概率論多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

概率論多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日§3.1二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二、二維離散型隨機(jī)變量三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量四、兩個(gè)常用的分布第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日1.定義一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)若

E

是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是?={e}，設(shè)X=X(e)

和Y=Y(e)

是定義在

?

上的隨機(jī)變量。由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X,Y)

，叫做二維隨機(jī)向量，或二維隨機(jī)變量。圖示第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日注意事項(xiàng)(1)向量(X,Y)是一個(gè)整體,其性質(zhì)不僅與X

、Y

有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.(2)向量(X,Y)從幾何上看可以作為一個(gè)平面上隨機(jī)點(diǎn).2.實(shí)例實(shí)例1

炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.實(shí)例2

考查某一地區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H

和體重W就構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日3.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)(1)分布函數(shù)的定義(2)分布函數(shù)的幾何意義第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日且有(3)分布函數(shù)的性質(zhì)第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日證某一二元函數(shù)是二維隨機(jī)變量分布函數(shù)

該函數(shù)具有以上四條性質(zhì)。可以證明第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日(4)一個(gè)重要的公式(X,Y)yxox1x2y1y2(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)則第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日4.

n

維隨機(jī)變量(2)n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)(1)定義為聯(lián)合分布函數(shù).第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日二、二維離散型隨機(jī)變量1.定義

若二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的可能值是有限對(duì)或無(wú)限可列多對(duì),則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律也可表示為3.聯(lián)合分布律的性質(zhì)第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例1解由乘法公式得第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日抽取兩支都是綠筆抽取一支綠筆,一支紅筆例2從一個(gè)裝有3支藍(lán)色、2支紅色、3支綠色圓珠筆的盒子里,隨機(jī)抽取兩支,若X、Y分別表示抽出的藍(lán)筆數(shù)和紅筆數(shù),求(X,Y)的分布律.解(X,Y)所取的可能值是抽取一支藍(lán)筆,一支紅筆第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日綜合之所求分布律為第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日4.二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)一般不好寫出！第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

(X,Y)的可能取值為例3一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,從中任取一個(gè),不放回袋中,再任取一個(gè),設(shè)每次取球時(shí),各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求(X,Y)的分布律與分布函數(shù).解故(X,Y)的分布律為第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日下面求分布函數(shù).第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日所以(X,Y)

的分布函數(shù)為第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)解第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日離散型隨機(jī)變量(X,Y)

的分布函數(shù)歸納為說(shuō)明第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量1.定義使得對(duì)于任意的x,y有第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2.性質(zhì)按定義，概率密度f(wàn)(x,y)

具有以下性質(zhì)：

在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個(gè)曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G為底，以曲面

z=f(x,y)為頂?shù)闹w體積第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例4解第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日(2)將(X,Y)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),即有例4解第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例5解x+y=1x=1y=2將(X,Y)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例6解按性質(zhì)，用極坐標(biāo)系計(jì)算第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例6解(2)第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日四、兩個(gè)常用的分布1.均勻分布設(shè)D是平面上的有界區(qū)域,其面積為S,若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在D上服從均勻分布.定義均勻分布幾何意義(幾何概型)第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

已知隨機(jī)變量(X,Y)在D上服從均勻分布,其中D為x軸,y軸及直線y=x+1所圍成的三角形區(qū)域.試求(X,Y)的分布密度及分布函數(shù),例7解D第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日所以(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為第三十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2.二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度第三十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，