傳輸原理邊界層理論

傳輸原理邊界層理論第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日邊界層理論本章主要內(nèi)容1.介紹邊界層的基本概念及特點(diǎn)；2.平面層流邊界層微分方程及其求解；3.平面層流邊界層積分方程及其求解；4.平板繞流摩擦阻力的計(jì)算

第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日邊界層理論

理論形成的背景：實(shí)際流體流動(dòng)方程是非線(xiàn)性偏微分方程，難以求解；人們注意到大多數(shù)實(shí)際流體的流動(dòng)都可以分為兩個(gè)區(qū)域，即靠近壁面、速度梯度較大的一薄層（邊界層）和大部分遠(yuǎn)離壁面、速度梯度較小的區(qū)域。對(duì)速度梯度較小的區(qū)域可以利用理想流體的歐拉方程和伯努利方程求解；對(duì)很薄的邊界層可以通過(guò)簡(jiǎn)化后再求解。這樣就將整個(gè)區(qū)域求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為主流區(qū)的理想流體的流動(dòng)問(wèn)題和靠近壁面邊界層內(nèi)的流動(dòng)問(wèn)題。當(dāng)然，與此同時(shí)就有一個(gè)區(qū)域的劃分問(wèn)題或者說(shuō)有一個(gè)邊界層厚度的確定問(wèn)題。第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日邊界層理論

意義：粘性流體流動(dòng)理論應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，明確了研究理想流體流動(dòng)的實(shí)際意義，在流體力學(xué)的發(fā)展中起了非常重要的作用。第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)邊界層的基本概念一、邊界層的定義邊界層：流體在流經(jīng)固體壁面時(shí)，在固體壁面形成速度梯度較大的流體薄層。邊界層的厚度：流速相當(dāng)于主流區(qū)速度的99%處，到固體壁面的距離稱(chēng)為邊界層厚度。二、邊界層的形成與特點(diǎn)為什么會(huì)形成邊界層？因?yàn)榱黧w內(nèi)部存在粘附力或粘性力。我們已經(jīng)知道：流體流過(guò)管道時(shí)，其流動(dòng)形態(tài)是通過(guò)雷諾數(shù)來(lái)判別的。Re=dυρ/η第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)邊界層理論的基本概念當(dāng)Re<Recr時(shí)，流動(dòng)為層流；Re>Recr

時(shí)，流動(dòng)為湍流。對(duì)于流體掠過(guò)平板的流動(dòng)，流動(dòng)形態(tài)仍然可通過(guò)雷諾數(shù)來(lái)判別，不過(guò)此時(shí)的雷諾數(shù)用Rex=xν0ρ/η計(jì)算。其中：x

為流體進(jìn)入平板的長(zhǎng)度，又稱(chēng)進(jìn)流深度；ν0為主流區(qū)流體速度。對(duì)于光滑平板而言：Rex<2×105時(shí)為層流；Rex>3×106時(shí)為湍流；2×105<Rex<3×106為層流到湍流的過(guò)渡區(qū)。第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日

第一節(jié)邊界層理論的基本概念（1）層流區(qū)：x<xc

（xc為對(duì)應(yīng)于Rex=2×105的流進(jìn)深度。）（2）過(guò)渡區(qū)：隨著流進(jìn)深度的增長(zhǎng)，當(dāng)x>xc

，使得Rex>2×105，且Rex<3×106時(shí)。在這一區(qū)域內(nèi)，邊界層的厚度隨著流進(jìn)尺寸的增加而迅速增加。（3）湍流區(qū)：隨著流進(jìn)尺寸的進(jìn)一步增加，使得Rex>

3×106，這時(shí)邊界層內(nèi)的流動(dòng)形態(tài)已進(jìn)入湍流狀態(tài)，邊界層的厚度隨流進(jìn)長(zhǎng)度的增加而迅速增加。第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)邊界層理論的基本概念應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)的是：無(wú)論過(guò)渡區(qū)還是湍流區(qū)，其邊界層最靠近壁面的一層始終都是作層流運(yùn)動(dòng)，此即所謂的層流底層。注意：層流底層和邊界層的區(qū)別與聯(lián)系層流底層是根據(jù)有無(wú)脈動(dòng)現(xiàn)象來(lái)劃分；邊界層則是根據(jù)有無(wú)速度梯度來(lái)劃分。邊界層內(nèi)的流體可以是層流流動(dòng)，也可以是作湍流流動(dòng)。第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)邊界層理論的基本概念第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）一、微分方程的建立對(duì)于二維平面不可壓縮層流穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，在直角坐標(biāo)系下滿(mǎn)足的控制方程為連續(xù)性方程x方向動(dòng)量傳輸方程y方向動(dòng)量傳輸方程第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）考慮不可壓縮流體作平面層流（二維流場(chǎng)），此時(shí)質(zhì)量力對(duì)流動(dòng)產(chǎn)生的影響較小，則有方程組連續(xù)性方程x方向動(dòng)量傳輸方程y方向動(dòng)量傳輸方程因?yàn)槭且粋€(gè)無(wú)窮小量，所以是一個(gè)高價(jià)無(wú)窮小，可以略去不計(jì)。第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）于是，

x方向動(dòng)量傳輸方程可簡(jiǎn)化為關(guān)于y軸方向上的動(dòng)量傳輸方程，因?yàn)檫吔鐚雍穸圈暮苄?，第三式中的Vy對(duì)x和y的各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)與x軸方向上的動(dòng)量傳輸相比均屬無(wú)窮小量，可略而不計(jì)。因而，第三式可以簡(jiǎn)化為第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）對(duì)主流區(qū)中的同一y值，不同的x值其伯努利方程可寫(xiě)為由于ρ與υ0皆為常數(shù)，故p為常數(shù)，即dp/dx=0因此第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）

普朗特邊界層微分方程的解是由他的學(xué)生布拉修斯在1908年首先求出的，他首先引入了流函數(shù)的概念，得出邊界層微分方程的解是一無(wú)窮級(jí)數(shù)。所以，原方程組就簡(jiǎn)化為

定解條件為第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)平面層流邊界層微分方程（普朗特邊界層微分方程）邊界層厚度δ與流進(jìn)距離x和流速υ0的關(guān)系為式中：Cn為二項(xiàng)式的系數(shù)；A2為系數(shù)，可由邊界條件確定。第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）

一、

邊界層積分方程的建立

前面將連續(xù)性方程與納維爾～斯托克斯方程應(yīng)用于邊界層，并通過(guò)合理的簡(jiǎn)化處理，使方程的形式大為簡(jiǎn)化。但所得到的布拉修斯解仍然是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，使用時(shí)很不方便。而且還只能用于平板表面層流邊界層。現(xiàn)在我們將直接從動(dòng)量守恒定律出發(fā)，建立邊界層內(nèi)的動(dòng)量守恒方程。第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）

1）從AB面單位時(shí)間流入的質(zhì)量記為mx、動(dòng)量記為Mx

對(duì)如圖所示的二維平面流動(dòng)問(wèn)題，取圖示的控制體（單元體），斷面為ABCD，垂直于圖面方向（z軸方向）取單位長(zhǎng)度。

第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）2）從CD面單位時(shí)間流出的動(dòng)量記為Mx+Δx，流出的質(zhì)量記為mx+Δx

3）從BC面單位時(shí)間內(nèi)流入的質(zhì)量記為ml，流入的動(dòng)量在x方向的分量記為Ml；而AD面沒(méi)有流體的流入、流出。第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）根據(jù)質(zhì)量守恒定律，則有BC面在邊界層之外，流體沿x方向的速度近似等于υ0，故此由BC面流入的動(dòng)量在x方向的分量Ml4）AD面沒(méi)有質(zhì)量流入、流出，但有動(dòng)量通量存在，其值為τ0，故此由AD面在單位時(shí)間內(nèi)傳給流體的粘性動(dòng)量為τ0Δx。第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）5）沿x方向一般情況下還存在著壓力梯度。所以，由于作用在AB面和CD面上的壓力差而施加給控制體的作用力為通過(guò)前面的推導(dǎo)我們已經(jīng)知道所以，上式變?yōu)榈诙?yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）建立動(dòng)量守恒方程如下化簡(jiǎn)后得第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）上式就是邊界層積分方程，也稱(chēng)為馮～卡門(mén)方程。由前面的分析我們知道是一小量，可略去不計(jì)，這時(shí)方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）上式即為簡(jiǎn)化后的馮～卡門(mén)方程，可以用于不同的流態(tài)，只要是不可壓縮流體就可。二、層流邊界層積分方程的解波爾豪森是最早解出馮～卡門(mén)方程的人，他分析了方程的特點(diǎn)，假設(shè)在層流情況下，速度的分布曲線(xiàn)是y的三次方函數(shù)關(guān)系，即υx=a+by+cy2+dy3式中的四個(gè)待定常數(shù)a、b、c、d

可由以下邊界條件確定：第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）這些邊界條件是條件1），2），3）是顯而易見(jiàn)的;條件4）是由于y=0時(shí)，υx=υy=0；

再結(jié)合前面推導(dǎo)的普朗特微分方程而得到第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日利用上述邊界條件確定出：a=0，c=0，第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）因此，速度分布可表示為或者將上式聯(lián)立馮-卡門(mén)方程，就可求出速度分布和邊界層厚度δ

上式給出了邊界層厚度δ與進(jìn)流距離和速度的關(guān)系。第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）三、湍流邊界層內(nèi)積分方程的解在湍流情況下，馮-卡門(mén)積分方程中的τ0為一般的應(yīng)力項(xiàng)，要想解上述方程也必須補(bǔ)充一個(gè)υx與δ之間的關(guān)系式，它不能由波爾豪森的三次方函數(shù)給出，此時(shí)要借助圓管內(nèi)湍流速度分布的1/7次方定律用邊界層厚度δ代替式中的R得到

用它來(lái)代替波爾豪森多項(xiàng)式的速度分布，根據(jù)圓管湍流阻力的關(guān)系式，得出壁面切應(yīng)力τ0為

第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）代入積分方程可得到將它和積分后得第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程（馮—卡門(mén)方程）由邊界條件由此可見(jiàn)：湍流邊界層厚度（δ∝x4/5），比層流邊界層厚度（δ∝

x1/2）隨進(jìn)流距離增加而增厚要快得多。從而得到湍流邊界層厚度的分布第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算

對(duì)于實(shí)際流體掠過(guò)平板作層流流動(dòng)，由于流體粘性的作用，使得流體和平板之間存在著相互作用力，即根據(jù)上式，如果我們知道流體在邊界層內(nèi)的速度分布υx和流體的動(dòng)力粘度η，則平板對(duì)流體的作用力就可以很方便地通過(guò)上式求出。第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算一、不可壓縮流體作層流掠過(guò)平板表面流動(dòng)時(shí)的摩擦阻力

通常定義摩擦阻力系數(shù)Cf為對(duì)于長(zhǎng)度為L(zhǎng)、寬度為B的平板，其總阻力S為我們注意到第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算即可求出層流條件下掠過(guò)平板表面的摩擦阻力系數(shù)Cf請(qǐng)注意：講義中此處應(yīng)補(bǔ)充以下內(nèi)容霍華斯（Howarth)對(duì)微分方程通過(guò)數(shù)值計(jì)算給出。其中第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算

另一方面，由邊界層積分方程的解，也可以計(jì)算出層流平面繞流摩擦阻力，所以，總阻力即由和可得到注意：原教材中該部分多處有誤！請(qǐng)參照改正。（P71）第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算以上的推導(dǎo)可見(jiàn)：無(wú)論從邊界層微分方程出發(fā)還是從邊界層積分方程出發(fā)，都可以求出固體壁面與流體之間的摩擦力，其結(jié)果相差不大。所以聯(lián)立式同樣可求得層流條件下掠過(guò)平板表面的摩擦阻力系數(shù)Cf第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算二、不可壓縮流體作湍流流動(dòng)掠過(guò)平板表面時(shí)的摩擦阻力計(jì)算湍流掠過(guò)平板表面時(shí)，流體與平壁之間的摩擦阻力不僅與分子粘性有關(guān)，而且還與湍流的脈動(dòng)有關(guān)。此時(shí)在邊界層內(nèi)借助速度的1/7次的經(jīng)驗(yàn)公式，即把它代入馮?卡門(mén)方程可得第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算此時(shí)δ由湍流邊界層公式給出，即

對(duì)于長(zhǎng)度為L(zhǎng)、寬度為B的平板，其總阻力S

為第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日這時(shí)平板摩擦阻力系數(shù)可由下式給出上式適用于105<ReL<

107，若將系數(shù)0.072改成0.074與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更吻合。第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第五章例題講解【例5-1】運(yùn)動(dòng)粘度的空氣以速度掠過(guò)一平板，試求：1、進(jìn)流深度為50cm處的邊界層厚度；2、進(jìn)流深度為50cm、板面上方距板面5mm處空氣的流速；3、相同的進(jìn)流深度、板面板面上方距板面15mm處空氣的流速。解：1）先計(jì)算Re，判別流態(tài)。

第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第五章例題講解3）對(duì)該處，處于邊界層外。2）因進(jìn)流深度50cm處的邊界層厚度為7.3mm，求解處位于層流邊界層內(nèi)，該處空氣的流速為：故該處空氣的流速第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日【例5-2】如圖所示，η=0.73Pa?s、ρ=925kg/m3的流體以0.6m/s的速度平行地流過(guò)一塊長(zhǎng)0.5m的光滑平板。試求：1）求邊界層的最大厚度δ＝？2）求A點(diǎn)（位于壁面處）、B點(diǎn)（板上方50mm處）和C點(diǎn)（板面上方90mm處）三處x方向的速度以及它們?cè)趛方向的速度梯度第五章例題講解

解：①先計(jì)算Re，判別流態(tài)。第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第五章例題講解邊界層的最大厚度

在平板的最右端。解：②設(shè)在x=200mm處的邊界層厚度為δ，先計(jì)算該處的Re，判別流態(tài)。(層流)第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第五章例題講解A點(diǎn)處：y=0根據(jù)層流邊界層內(nèi)的速度分布公式第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日第五章例題講解B點(diǎn)處：C點(diǎn)處：第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日【例5-3】設(shè)空氣從寬為40cm的平板表面流過(guò)，空氣的流動(dòng)速度v0=2.6m/s;空氣在當(dāng)時(shí)溫度下的運(yùn)動(dòng)粘度ν=1.47×10-5m2/s。試求：流入深度x=30cm處的邊界層厚度，以及距板面高y=4.0mm處的空氣流速及板面