地球橢球及投影理論課件

第四章地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論14.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系

地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)(或稱元素):長半軸ａ短半軸ｂ橢圓的扁率橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率通常用a,

2為簡化書寫，還常引入以下符號橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系32、空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點位于總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心；Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時刻的平均北極點；X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點G；Y軸與此平面垂直，且指向東為正。地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。

常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系53、子午面直角坐標(biāo)系

設(shè)P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x,y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點的位置用L,x,y表示。常用坐標(biāo)系及其關(guān)系64、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系

設(shè)橢球面上P點的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點建立地心緯度坐標(biāo)系;以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長Ｐ２Ｐ與輔助圓相交Ｐ１點，則OP１與x軸夾角稱為P點的歸化緯度u。

常用坐標(biāo)系及其關(guān)系7常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.2

坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系

9常用坐標(biāo)系及其關(guān)系

令:

pn=N10常用坐標(biāo)系及其關(guān)系空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系11常用坐標(biāo)系及其關(guān)系由空間直角坐標(biāo)計算相應(yīng)大地坐標(biāo)13B、u、φ之間的關(guān)系

B和u之間的關(guān)系

常用坐標(biāo)系及其關(guān)系14常用坐標(biāo)系及其關(guān)系U、φ之間的關(guān)系Ｂ、φ之間的關(guān)系大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計算，當(dāng)B=45°時15橢球面上幾種曲率半徑17橢球面上幾種曲率半徑18卯酉圈曲率半徑(N)

卯酉圈:過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。麥尼爾定理:

假設(shè)通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。橢球面上幾種曲率半徑19卯酉圈曲率半徑的特點:

卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。

橢球面上幾種曲率半徑21主曲率半徑的計算

以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。

橢球面上幾種曲率半徑22橢球面上幾種曲率半徑2325任意法截弧的曲率半徑

橢球面上幾種曲率半徑26M，N，R的關(guān)系

橢球面上幾種曲率半徑29對于克拉索夫斯基橢球橢球面上幾種曲率半徑304.4橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式

31橢球面上的弧長計算32橢球面上幾種曲率半徑33如果以B＝90°代入，則得子午橢圓在一個象限內(nèi)的弧長約為10002137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個弧長約為40008549.995m。即一象限子午線弧長約為10000km，地球周長約為40000km。為求子午線上兩個緯度B１及Ｂ２間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應(yīng)的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，該ΔＸ即為所求的弧長。當(dāng)弧長甚短(例如X≤40km，計算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點的子午圈的曲率半徑Mｍ

橢球面上的弧長計算34由子午弧長求大地緯度

迭代解法:

平行圈弧長公式

橢球面上的弧長計算35橢球面上的弧長計算子午線弧長和平行圈弧長變化的比較364.5大地線

兩點間的最短距離，在平面上是兩點間的直線，在球面上是兩點間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢?它應(yīng)是大地線。相對法截線

37相對法截線

大地線38相對法截線的特點:當(dāng)A，B兩點位于同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A，B，C三個點處所測得的角度(各點上正法截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。

大地線39大地線大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點間的最短程曲線叫大地線。40

大地線的性質(zhì):大地線是兩點間惟一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角

在橢球面上進行測量計算時，應(yīng)當(dāng)以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。長度差異可忽略,方向差異需改化。

大地線41大地線的微分方程和克萊勞方程

大地線的微分方程42大地線的微分方程43大地線的微分方程大地線的克萊勞方程

在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù)44當(dāng)大地線穿越赤道時當(dāng)大地線達極小平行圈時由克萊勞方程可以寫出

454.6將地面觀測值歸算至橢球面

觀測的基準(zhǔn)線不是各點相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。

歸算的兩條基本要求：

①以橢球面的法線為基準(zhǔn)；②將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。將地面觀測的水平方向歸算至橢球面

將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項改正為三差改正。

46垂線偏差改正

以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以ξ,η表示，M是地面觀測目標(biāo)m在球面上的投影。垂線偏差對水平方向的影響是(R-R1)

地面觀測值歸算至橢球面47標(biāo)高差改正

地面觀測值歸算至橢球面48截面差改正

地面觀測值歸算至橢球面49

將地面觀測的長度歸算至橢球面

基線尺量距的歸算

將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認為它是基線平均高程面上的長度，以Ｓ０表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度S。

1.垂線偏差對長度歸算的影響

地面觀測值歸算至橢球面502.高程對長度歸算的影響

地面觀測值歸算至橢球面51電磁波測距的歸算

地面觀測值歸算至橢球面52地面觀測值歸算至橢球面53

大地測量主題解算4.7.1大地主題解算的一般說明

主題解算分為:短距離(<400km)中距離(<1000km)長距離(1000km以上)

541.以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，直接在地球橢球面上進行積分運算。主要特點：解算精度與距離有關(guān)，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離典型解法：高斯平均引數(shù)法

大地測量主題解算552.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)1)按橢球面上的已知值計算球面相應(yīng)值，即實現(xiàn)橢球面向球面的過渡；2)在球面上解算大地問題；3)按球面上得到的數(shù)值計算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實現(xiàn)從圓球向橢球的過渡。典型解法：白塞爾大地主題解算

特點：解算精度與距離長短無關(guān)，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算?？蛇m應(yīng)20000km或更長的距離，這對于國際聯(lián)測，精密導(dǎo)航，遠程導(dǎo)彈發(fā)射等都具有重要意義。

大地測量主題解算564.7.2勒讓德級數(shù)式

為了計算的級數(shù)展開式，關(guān)鍵問題是推求各階導(dǎo)數(shù)。

大地測量主題解算57一階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：

大地測量主題解算58三階導(dǎo)數(shù)

大地測量主題解算59

大地測量主題解算60

大地測量主題解算61

大地測量主題解算624.7.3高斯平均引數(shù)正算公式

高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)的基本思想：

首先把勒讓德級數(shù)在P１點展開改在大地線長度中點M展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點M的復(fù)雜性，將M點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的m點來代替，并借助迭代計算便可順利地實現(xiàn)大地主題正解。

大地測量主題解算63(1)建立級數(shù)展開式:

大地測量主題解算64同理可得:

(2)

大地測量主題解算65

大地測量主題解算66

大地測量主題解算(3)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù):67

大地測量主題解算68大地測量主題解算69同理可得：大地測量主題解算70

注意：從公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進行公式的計算。除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問題解算，其計算經(jīng)緯計算精度可達到0.0001”,方位角計算精度可達到0.001”。714.7.4高斯平均引數(shù)反算公式

高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導(dǎo)出:上述兩式的主式為:7273已知：求得：744.7.5白塞爾大地主題解算方法

白塞爾法解算大地主題的基本思想:

以輔助球面為基礎(chǔ),將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應(yīng)三角形,由三角形對應(yīng)元素關(guān)系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進行大地主題解算，最后再將球面上的計算結(jié)果換算到橢球面上。

這種方法的關(guān)鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式,同時也要解決在球面上進行大地主題解算的方法。

75在球面上進行大地主題解算

球面上大地主題正算:已知求解

球面上大地主題反算:已知

求解761、球面三角元素間的相互關(guān)系77

球面上大地主題正解78

球面上大地主題反解方法

792

、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式80在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:81白塞爾提出如下三個投影條件：1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.大地線和大圓弧上相應(yīng)點的方位角相等；3.球面上任意一點緯度等于橢球面上相應(yīng)點的歸化緯度。

8283以上為白塞爾微分方程.843、白塞爾微分方程的積分8586積分得到下式：87反算:正算:

迭代法:

直接法:88適合于反算:適合于正算:迭代法:直接法:8990將三角函數(shù)冪級數(shù)用倍角函數(shù)代替，合并同類項，積分。截去4倍角項，其值小于0.0001秒。91正算：反算：924白塞爾法大地主題正算步驟

1.計算起點的歸化緯度2.計算輔助函數(shù)值，解球面三角形可得:3.按公式計算相關(guān)系數(shù)A,B,C以及α,β

934.計算球面長度迭代法:

直接法:945.計算經(jīng)度差改正數(shù)6.計算終點大地坐標(biāo)及大地方位角

95965白塞爾法大地主題反算步驟

1.輔助計算972.用逐次趨近法同時計算起點大地方位角、球面長度及經(jīng)差，第一次趨近時，取δ＝０。98計算下式,重復(fù)上述計算過程2.3.計算大地線長度S4.計算反方位角991001014.8地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念

1、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程

所謂地圖數(shù)學(xué)投影，簡略地說來就是將橢球面上元素(包括坐標(biāo)，方位和距離)按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上，研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。投影變換的基本概念1022、地圖投影的變形1.長度比:

長度比m就是投影面上一段無限小的微分線段ds，與橢球面上相應(yīng)的微分線段dS二者之比。不同點上的長度比不相同，而且同一點上不同方向的長度比也不相同

投影變換的基本概念1032.主方向和變形橢圓

投影后一點的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小長度比的方向，稱為主方向。在橢球面的任意點上，必定有一對相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。

投影變換的基本概念104

投影變換的基本概念以定點為中心，以長度比的數(shù)值為向徑，構(gòu)成以兩個長度比的極值為長、短半軸的橢圓，稱為變形橢圓。105

3.投影變形

1）長度變形

投影變換的基本概念1062）方向變形

投影變換的基本概念1073）角度變形：

角度變形就是投影前的角度u與投影后對應(yīng)角度u’之差

投影變換的基本概念1084）面積變形：P-14.8.3地圖投影的分類1.按變形性質(zhì)分類1）等角投影：投影前后的角度不變形，投影的長度比與方向無關(guān)，即某點的長度比是一個常數(shù)，又把等角投影稱為正形投影。

2）等積投影：投影前后的面積不變形.3）任意投影：既不等角，又不等積.

投影變換的基本概念1092.按經(jīng)緯網(wǎng)投影形狀分類

1）方位投影

取一平面與橢球極點相切，將極點附近區(qū)域投影在該平面上。緯線投影后為以極點為圓心的同心圓，而經(jīng)線則為它的向徑，且經(jīng)線交角不變。

LightSource投影變換的基本概念110

2）圓錐投影:取一圓錐面與橢球某條緯線相切，將緯圈附近的區(qū)域投影于圓錐面上，再將圓錐面沿某條經(jīng)線剪開成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated投影變換的基本概念1113）圓柱(或橢圓柱)投影

取圓柱(或橢圓柱)與橢球赤道相切，將赤道附近區(qū)域投影到圓柱面(或橢圓柱面)上，然后將圓柱或橢圓柱展開成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated投影變換的基本概念1123.按投影面和原面的相對位置關(guān)系分類1)正軸投影：圓錐軸(圓柱軸)與地球自轉(zhuǎn)軸相重合的投影，稱正軸圓錐投影或正軸圓柱投影。2)斜軸投影：投影面與原面相切于除極點和赤道以外的某一位置所得的投影。3)橫軸投影：投影面的軸線與地球自轉(zhuǎn)軸相垂直，且與某一條經(jīng)線相切所得的投影。比如橫軸橢圓柱投影等。除此之外，投影面還可以與地球橢球相割于兩條標(biāo)準(zhǔn)線，這就是所謂割圓錐，割圓柱投影等。投影變換的基本概念1134.9高斯平面直角坐標(biāo)系

1、高斯投影概述

控制測量對地圖投影的要求（1）采用等角投影(又稱為正形投影)（2）長度和面積變形不大（3）能按高精度的、簡單的、同樣的計算公式把各區(qū)域聯(lián)成整體

高斯投影描述高斯平面直角坐標(biāo)系114高斯平面直角坐標(biāo)系想象有一個橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面。115投影帶：以中央子午線為軸，兩邊對稱劃出一定區(qū)域作為投影范圍；

1）分帶原則（1）限制長度變形使其不大于測圖誤差；（2）帶數(shù)不應(yīng)過多以減少換帶計算工作。

我國規(guī)定按經(jīng)差6°和3°進行投影分帶。高斯平面直角坐標(biāo)系2）分帶方法116高斯平面直角坐標(biāo)系

6°帶:

自0°子午線起每隔經(jīng)差6°自西向東分帶，依次編號1，2，3，…60。我國6°帶中央子午線的經(jīng)度，由73°起每隔6°而至135°，共計11帶，帶號用n表示，中央子午線的經(jīng)度用Ｌ０表示。

帶號及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系：Ｌ０＝６ｎ－３

3°帶:

自東經(jīng)1.5°子午線起，每隔3°設(shè)立一個投影帶，依次編號為1，2，3，…，120帶；中央子午線經(jīng)度依次為3°,6°,9°,…,360°。帶號及中央子午線經(jīng)度的關(guān)系：117

１.5°帶或任意帶:

工程測量控制網(wǎng)也可采用１.5°帶或任意帶，但為了測量成果的通用，需同國家6°或3°帶相聯(lián)系。n=L/3(四舍五入)Ｌ０＝3ｎ高斯平面直角坐標(biāo)系118高斯平面直角坐標(biāo)系例：某控制點P點按3°帶：按6°帶：119在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點O作為坐標(biāo)原點，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸。

高斯平面直角坐標(biāo)系120

6°帶與3°帶的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別

6°帶：從0°子午線起劃分，帶寬6°，用于中小比例尺（1：25000以下）測圖；

3°帶：從1.5°子午線起劃分，帶寬3°，用于大比例尺（如1：10000）測圖。3°帶是在6°帶的基礎(chǔ)上劃分的，6°帶的中央子午線及分帶子午線均作為3°帶的中央子午線，其奇數(shù)帶的中央子午線與6°帶中央子午線重合，偶數(shù)帶與分帶子午線重合。高斯平面直角坐標(biāo)系121高斯平面直角坐標(biāo)系國家統(tǒng)一坐標(biāo)在我國x坐標(biāo)都是正的，y坐標(biāo)的最大值(在赤道上)約為330km。為了避免出現(xiàn)負的橫坐標(biāo)，規(guī)定在橫坐標(biāo)上加上500000m。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號。這種坐標(biāo)稱為國家統(tǒng)一坐標(biāo)。例如：Y=19123456.789m該點位在19帶內(nèi)，橫坐標(biāo)的真值：首先去掉帶號，再減去500000m，最后得y=-376543.211(m)。

122高斯平面直角坐標(biāo)系分帶存在的問題？邊界子午線兩側(cè)的控制點與地形圖位于不同的投影帶內(nèi)，使得地形圖不能正確拼接，采用帶重疊的方法解決此問題。123高斯投影特點：正形投影，保證了投影的角度的不變性，圖形的相似性以及在某點各方向上的長度比的同一性。由于采用了同樣法則的分帶投影，這既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡便公式和數(shù)表進行由于變形引起的各項改正的計算，并且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進行。

高斯平面直角坐標(biāo)系1242、橢球面元素化算到高斯投影面1253)將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。這是通過計算方向的曲率改化即方向改化來實現(xiàn)的。橢球面三角系歸算到高斯投影面的計算1）將起始點P的大地坐標(biāo)(L，B)歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x,y；為了檢核還應(yīng)進行反算，亦即根據(jù)x,y反算B，L，這項工作統(tǒng)稱為高斯投影坐標(biāo)計算。

2）將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊P’K’的坐標(biāo)方位角，這是通過計算該點的子午線收斂角γ及方向改化δ實現(xiàn)的。126因此將橢球面三角系歸算到平面上，包括坐標(biāo)、曲率改化、距離改化和子午線收斂角等項計算工作。

當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫?，以及為將各投影帶?lián)成統(tǒng)一的整體，還需要進行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。

4)將橢球面上起算邊PK的長度S歸算到高斯平面上的直線長度s。這是通過計算距離改化Δｓ實現(xiàn)的。127正形投影的一般條件4.9.2正形投影的一般條件1、長度比的通用公式128正形投影的一般條件129正形投影的一般條件將上述兩式代入（4-334）式，整理，令130正形投影的一般條件131正形投影的一般條件2、柯西.黎曼條件132正形投影的一般條件正形條件m與A無關(guān)，即滿足：133正形投影的一般條件則有：柯西-黎曼條件134正形投影的一般條件考慮到F=0，E=G，長度比公式簡化為135把

代入（4-347），考慮下式正形投影的一般條件136柯西-黎曼條件的另一種解釋方法正形投影的一般條件137正形投影的一般條件如果點在子午線上：L=常數(shù)，dl=0如果點在平行圈上：B=常數(shù)dB=0138正形投影的一般條件三角形ABB’與ACC’相似139高斯投影坐標(biāo)正算4.9.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式1、高斯投影坐標(biāo)正算公式高斯投影必須滿足以下三個條件：(1)中央子午線投影后為直線；(2)中央子午線投影后長度不變；(3)投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。高斯投影坐標(biāo)正算公式推導(dǎo)如下：140高斯投影坐標(biāo)正算1)由第一個條件可知，由于地球橢球體是一個旋轉(zhuǎn)橢球體，即中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線。x為l的偶函數(shù)，而y則為l的奇函數(shù)。2)由第三個條件正形投影條件141由恒等式兩邊對應(yīng)系數(shù)相等，建立求解待定系數(shù)的遞推公式高斯投影坐標(biāo)正算142高斯投影坐標(biāo)正算m0=?３)

由第二條件可知，位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)該等于投影前從赤道量至該點的子午弧長。即當(dāng)l=0時,143高斯投影坐標(biāo)正算144高斯投影坐標(biāo)正算將各系數(shù)代入，略去高次項，精度為0.001m145高斯投影坐標(biāo)反算2、高斯投影坐標(biāo)反算公式

在高斯投影坐標(biāo)反算時，原面是高斯平面，投影面是橢球面，已知的是平面坐標(biāo)(x,y)，要求的是大地坐標(biāo)(B，L)，相應(yīng)地有如下投影方程：同正算一樣，對投影函數(shù)提出三個條件。146高斯投影坐標(biāo)反算1)由第一個條件可知2)由第三個條件，正形條件147高斯投影坐標(biāo)反算148高斯投影坐標(biāo)反算3)

由第二條件依次求各系數(shù)因為所以149高斯投影坐標(biāo)反算150高斯投影坐標(biāo)反算151高斯投影幾何解釋3、高斯投影正反算公式的幾何解釋152高斯投影幾何解釋153高斯投影的特點高斯投影的特點

(1)當(dāng)l等于常數(shù)時，隨著B的增加x值增大，y值減小；無論B值為正或負，y值不變。這就是說，橢球面上除中央子午線外，其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時還對稱于中央子午線和赤道。154高斯投影的特點

(2)當(dāng)B等于常數(shù)時，隨著l的增加，x值和y值都增大。所以在橢球面上對稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對稱的曲線，同時與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。(3)距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，長度變形也愈大。1554.9.4高斯投影坐標(biāo)計算算例1)WGS84(6378137,298.257223563)A0012463376.650249592.07212)GDZ80(6378140,298.257)A0012463377.797349592.09553)BJ54(6378245,298.3)A0012463420.565749592.9084A001：156平面子午線收斂角4.9.5平面子午線收斂角公式1、平面子午線收斂角的定義1572、公式推導(dǎo)

1）由大地坐標(biāo)L、B計算平面子午線收斂角γ的公式

平面子午線收斂角158(1)γ為l的奇函數(shù)，而且l愈大，γ也愈大；(2)γ有正負，當(dāng)描寫點在中央子午線以東時，γ為正；在西時，γ為負；(3)當(dāng)l不變時，則γ隨緯度增加而增大平面子午線收斂角159平面子午線收斂角2.平面坐標(biāo)x,y計算平面子午線收斂角γ的公式160方向改化公式4.9.6方向改化公式161方向改化公式1、方向改化近似公式的推導(dǎo)在球面上四邊形ABED的內(nèi)角之和等于360°+ε由于是等角投影，所以這兩個四邊形內(nèi)角之和應(yīng)該相等，即162方向改化公式163方向改化較精密公式

方向改化公式164方向改化公式1654.9.7距離改化公式1661)

s與D的關(guān)系167當(dāng)δ取最大40″，s=50km時，代入上式得。因此，用D代替s在最不利情況下，誤差也不會超過1mm。而實際上，邊長要比50km短得多，此時誤差將會更小。所以在應(yīng)用上，完全可以認為大地線的平面投影曲線的長度s等于其弦線長度D1682、長度比和長度變形1）用大地坐標(biāo)(B,l)表示的長度比m的公式1692）用平面坐標(biāo)(x,y)表示的長度比m的公式170(1)長度比m只與點的位置(B，l)或(x,y)有關(guān)。(2)中央子午線投影后長度不變。(3)當(dāng)y≠0(或l≠０)時，m恒大于1。(4)長度變形(m-1)與y２（或l２）成比例地增大,而對某一條子午線來說，在赤道處有最大的變形。1713、距離改化公式將橢球面上大地線長度S描寫在高斯投影面上，變?yōu)槠矫骈L度D。1724.9.8高斯投影的鄰帶坐標(biāo)換算(1)位于兩個相鄰帶邊緣地區(qū)并跨越兩個投影帶(東、西帶)的控制網(wǎng)173鄰帶換算方法：(2)在分界子午線附近地區(qū)測圖時，往往需要用到另一帶的三角點作為控制，因此必須將這些點的坐標(biāo)換算到同一帶中(3)當(dāng)大比例尺(1∶10000或更大)測圖時，特別是在工程測量中，要求采用3°帶、1.5°帶或任意帶，而國家控制點通常只有6°帶坐標(biāo)，這時就產(chǎn)生了6°帶同3°帶(或1.5°帶、任意帶)之間的相互坐標(biāo)換算問題。174§4.10橫軸墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.10.1通用橫軸墨卡托投影概念

UTM(UniversalTransverseMercatorProjection)投影屬于橫軸等角割橢圓柱投影,它的投影條件是取第3個條件“中央經(jīng)線投影長度比不等于1而是等于0.9996”，投影后兩條割線上沒有變形，它的平面直角系與高斯投影相同，且和高斯投影坐標(biāo)有一個簡單的比例關(guān)系，因而有的文獻上也稱它為m0＝0.9996的高斯投影。175176基本公式如下：177UTM投影變形的特點：UTM投影的中央經(jīng)線長度比為0.9996，這是為了使得Ｂ＝０°，ｌ＝３°處的最大變形值小于0.001而選擇的數(shù)值。兩條割線(在赤道上，它們位于離中央子午線大約±１８０ｋｍ(約±１°４０’)處)上沒有長度變形；離開這兩條割線愈遠變形愈大；在兩條割線以內(nèi)長度變形為負值；在兩條割線之外長度變形為正值。

UTM投影帶的劃分：

UTM投影的分帶是將全球劃分為60個投影帶，帶號1，2，3，…，60連續(xù)編號，每帶經(jīng)差為６°，從經(jīng)度180°Ｗ和17４°Ｗ之間為起始帶(1帶)，連續(xù)向東編號。

178直角坐標(biāo)系的實用公式：4.10.2高斯投影簇的概念

高斯投影簇是概括依經(jīng)線分帶的一簇橫軸等角投影。它應(yīng)滿足的投影