東分帶，依次編號(hào)1，2，3，…60。我國6°帶中央子午線的經(jīng)度，由73°起每隔6°而至135°，共計(jì)11帶，帶號(hào)用n表示，中央子午線的經(jīng)度用Ｌ０表示。

帶號(hào)及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系：Ｌ０＝６ｎ－３

3°帶:

自東經(jīng)1.5°子午線起，每隔3°設(shè)立一個(gè)投影帶，依次編號(hào)為1，2，3，…，120帶；中央子午線經(jīng)度依次為3°,6°,9°,…,360°。帶號(hào)及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系：117

１.5°帶或任意帶:

工程測量控制網(wǎng)也可采用１.5°帶或任意帶，但為了測量成果的通用，需同國家6°或3°帶相聯(lián)系。n=L/3(四舍五入)Ｌ０＝3ｎ高斯平面直角坐標(biāo)系118高斯平面直角坐標(biāo)系例：某控制點(diǎn)P點(diǎn)按3°帶：按6°帶：119在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸。

高斯平面直角坐標(biāo)系120

6°帶與3°帶的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別

6°帶：從0°子午線起劃分，帶寬6°，用于中小比例尺（1：25000以下）測圖；

3°帶：從1.5°子午線起劃分，帶寬3°，用于大比例尺（如1：10000）測圖。3°帶是在6°帶的基礎(chǔ)上劃分的，6°帶的中央子午線及分帶子午線均作為3°帶的中央子午線，其奇數(shù)帶的中央子午線與6°帶中央子午線重合，偶數(shù)帶與分帶子午線重合。高斯平面直角坐標(biāo)系121高斯平面直角坐標(biāo)系國家統(tǒng)一坐標(biāo)在我國x坐標(biāo)都是正的，y坐標(biāo)的最大值(在赤道上)約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，規(guī)定在橫坐標(biāo)上加上500000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱為國家統(tǒng)一坐標(biāo)。例如：Y=19123456.789m該點(diǎn)位在19帶內(nèi)，橫坐標(biāo)的真值：首先去掉帶號(hào)，再減去500000m，最后得y=-376543.211(m)。

122高斯平面直角坐標(biāo)系分帶存在的問題？邊界子午線兩側(cè)的控制點(diǎn)與地形圖位于不同的投影帶內(nèi)，使得地形圖不能正確拼接，采用帶重疊的方法解決此問題。123高斯投影特點(diǎn)：正形投影，保證了投影的角度的不變性，圖形的相似性以及在某點(diǎn)各方向上的長度比的同一性。由于采用了同樣法則的分帶投影，這既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡便公式和數(shù)表進(jìn)行由于變形引起的各項(xiàng)改正的計(jì)算，并且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進(jìn)行。

高斯平面直角坐標(biāo)系1242、橢球面元素化算到高斯投影面1253)將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計(jì)算方向的曲率改化即方向改化來實(shí)現(xiàn)的。橢球面三角系歸算到高斯投影面的計(jì)算1）將起始點(diǎn)P的大地坐標(biāo)(L，B)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x,y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x,y反算B，L，這項(xiàng)工作統(tǒng)稱為高斯投影坐標(biāo)計(jì)算。

2）將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊P’K’的坐標(biāo)方位角，這是通過計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角γ及方向改化δ實(shí)現(xiàn)的。126因此將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標(biāo)、曲率改化、距離改化和子午線收斂角等項(xiàng)計(jì)算工作。

當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?，以及為將各投影帶?lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。

4)將橢球面上起算邊PK的長度S歸算到高斯平面上的直線長度s。這是通過計(jì)算距離改化Δｓ實(shí)現(xiàn)的。127正形投影的一般條件4.9.2正形投影的一般條件1、長度比的通用公式128正形投影的一般條件129正形投影的一般條件將上述兩式代入（4-334）式，整理，令130正形投影的一般條件131正形投影的一般條件2、柯西.黎曼條件132正形投影的一般條件正形條件m與A無關(guān)，即滿足：133正形投影的一般條件則有：柯西-黎曼條件134正形投影的一般條件考慮到F=0，E=G，長度比公式簡化為135把

代入（4-347），考慮下式正形投影的一般條件136柯西-黎曼條件的另一種解釋方法正形投影的一般條件137正形投影的一般條件如果點(diǎn)在子午線上：L=常數(shù)，dl=0如果點(diǎn)在平行圈上：B=常數(shù)dB=0138正形投影的一般條件三角形ABB’與ACC’相似139高斯投影坐標(biāo)正算4.9.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式1、高斯投影坐標(biāo)正算公式高斯投影必須滿足以下三個(gè)條件：(1)中央子午線投影后為直線；(2)中央子午線投影后長度不變；(3)投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。高斯投影坐標(biāo)正算公式推導(dǎo)如下：140高斯投影坐標(biāo)正算1)由第一個(gè)條件可知，由于地球橢球體是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體，即中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對(duì)稱于中央子午線。x為l的偶函數(shù)，而y則為l的奇函數(shù)。2)由第三個(gè)條件正形投影條件141由恒等式兩邊對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，建立求解待定系數(shù)的遞推公式高斯投影坐標(biāo)正算142高斯投影坐標(biāo)正算m0=?３)

由第二條件可知，位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)該等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午弧長。即當(dāng)l=0時(shí),143高斯投影坐標(biāo)正算144高斯投影坐標(biāo)正算將各系數(shù)代入，略去高次項(xiàng)，精度為0.001m145高斯投影坐標(biāo)反算2、高斯投影坐標(biāo)反算公式

在高斯投影坐標(biāo)反算時(shí)，原面是高斯平面，投影面是橢球面，已知的是平面坐標(biāo)(x,y)，要求的是大地坐標(biāo)(B，L)，相應(yīng)地有如下投影方程：同正算一樣，對(duì)投影函數(shù)提出三個(gè)條件。146高斯投影坐標(biāo)反算1)由第一個(gè)條件可知2)由第三個(gè)條件，正形條件147高斯投影坐標(biāo)反算148高斯投影坐標(biāo)反算3)

由第二條件依次求各系數(shù)因?yàn)樗?49高斯投影坐標(biāo)反算150高斯投影坐標(biāo)反算151高斯投影幾何解釋3、高斯投影正反算公式的幾何解釋152高斯投影幾何解釋153高斯投影的特點(diǎn)高斯投影的特點(diǎn)

(1)當(dāng)l等于常數(shù)時(shí)，隨著B的增加x值增大，y值減??；無論B值為正或負(fù)，y值不變。這就是說，橢球面上除中央子午線外，其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時(shí)還對(duì)稱于中央子午線和赤道。154高斯投影的特點(diǎn)

(2)當(dāng)B等于常數(shù)時(shí)，隨著l的增加，x值和y值都增大。所以在橢球面上對(duì)稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對(duì)稱的曲線，同時(shí)與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。(3)距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，長度變形也愈大。1554.9.4高斯投影坐標(biāo)計(jì)算算例1)WGS84(6378137,298.257223563)A0012463376.650249592.07212)GDZ80(6378140,298.257)A0012463377.797349592.09553)BJ54(6378245,298.3)A0012463420.565749592.9084A001：156平面子午線收斂角4.9.5平面子午線收斂角公式1、平面子午線收斂角的定義1572、公式推導(dǎo)

1）由大地坐標(biāo)L、B計(jì)算平面子午線收斂角γ的公式

平面子午線收斂角158(1)γ為l的奇函數(shù)，而且l愈大，γ也愈大；(2)γ有正負(fù)，當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以東時(shí)，γ為正；在西時(shí)，γ為負(fù)；(3)當(dāng)l不變時(shí)，則γ隨緯度增加而增大平面子午線收斂角159平面子午線收斂角2.平面坐標(biāo)x,y計(jì)算平面子午線收斂角γ的公式160方向改化公式4.9.6方向改化公式161方向改化公式1、方向改化近似公式的推導(dǎo)在球面上四邊形ABED的內(nèi)角之和等于360°+ε由于是等角投影，所以這兩個(gè)四邊形內(nèi)角之和應(yīng)該相等，即162方向改化公式163方向改化較精密公式

方向改化公式164方向改化公式1654.9.7距離改化公式1661)

s與D的關(guān)系167當(dāng)δ取最大40″，s=50km時(shí)，代入上式得。因此，用D代替s在最不利情況下，誤差也不會(huì)超過1mm。而實(shí)際上，邊長要比50km短得多，此時(shí)誤差將會(huì)更小。所以在應(yīng)用上，完全可以認(rèn)為大地線的平面投影曲線的長度s等于其弦線長度D1682、長度比和長度變形1）用大地坐標(biāo)(B,l)表示的長度比m的公式1692）用平面坐標(biāo)(x,y)表示的長度比m的公式170(1)長度比m只與點(diǎn)的位置(B，l)或(x,y)有關(guān)。(2)中央子午線投影后長度不變。(3)當(dāng)y≠0(或l≠０)時(shí)，m恒大于1。(4)長度變形(m-1)與y２（或l２）成比例地增大,而對(duì)某一條子午線來說，在赤道處有最大的變形。1713、距離改化公式將橢球面上大地線長度S描寫在高斯投影面上，變?yōu)槠矫骈L度D。1724.9.8高斯投影的鄰帶坐標(biāo)換算(1)位于兩個(gè)相鄰帶邊緣地區(qū)并跨越兩個(gè)投影帶(東、西帶)的控制網(wǎng)173鄰帶換算方法：(2)在分界子午線附近地區(qū)測圖時(shí)，往往需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制，因此必須將這些點(diǎn)的坐標(biāo)換算到同一帶中(3)當(dāng)大比例尺(1∶10000或更大)測圖時(shí)，特別是在工程測量中，要求采用3°帶、1.5°帶或任意帶，而國家控制點(diǎn)通常只有6°帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了6°帶同3°帶(或1.5°帶、任意帶)之間的相互坐標(biāo)換算問題。174§4.10橫軸墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.10.1通用橫軸墨卡托投影概念

UTM(UniversalTransverseMercatorProjection)投影屬于橫軸等角割橢圓柱投影,它的投影條件是取第3個(gè)條件“中央經(jīng)線投影長度比不等于1而是等于0.9996”，投影后兩條割線上沒有變形，它的平面直角系與高斯投影相同，且和高斯投影坐標(biāo)有一個(gè)簡單的比例關(guān)系，因而有的文獻(xiàn)上也稱它為m0＝0.9996的高斯投影。175176基本公式如下：177UTM投影變形的特點(diǎn)：UTM投影的中央經(jīng)線長度比為0.9996，這是為了使得Ｂ＝０°，ｌ＝３°處的最大變形值小于0.001而選擇的數(shù)值。兩條割線(在赤道上，它們位于離中央子午線大約±１８０ｋｍ(約±１°４０’)處)上沒有長度變形；離開這兩條割線愈遠(yuǎn)變形愈大；在兩條割線以內(nèi)長度變形為負(fù)值；在兩條割線之外長度變形為正值。

UTM投影帶的劃分：

UTM投影的分帶是將全球劃分為60個(gè)投影帶，帶號(hào)1，2，3，…，60連續(xù)編號(hào)，每帶經(jīng)差為６°，從經(jīng)度180°Ｗ和17４°Ｗ之間為起始帶(1帶)，連續(xù)向東編號(hào)。

178直角坐標(biāo)系的實(shí)用公式：4.10.2高斯投影簇的概念

高斯投影簇是概括依經(jīng)線分帶的一簇橫軸等角投影。它應(yīng)滿足的投影