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剛體的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒體的剛體的物理質(zhì)點(diǎn):物體的運(yùn)動(dòng)大小和形狀可以忽略運(yùn)動(dòng)學(xué):位置,速度,加速 動(dòng)力
F2剛體的運(yùn)動(dòng)特v,平動(dòng)運(yùn)動(dòng)物體上各點(diǎn) 均v,
滾動(dòng):平剛剛體:彼此間距離保持不變的“質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)+
剛體基本運(yùn)動(dòng)(大量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總效應(yīng)3剛體的定軸轉(zhuǎn)特征:s、v、a不同
d
任意轉(zhuǎn)動(dòng)平 dt2*角量與線sr vr,a r2
轉(zhuǎn)動(dòng)面 ω(標(biāo)量 右手螺旋法
v4一剛體以每分鐘60轉(zhuǎn)繞z勻速轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)某 剛體上一點(diǎn)P的位置矢量
4
5k,求該時(shí)刻P點(diǎn)速度解:2602rad/ 2 vr
2k(3i4j5k6(j)8(i) i18.8j s5已知作圓周運(yùn)動(dòng)的某質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m,圓半徑r初速度v0 均勻地加速,t時(shí)間內(nèi)達(dá)到ns,求 d1
dt0t0
1t
1
1t1
n N 63.2 Mr力在轉(zhuǎn)動(dòng)平MFrsinFdFF ※定軸轉(zhuǎn)動(dòng):M(標(biāo)量 +:剛體逆時(shí)-:剛體順時(shí)7力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平M=r×=r×(F1+F2
轉(zhuǎn) =r
F1+r× 平rF1只能引起軸的的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。82二.轉(zhuǎn)動(dòng)定Δm F 外
ri
fi 質(zhì) f 內(nèi)
ii第二定律 2切向:fisiniFi 2
(1
ri
sini
sini
mi ficosθ
Ficosi=Δmirω9整個(gè)
rifiθi+riisiniΔmiriΣrifiiθi+ΣriFisini=ΣΔmiri Jf f轉(zhuǎn)動(dòng)定律: J 平動(dòng):FM
θi i三.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量def
r2mJ 質(zhì)量非連續(xù)分布J
mr2dmm
質(zhì)量連續(xù)分布J的大小
質(zhì)量均對(duì)固定軸的J恒定的理論值可以計(jì)算得表 oxx均oxx繞過(guò)中心與棒軸的轉(zhuǎn)動(dòng)l解 dmdx mdlJO
r2dm
l2l2
3
l/
AxxAxxJA
x2dx
1l31mll lR均勻園環(huán)R繞過(guò)中心與環(huán)面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)解:dm=dl 2
rθ J R2dm R2mdlrθ 繞沿直徑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣dJr2dmr2dl(Rcos)2J r2dm0
Rcos2 Rcos2mRdJ
r均勻盤r繞過(guò)中心與環(huán)面軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣面密度R2
dm
dJr2dmr2dsr2RJR
2r3dr
1r2
1mR2 平行軸定O軸與A軸間距dl
JA3m 1ml2m(l)2md
o 1
平行軸定理 JAJCmd 小def
r2mJ 質(zhì)量非連續(xù)分布J
mr2dmm
質(zhì)量連續(xù)分布JJ1
J1mR22平行2A1JA1
ml2
md J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度mR2R1213質(zhì)量為m求它對(duì)經(jīng)過(guò)OmR2R1213
1
22
m)R (m12R2平行軸定
R2(R)22
R243
J2O
J2O'
md
m(R
m(R)2
J2O
3mm2
m
1 3已知解:(1)M,m受力mA(1)求、(2)=0時(shí),A上升h、(3)A解:(1)M,m受力mAmAgTAammAgTAamR2mR2/ α0aa1MTRJ T
mR2BB
2 hS T
hR 0 0
6.12102 (3)從ω0,回到原020
22
10rad/[習(xí)題3- m,
已知:m1=m2,m0,R1,m0’,R2,兩邊都有細(xì)繩,求:T1、T2m', 解 受力及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析如圖所m1:T1m1g m1
m: m:
g
m2a2
(2) m
mR2 m0'R2
m2
a1 a2 已知:A輪:R1,m1,受恒力矩
21 、MJ11轉(zhuǎn)動(dòng)定律:同
2正確解 2m12J1 m12m12m12J2 3.33.3剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩的動(dòng)能定機(jī)械能守恒一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)
轉(zhuǎn)動(dòng)
1mr
iEkEki1(miri2)21 2 二、力矩的dAFtdsFsinrd
F d Jdd
00 00212
三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)A Fds Md
1
合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功等剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增
平動(dòng):A1mv22
mv2020※保守力矩保守EP1※剛體的重力勢(shì)能其中:hc為剛體質(zhì)心到參照面的距離豎直平面四、含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)既有質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)又有剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)所有
所有力Ek2
——系統(tǒng) 1mv21 外力矩非保內(nèi)
非保內(nèi)力E2其中:EEkEp ——系統(tǒng)
則:E2 ——系統(tǒng)機(jī)械能守力矩針對(duì)剛體,外力,非保守內(nèi)力針對(duì)質(zhì)點(diǎn)I態(tài)的;(2)II態(tài)的棒中心,at,an剛轉(zhuǎn)動(dòng)定
Img
MMmglmgl3
II解 M/JJ3ml2ml23ml (2I態(tài)II態(tài)E守恒E2E11 ml2
2 2
99Mmglsin300mglsin300lM/Jl
3mgl
圖
mgIIa
93g93g 2(l)
J43va va
mgT1 mm h
T1RT2rTkhkr
a E10mgh1mv21kh21J2 A
Md
1J
1J2020既有質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)又有剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng)所有力矩所有力Ek2Ek1——系統(tǒng)的動(dòng)能定其中 1mv21 外力矩非保內(nèi)力矩非保內(nèi)力E2其中:EEkEp
——系統(tǒng)的功能原
則:E2 ——系統(tǒng)機(jī)械能守 3.4體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的角動(dòng)角動(dòng)量角動(dòng)量zLzL ::
LiriPmri i i i i
mvrmrii
Limiviri
LLi
定軸力矩是角動(dòng)量變化力矩是角動(dòng)量變化的原質(zhì)點(diǎn):MdL
(r
剛體:M
※定軸
M 若質(zhì)點(diǎn)系為剛體(J為常數(shù)
則:MJdJ轉(zhuǎn)動(dòng)若質(zhì)點(diǎn)系不是剛體(J變化則:M
不成立但M
J)成立二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角
M J)dtt2Mdtt
2d(J )
2d22
其中:Mdt當(dāng)M=0,即物體合外力矩為零則:Jω=J0 角動(dòng)量守單一剛體J不變?chǔ)匾膊环莿傮w,J、ω都改變JωωM=ωJω=J0開始:J0,0滑Jω=J,J,跳多個(gè)物體組成的系即若系統(tǒng)的合力矩為零,則系統(tǒng)的角M合0時(shí),L 常i同軸轉(zhuǎn)動(dòng):角動(dòng)Mfrifiti
J11J22對(duì)接前兩飛輪的角速度分別為ω1、ω求:1.對(duì)接后共同的角速度對(duì)接過(guò)程中的機(jī)械能損 解:由角動(dòng)量守恒得
(J1
J2
J2J
J1 J2J1JE1(JJ
J2
J2
J
J1J2(12)2J1J2內(nèi)力矩:摩擦力矩作負(fù)功,機(jī)械能損失,不守恒[例]人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0,啞鈴的質(zhì)量為m, 2mr2)
2 2 2mr0E J
2)2
J2mr2) (2
2
2mr (J2
2m1
1 10 2mr 非保守內(nèi)力作例 AB
已知:A輪:m1、、B輪:m2、R2、 求:t時(shí),vB 、
M 系統(tǒng)角動(dòng)量守即:JAA0JAA內(nèi)力矩 Mfrdt 由于frR1fr
非同軸轉(zhuǎn)動(dòng),內(nèi)力矩不一定為
非同軸轉(zhuǎn) MAt-frR1tJAAJMBtfrR2tJBBAR1Bfrm1gtv
mR2
mR2
t 2(m1m2)g系統(tǒng)角動(dòng)量守恒的條件a).系統(tǒng)中各條件 ∑M外力
JCJ2JCA B
滿足條例已知人對(duì)盤的速度為v距離轉(zhuǎn)軸r求盤轉(zhuǎn)動(dòng)的JRmrvJRmrv
M合外mvJM
系統(tǒng)L v人地=v人盤+v
mvrJMmr(vr)JMmr(vr)JM例:細(xì)桿質(zhì)量為m,長(zhǎng)l,I處?kù)o止釋放,II處桿下端恰好與子受到的沖量
解:角動(dòng)量定理M
dt
o
MdtlFdtlFdtlIJ(J)J() IJ()1
3g 3g 機(jī)械能守恒:I01
ml)2
l同理:IIIII,E守恒 例 已知v0,求:三種不同情況下的 e1,(e,0e1(棒轉(zhuǎn)過(guò)角、m0沖力是內(nèi)L mg,m0g及軸對(duì)的約束力N均為外
且F
系統(tǒng)P不守 e
2
1(1
l2
1
k2
2 M L守恒:mvl
1ml2mv(l
vv
0 角量與線量的關(guān)系:vl e0,且M
L 即:mv )
ml2mv(lc2cm
0 1
0 0
ml
)2
2m0v0e3)mv(l) 2m0v0e0 地、棒棒轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程E1
2
即: m0l m0g
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