材料力學(xué) 彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度條件

材料力學(xué)彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度條件第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日純彎曲純彎曲：

FQ=0,

M=const

橫力彎曲：

FQ≠0,M≠const

Q≈第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素dN=σdA才能合成彎矩M，只有切向內(nèi)力元素d=τdA才能合成剪力第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力從三方面考慮：變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系1、變形幾何關(guān)系

第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日(1)aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(2)mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)榛【€的aa，bb垂直(3)部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長。梁在純彎曲時(shí)的平面假設(shè)：梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。觀察到以下變形現(xiàn)象:第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日

再作單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。推論：梁在彎曲變形時(shí)，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日中性層中性軸中性層第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日2、物理關(guān)系

正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比，中性層上的正應(yīng)力為零(中性層y=0)上式只能用于定性分析，而不能用于定量計(jì)算：1）由于中性軸z的位置未確定，故y無法標(biāo)定；2）式中未知.（若已知M，與M有何關(guān)系？）第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日3、靜力學(xué)關(guān)系設(shè)中性軸為zyz橫截面對(duì)Z軸的靜矩M第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日令：截面對(duì)yz軸的慣性積截面對(duì)z軸的慣性矩由于y為對(duì)稱軸,上式自然滿足。第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日正應(yīng)力計(jì)算公式：中性軸過截面形心中性層的曲率公式：第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日1）沿y軸線性分布，同一坐標(biāo)y處，正應(yīng)力相等。中性軸上正應(yīng)力為零。2）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個(gè)區(qū)域。3）最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處。第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日當(dāng)中性軸是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)：橫截面上的最大正應(yīng)力：Wz抗彎截面模量第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日

公式適用條件：

1）符合平面彎曲條件(平面假設(shè)，橫截面具有一對(duì)稱軸）

2）p(材料服從胡克定律）

對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。彈性力學(xué)精確分析結(jié)果指出：當(dāng)梁的跨高比大于5時(shí)，剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響甚小，可以忽略不計(jì)。因此由純彎曲梁導(dǎo)出的正應(yīng)力計(jì)算公式，仍可以應(yīng)用于橫力彎曲的梁中，誤差不超過1%。橫力彎曲時(shí)，彎矩不再是常量。第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日?qǐng)A環(huán)：Dyzd復(fù)習(xí)第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日例11：圖示工字形截面外伸梁受均布荷載作用，試求當(dāng)最大正應(yīng)力為最小時(shí)的支座位置。alaq⊕解：作彎矩圖支座位置a直接影響支座截面和跨中截面上的彎矩值。當(dāng)中性軸為截面的對(duì)稱軸，最大拉、壓應(yīng)力相等時(shí)，只有支座處截面與跨中截面之彎矩的絕對(duì)值相等，才能使該梁的最大彎矩的絕對(duì)值為最小，從而使其最大正應(yīng)力為最小。取有效值第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日二.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：等直梁強(qiáng)度條件

對(duì)于鑄鐵等脆性材料，抗拉和抗壓能力不同，所以有許用彎曲拉應(yīng)力和許用彎曲壓應(yīng)力兩個(gè)數(shù)值。強(qiáng)度條件為：請(qǐng)注意：梁的最大工作拉應(yīng)力和最大工作壓應(yīng)力有時(shí)并不發(fā)生在同一截面上。第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日

一般情況下，許用彎曲正應(yīng)力比許用拉(壓)應(yīng)力略高。因?yàn)閺澢鷷r(shí)除截面外邊緣達(dá)到最大正應(yīng)力外，其余各處應(yīng)力較小。而軸向拉(壓)時(shí)，截面上的應(yīng)力是均勻分布的。

利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：1、已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度。2、已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)梁的截面尺寸。3、已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日例12：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日例13：

矩形截面梁當(dāng)橫截面的高度增加一倍，寬度減小一半時(shí)，從正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，該梁的承載能力將是原來的多少倍？解：由公式可以看出，該梁的承載能力將是原來的2倍。第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日例14：主梁AB，跨度為L，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長度a為多少？第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日ABPaCD主梁AB副梁CDMM解：第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日主梁AB的最大彎矩副梁CD的最大彎矩由得第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日例15：圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為［σ+］和［σ-］，則y1和y2的最佳比值為多少?(Ｃ為截面形心)

第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例16：圖示外伸梁，受均布載荷作用，材料的許用應(yīng)力［σ］=160MPa，校核該梁的強(qiáng)度。

第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：由彎矩圖可見該梁滿足強(qiáng)度條件，安全第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日例17：圖示三種截面梁，材質(zhì)、截面內(nèi)Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經(jīng)濟(jì)。

第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：由題意可知即第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日例18：圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σ+]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σ-]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強(qiáng)度。第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日C截面：B截面：滿足強(qiáng)度要求本題和可不必計(jì)算為什么？第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日例19：簡支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應(yīng)變片，測得其應(yīng)變?chǔ)?6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：C點(diǎn)的應(yīng)力C截面的彎矩由得第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日例20：簡支梁受均布荷載，在其Ｃ截面的下邊緣貼一應(yīng)變片，已知材料的E=200GPa，試問該應(yīng)變片所測得的應(yīng)變值應(yīng)為多大？

第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：C截面下邊緣的應(yīng)力C截面的彎矩應(yīng)變值第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例21：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為10mm，E=10GPa，求載荷P的大小。第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日例22：我國營造法中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。

（使Wz最大）第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日解：由此得≈3:2第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日例23:跨長l=2m的鑄鐵梁受力如圖示，已知材料許用拉、壓應(yīng)力分別為和試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T形梁橫截面的一個(gè)參數(shù)，并校核此梁的強(qiáng)度。BAP=80KN1m2m22060220解：設(shè)z軸過形心最為合理時(shí)z第四十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日BAP=80KN1m2m22060220z

=24mm＜梁滿足強(qiáng)度要求還需校核最大工作壓應(yīng)力嗎？第四十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日例24:圖示懸臂梁在自由端受集中力作用，P=20KN。試在下列三種截面形狀下，比較所耗材料：

(1)高寬比h/b=2的矩形；(2)圓形；(3)工字鋼。P=20KN解:作彎矩圖由強(qiáng)度條件(1)矩形b=6cmh=12cm(2)圓形d≈11.3cm(3)工字形查型鋼表，取16號(hào)工字鋼第四十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日工字形截面最省料，圓形截面最費(fèi)料。

你知道為什么嗎？

合理選擇截面形狀是梁設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要問題

本題中，工字形截面的彎曲截面系數(shù)略小于臨界值，其最