分類變量的重復(fù)測量

分類變量的重復(fù)測量第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日

分類變量（categoricalvariable）又稱為定性變量（qualitativevariable），在工作中應(yīng)用甚廣。根據(jù)其不同的取值性質(zhì)，又可分為3種類型：第一種是名義刻度（nominalscale）的分類變量，它是按事物屬性分類的變量，如性別、職業(yè)等。在統(tǒng)計學(xué)上為了計算方便，將這些不同的屬性進(jìn)行數(shù)量化處理，如男性賦值為1，女性賦值為2。這種數(shù)值只是作為屬性的代碼，其間并無大小之分。第二種為有序刻度(ordinalscale)的分類變量，它是根據(jù)事物呈現(xiàn)出的程度或水平不同進(jìn)行賦值。如臨床化驗結(jié)果用符號“-、+、++、+++”，文化程度用“文盲、小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)、研究生”來劃分等級，在進(jìn)行數(shù)量化處理時賦值1、2、3、…。這里需要注意的是，1與2之差不一定等于2與3之差。第三種是區(qū)間刻度（intervalscale)，如人口學(xué)統(tǒng)計中的年齡分組，“0-，10-，20-，…”就是典型的例子。根據(jù)資料的性質(zhì)，區(qū)間跨度有等距的，也有不等距的。第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日把分類變量作為反應(yīng)變量進(jìn)行重復(fù)觀察的情形在工作中應(yīng)用較廣。在本書第九章第五節(jié)中介紹了二分類反應(yīng)變量的重復(fù)測量資料分析方法。本章將介紹分類反應(yīng)變量重復(fù)測量資料的一般分析方法。主要介紹加權(quán)最小二乘法分析方法。第一節(jié)一個總體的二分類反應(yīng)重復(fù)測量資料的分析。第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日第一節(jié)二分類反應(yīng)重復(fù)測量

資料的分析一、資料結(jié)構(gòu)設(shè)有n例受試者，反應(yīng)變量y，分為r水平（當(dāng)r=2時稱y為二分類反應(yīng)變量)，有p個觀測時間點，每一受試者可能出現(xiàn)的結(jié)果共有rp種。當(dāng)r=2、p=3時的所有可能結(jié)果共有8種。當(dāng)對y用（0，1）賦值方法時，n例受試者在這8種組合情況下出現(xiàn)的邊際合計數(shù)為n000至n111。詳細(xì)分配情況見下面示意圖圖11.1。第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日邊際合計數(shù)n000至n111是每種可能取值結(jié)果組合情況下的觀察例數(shù)?？偫龜?shù)n為邊際合計數(shù)之和。如果將上述示意圖資料按獨立觀察資料整理各時間點的頻數(shù)分布時（表11.1),每一時間點的合計數(shù)都為n=n1+=n2+=n3+，總例數(shù)變成了3n而不是n。但實際是觀察例數(shù)為n，觀察次數(shù)為3n。一般統(tǒng)計學(xué)方法是以表11.1的資料類型為出發(fā)點進(jìn)行分析的。而本章介紹的方法是以圖11.1的邊際合計數(shù)為出發(fā)點進(jìn)行分析的。第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日二、模型結(jié)構(gòu)受試者i在時間點j的反應(yīng)變量為yij

，其取值概率為pj，（j=1,…,p）。單總體重復(fù)測量資料的任務(wù)為是要分析這p個概率p1，…，pp，是否相等。令反應(yīng)頻數(shù)的某種函數(shù)即反應(yīng)函數(shù)（responsefunction）F＝f（m），建立的線性模型為：式中X為d×q維的設(shè)計矩陣，d=(r-1)p，為反應(yīng)函數(shù)。B為q維未知參數(shù)。第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日由于每一個體在不同時間點的反應(yīng)變量的取值是相關(guān)的，因此，在配合模型時應(yīng)將這種相關(guān)性納入模型中。對式（11.1)求參數(shù)估計值的加權(quán)最小二乘解法就是在考慮到這種相關(guān)性的基礎(chǔ)上建立起來的。模型（11.1)的加權(quán)最小二乘解法求參數(shù)?的估計值的計算公式為第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日例11.1一項藥物對風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎的治療效果觀察。用一種藥物對46名患風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎的病人進(jìn)行治療，共三個療程。每個療程結(jié)束后評價其治療效果。有效者記為yij=1，否則yij=0i=1，…,46;j=1,2,3。資料列于表11.2中。表中的T1,T2,T3分別代表三個療程。本項研究的目的是探討不同療程的療差別。第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日三、配合線性模型的步驟

表11.2為資料的原始記錄形式，需要將其整理成邊際頻數(shù)表的格式后再配合模型。計算步驟介紹如下。

1.首先用下列SAS程序計算邊際合計數(shù)程序中的subj為受試者號，time1、time2、time3代表3個療程。第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日計算出的邊際頻數(shù)列于表11.3中。從而得到邊際頻數(shù)向量n及其函數(shù)邊際頻率向量m為：

n=(616242466)’M=(6/460.34780.04350.08700.04350.08700.13040.1304)’

用nj及mj表示向量n及m中的元素。

2.給出轉(zhuǎn)換矩陣A本例的轉(zhuǎn)換矩陣A的結(jié)構(gòu)為

A的作用是將反應(yīng)頻率M轉(zhuǎn)換成反應(yīng)函數(shù)F。第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日

3.求出反應(yīng)函數(shù)F它是每一時間點反應(yīng)變量各個水平的邊際概率。但它不包含該反應(yīng)變量最后一個水平的反應(yīng)概率。本例有3個時間點（time1time2time3），每個時間點的反應(yīng)變量為r=2水平，故每一時間點只有一個反應(yīng)函數(shù)。共有3個反應(yīng)函數(shù)為：如f1=0.6086957=0.1304348+0.3478261+0.0434783+0.0869565第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日以上分析可用SAS的CATMOD過程。程序如下：

PROCCATMODDATA=exmp11_1order=DATA;RESPONSEMARGINALS;MODELtime1*time2*time3=_RESPONSE_/ONEWAYCOV;REPEATEDtime3/_RESPONSE_=time;RUN;

程序中的RESPONSEMARGINALS語句是指定反應(yīng)函數(shù)為在MODEL中規(guī)定的反應(yīng)變量的邊際概率。輸出結(jié)果見表11.5、表11.6、表11.7。第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日

從輸出的表11.5反應(yīng)函數(shù)和協(xié)方差矩陣中看出，第一和第二療程的有效率都為0.6087（60.87%），第三療程的有效率為0.3478（34.78%）。從表11.6方差分析看，標(biāo)記‘time’的有效率分析，第三療程的效果顯著低于前兩個療程。對各療程療效一致性的假設(shè)檢驗可用下列公式計算。令對比矩陣C為：

第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日從表11.7加權(quán)最小二乘估計值分析可見，有關(guān)TIME的兩個參數(shù)估計值都為正值，反映藥物在療程1、2期的效果優(yōu)于第3期的效果。第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日在程序中的REPEATED語句的下面加入CONTRAST語句：CONTRAST‘time1VStime3’_RESPONSE_21;

或CONTRAST‘time1VStime3’ALL_PARMS021;為了檢驗第一療程與第三療程療效的相等性，所用的檢驗假設(shè)為：Ho：2＝－2－3或Ho:22＋3＝0；H1：22＋30這是因為在參數(shù)化時用了關(guān)系式4＝－2－3（4代表第三療程療效），故有2＝4等價于2＝－2－3第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日

上述SAS程序是用每個病例的記錄建立數(shù)據(jù)集配合模型用的，也可以用頻數(shù)表資料（表11.3)配合模型。所用SAS程序為：得到輸出結(jié)果見表11.8。從表11.8對比分析看出，第一期的療效與第三期療效間有顯著差異（P＝0.0161）。第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日DATAexmpl1_1;INPUTtime1time2time3count;CARDS;111611016101210040112010400160006;PROCCATMODDATA=exmpl1_1ORDER=DATA;RESPONSEMARGINALS;WEIGHTcount;MODELtime1*time2*time3=_RESPONSE_/ONEWAYCOV;REPEATEDtime3/_RESPONSE_=time;RUN;第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日第二節(jié)多組資料的分析方法

當(dāng)有多組資料時，統(tǒng)計分析所要回答的問題有三點：①資料是否存在組間差異。②反應(yīng)是否隨時間變化。③是否存在處理組與時間之間的交互效應(yīng)。分析所用公式以及計算步驟與單總體的情形基本一致。下面用一個具有二分類反應(yīng)變量的2組重復(fù)測量資料為例加以介紹。第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日例11.2對65歲及以上老年人參與某項社會活動的6年追蹤調(diào)查。樣本量為男性662人，女性1311人，分別在當(dāng)年、第3年和第6年調(diào)查他們參與社會活動的情況。反應(yīng)變量y的賦值規(guī)則為：

y=1經(jīng)常參加該項社會活動

0不經(jīng)常參加該項社會活動資料列于表11.9中。本例的分組變量為性別，分組數(shù)a＝2。反應(yīng)變量y的分類數(shù)：r＝2。重復(fù)測量時間點數(shù)p＝3。計算步驟如下。第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日

1．列出邊際頻數(shù)矩陣N及相應(yīng)的邊際頻率矩陣M每一組的邊際頻數(shù)占一列，即N＝(n1’，n2)。與之對應(yīng)，每一組的邊際頻率也占頻率矩陣中的一列，即M＝(ml’，m2’)。第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日同時可以建立一個16×1維的邊際頻率向量L為：

L＝(0.690.070.020.040.030.020.020.120.590.050.020.040.020.030.030.22）’

2.建立轉(zhuǎn)換矩陣A由于每一組都是3個反應(yīng)變量，每一反應(yīng)變量具有2個水平，所以所建立的轉(zhuǎn)換矩陣A與例11．1的A完全相同。即第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日3．計算反應(yīng)函數(shù)F第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日

4．分組計算邊際頻率mg（g＝1，2）的協(xié)方差矩陣V（ml）和V（m2）5．兩組反應(yīng)頻率的協(xié)方差矩陣V（M）本例的V（M）為16×16維矩陣，對角元素為V（mg），非主對角元素為0。第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日

6．求F的協(xié)方差矩陣V（F）本例的V（F）為6×6維矩陣：7．定設(shè)計矩陣X例11.2資料的設(shè)計矩陣（含交互效應(yīng)）見表11.11．第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日故本例含有交互作用項的設(shè)計矩陣為：第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日

8．用式（11.2）計算參數(shù)估計值（表11.12）第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日9．用對比矩陣C作兩組比較的假設(shè)檢驗C的結(jié)構(gòu)為：利用式（11.6）得到2＝31.38，自由度＝3，查附表3：2界值表，有20.05（3）＝7.81，反映兩組間的差異有統(tǒng)計學(xué)意義。以上計算過程所用SAS程序如下：第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日DATAexmpl1_2;inputgender$year0year3year6count@@;CARDS;f111904f11088f10125f10051f01133f01022f00130f000158m111391m11036m10112m100143m01115m01021m00118m000143;PROCCATMODORDER=DATA;WEIGHTcount;RESPONSEmarginals;MODELyear0*year3*year6=gender|_RESPONSE_/PRED=FREQCOV;REPEATEDyear;RUN;第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日輸出結(jié)果見表11.13－表11.17。第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日

從輸出表11.17方差分析結(jié)果看，性別（gender）和年份（year）都有顯著的統(tǒng)計學(xué)意義（P＜0.0001）；但性別*年份（gender*year）間交互作用無顯著的統(tǒng)計學(xué)意義（P＝0.6476）。因此，在模型中剔除交互作用項后從新配合下列模型：

MODELyear0*year3*year6＝gender＿RESPONSE＿/FRED＝FREQCOV；

得到輸出結(jié)果見表11.18，表11.19。第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日

輸出結(jié)果表11.19表明，性別間的差異和年份間的差異都具有統(tǒng)計學(xué)意義。由于無性別關(guān)年份交互作用，所以不同性別受試者對參與某項社會活動的時間趨勢是類似的。為進(jìn)一