勾股定理的應(yīng)用課件

16.3勾股定理的應(yīng)用

K教學(xué)目標(biāo)』

（-）知識(shí)目標(biāo)

初步運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

（二）能力目標(biāo)

L能在實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形，提高建模能力，進(jìn)一步深化對(duì)構(gòu)造法和代數(shù)計(jì)算法和理解.

2.在解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)空間圖形展開成平面圖形時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，線的位置關(guān)系，從中

培養(yǎng)空間觀念

（三）情感目標(biāo)

通過對(duì)實(shí)際問題的有目的的探索和研究，體驗(yàn)勾股定理的探索活動(dòng)充滿創(chuàng)造性和可操作性，并敢

于面對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的困難，運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題，激發(fā)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).

k教學(xué)重點(diǎn)』

運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，解決實(shí)際問題.

k教學(xué)難點(diǎn)』

運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，解決實(shí)際問題.

k教學(xué)過程X

一、課前布置

自學(xué)：閱讀課本P86“P87,試著做一做本節(jié)練習(xí)，提出在自學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題（鼓勵(lì)提問）.

二、師生互動(dòng)

（-）

［師］勾股定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一。也許在數(shù)學(xué)中還找不到這樣一個(gè)定理，其證明方法

之多能夠超過勾股定理。盧米斯（Loomis）在他的《畢達(dá)哥拉斯定理》一書的第二版中，收集了這個(gè)定理

的370種證明并對(duì)它們進(jìn)行了分類。

勾股定理同時(shí)也是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的定理之一。至今在建筑工地上，還在用它來放線，進(jìn)行“歸

方”，即放“成直角”的線。

正因?yàn)檫@樣，人們對(duì)這個(gè)定理的備加推崇便不足為奇了。尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀(jì)

念郵票，主題是世界上“十個(gè)最重要的數(shù)學(xué)公式”，其中之一便是勾股定理。

現(xiàn)在讓我們一起走進(jìn)“勾股定理的應(yīng)用”.

［師生共析］一起交流課本P86的例1、2和P87的“一起探究”.

（讓學(xué)生主動(dòng)提出問題，鼓勵(lì)學(xué)生自己解決課本例題，可以用課本的練習(xí)作為例題）

例一艘輪船以16海里/時(shí)的速度離開港口向東南方向航行，另一艘輪船在同時(shí)同地以12海里/時(shí)

的速度向西南方向航行，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距多遠(yuǎn)？

提示：此題關(guān)鍵是要弄明白方位角，能據(jù)題意畫出圖形.

方位角，上北下南，左西右東.

東南方向是東、南的夾角平分線；西南方向是西、南的夾角平分線；

東北方向是東、北的夾角平分線；西北方向是西、北的夾角平分線.

解：由題意畫草圖如下.

因?yàn)锳ABC為直角三角形.

1個(gè)半小時(shí)以后，AC=12xl.5=18（海里北

AB=16xl.5=24（海里）

所以由勾股定理得AC2+BA2=BC2---------&------------

所以BC2=182+242BC2=900西東

所以BC=30（海里）\

答：它們離開港口1個(gè)半小時(shí)后相距30海里J方

（-）小結(jié)

I南

［師生共析］用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，首先要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型中.在這里,

就是轉(zhuǎn)化到直角三角形中用“勾股定理”解決，或轉(zhuǎn)化到由三角形邊的數(shù)量關(guān)系去識(shí)別它是不是直角三角

形.

在解決問題中，要將圖形與數(shù)字有機(jī)地結(jié)合起來，善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，抓住問題的本質(zhì)特征.

例如：“南北向網(wǎng)，為我國(guó)領(lǐng)海線，即網(wǎng),以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海，我反走私艇在1發(fā)現(xiàn)一

走私艇C偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即通知正在腸V線上巡邏的反走私艇6注意，經(jīng)測(cè)兒，距離13,4B

距離5,B、C距離12.”

利用畫圖可以幫助理解題意，發(fā)現(xiàn)16=13,油=5,

BC=12,正好是勾股數(shù)，所以三艇構(gòu)成直角三角形.

（三）鼓勵(lì)學(xué)生講解教師提供的例題.（例題的設(shè)置是分層的，安排不同基礎(chǔ)的學(xué)生嘗試講解，教

師予以補(bǔ)充）

例1如圖是一只圓柱形的封閉易拉罐，它的底面半徑為4cm,

高為15cm,問易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒（直線型）最長(zhǎng)可以是多長(zhǎng)?

分析：攪拌棒在易拉罐中的位置可以有多種情形，如圖中的

4B、A2B,但它們都不是最長(zhǎng)的，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)攪拌

棒的一個(gè)端點(diǎn)在B點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)最長(zhǎng)，此時(shí)可以把

線段AB放在RtAABC中，其中BC為底面直徑.

解：如圖，當(dāng)攪拌棒在48位置時(shí)最長(zhǎng)，過8畫底面直徑則在以ZU6C中,

AC—15cm,BC—4X2—8cm

根據(jù)勾股定理得

AB2=AC2+BC2=152+82=172

所以AB=17

答：易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒（直線型）最長(zhǎng)為17cm.

例3小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m,當(dāng)他把繩子的下端拉開

5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高.

分析：由題意可知繩子比旗桿多1m,把下端拉開5m后，下端剛好接觸地面，這時(shí)，旗桿AB、繩

子AC、旗桿底點(diǎn)B與繩接觸地面的點(diǎn)C所連結(jié)的線段BC構(gòu)成直角三角形.如圖19—13如果設(shè)旗桿AB='m,

則繩長(zhǎng)AC=（x+l）加

解：設(shè)旗桿高為加，則繩子長(zhǎng)（x+l）m在RtaABC中，AB=x,AC=x+l,BC=5根據(jù)勾股定理得

AC2=AB2+BC”

即(x+1)-=—+5~

x=12m

所以旗桿的高度為12m.

三、補(bǔ)充練習(xí)

作業(yè):P87~88習(xí)題

K分層練習(xí)》

基礎(chǔ)知識(shí)

1.（1）如圖，是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm）計(jì)算兩圓孔

中心A和B的距離為.

(2)一棵大樹被風(fēng)刮斷后折倒在地面上，如圖，如果量得AC=6m,CB=8m.則樹在刮斷之前有一

高

（3）如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹

相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹

梢，至少飛了米.

2.要從電線桿離地面5米處向地面拉?條13米的拉線，求地面拉線固定點(diǎn)力到電線桿底部6的距離.

3.有兩根木棒，它們的長(zhǎng)度分別是40cm和50cm,若要釘成一個(gè)三角形木架，其中必須有一個(gè)角是直角,

則所需最短的木棒長(zhǎng)度是多少？

4.一段長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面6m,現(xiàn)將梯頂沿墻面下滑1m,則梯子底端與墻面距

離是否也增長(zhǎng)1m?說明理由.

由綜合運(yùn)用

5.小明把一根長(zhǎng)為160cm的細(xì)鐵絲剪成三段，作成一個(gè)等腰三角形風(fēng)箏的邊框力■（如圖），已知風(fēng)箏的

高/y40cm,你知道小明是怎樣彎折鐵絲的嗎？

6.如圖，南北向MN為我國(guó)的領(lǐng)海線，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海.上午9時(shí)50分，我國(guó)反走私

艇A發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即通知正在線上巡邏的我

國(guó)反走私艇B密切注意.

反走私艇A通知反走私艇B：A和C兩艇的距離是13海里，

A、B兩艇的距離是5海里.反走私艇B測(cè)得距離C艇是12

海里，若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)

領(lǐng)海？

7.李叔叔想要檢測(cè)固定像底座正面的/〃邊和回邊是否分別垂直于底邊48,但它只隨身帶了卷尺（只有

底座"W）如圖.

（1）你能幫他解決嗎？

（2）要是李叔叔已經(jīng)給量好：4/30cm,

麴=40cm,加=50cm,邊垂直仍邊嗎？

（3）要是身邊只有一把20cm的刻度尺怎樣解決這個(gè)問題呢？

Ik答案提示】

1.(1)100mm(2)16m(3)10.

2.解：由勾股定理得：AE+Bd=AG

—初=132—5'2=144,所以48=12.

答：固定點(diǎn)｛到桿底的距離為12.

3.30cm(提示：最短的是直角邊，利用勾股定理可求得.)

B

4.不是1m(提示:根據(jù)題意可知AB=A3'=10,A0=6,在RtZiABO

B'

中利用勾股定理可求B0=8.在RtAA'B'。中可知B'O=7,

利用勾股定理可求4'。2=51>49,所以梯子底端與墻面距離增長(zhǎng)超過1m)

5.解：AB^BD=-X160=80.

2

設(shè)4斤xcm,則勿=(80—x)cm,由勾股定理知

A/B4=AE,即4()2+(80-%)2=9，解得A=50

所以4斤次>50cm,砥60cm.

答：小明把一根長(zhǎng)為160cm的細(xì)鐵絲剪成50、50、60三段即可.

6.解：設(shè)MN與AC相交于E,則NBEC=90°,

又AB?+BC?=52+122=132=AC2,

所以aABC為直角三角形，ZABC=90°,

因?yàn)镸NXCE,

所