傅里葉級(jí)數(shù)變換

第二節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)一以為周期的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)1三角級(jí)數(shù)的定義三角級(jí)數(shù)：

系數(shù)：2三角函數(shù)系的正交性函數(shù)列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,

稱(chēng)為三角函數(shù)系。三角函數(shù)系在[]上的正交性：3傅里葉級(jí)數(shù)的直觀推導(dǎo)設(shè)是以為周期的函數(shù)，且能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)，即（注：這里寫(xiě)k而不是寫(xiě)n，是為了推導(dǎo)方便）傅里葉系數(shù)公式：由傅里葉系數(shù)形成的三角級(jí)數(shù)稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)。特別地，若f(x)為奇函數(shù)，則有正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式且若f(x)為偶函數(shù)，則有余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式且4收斂定理（狄利克雷(Dirichlet)充分條件）設(shè)以2為周期的函數(shù)f(x)在上滿(mǎn)足條件：（1）僅有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，其余均為連續(xù)點(diǎn)；（2）至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)；則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，且（1）當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f(x)；（2）當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于5以2為周期的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)舉例例1設(shè)f(x)是以為周期的函數(shù)，它在上的表達(dá)式為試將f(x)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。xOy11函數(shù)圖象：例1表明：矩形波是由一系列不同頻率的正弦波疊加而成的。一般地，將周期函數(shù)f(x)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，在電工學(xué)上叫做諧波分析。其中直流分量：n次諧波：ancosnx+bnsinnx(n1)一次諧波（又叫基波）：a1cosx+b1sinx

例2以為周期的脈沖電壓（或電流）函數(shù)f(t)，在上的表達(dá)式為試將f(t)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。函數(shù)圖象：tOf(t)二或上的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)1若f(x)只在上有定義，且滿(mǎn)足收斂定理的條件，則可將它展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)事實(shí)上，可將f(x)進(jìn)行周期延拓（以為周期）成函數(shù)F(x)，再將F(x)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。由于在內(nèi)有f(x)F(x),這樣便得到f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。根據(jù)收斂定理，在端點(diǎn)處，級(jí)數(shù)收斂于

2若f(x)只在上有定義，且滿(mǎn)足收斂定理的條件，也可以將之展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)通常的延拓方法：（1）奇延拓f(x)成F(x),將F(x)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，由于在內(nèi)F(x)f(x)，故得f(x)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式

（2）偶延拓f(x)成F(x),將F(x)展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)。由于在內(nèi)f(x)F(x),

故得f(x)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)可根據(jù)收斂定理判定其收斂情況.例3將