2023北京版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列

2023北京版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

第六章數(shù)列

6.4數(shù)列求和、數(shù)列的綜合

三年模擬

一、選擇題

1.(2022廣東湛江、肇慶三模,7)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列

數(shù):1,1,2,3,5,..，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即an+2=ae+an(nGN*),后來(lái)人們把這樣的

一列數(shù)組成的數(shù)列｛即｝稱(chēng)為斐波那契數(shù)列"，記a2°22=t，則a1+a3+a5+...+a2021=()

A.t2B.t-1C.tD.t+1

答案Ca2022=32021+32020=32021+32019+?2018=..-S2021+32()19+???+33+32=32021+32OI9+--+a3+ai=t，故選C.

2.(2022湖南邵陽(yáng)一模,8)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào).設(shè)xGR,

用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)廁f(x)=[x]稱(chēng)為高斯函數(shù).已知數(shù)列⑶｝滿(mǎn)足a2=2,且(n+l)an+i-nan=2n+l,若

bn=[lgan],數(shù)列｛bn｝的前f)項(xiàng)和為T(mén)n,則T2021=()

A.4950B.4953C.4956D.4959

答案C由(n+l)an+「nan=2n+l,a2=2可得a1=l根據(jù)累加法得nan=nan-(n-1)an-1+(n-1)an.i-(n-2)an.2+...+2a2-

ai+ai=if,所以an=n,故bn=[lgn],當(dāng)14n49時(shí),bn=0;當(dāng)104n499時(shí),bn=l;當(dāng)1004n4999時(shí),bn=2;當(dāng)1

000<n<2021時(shí),bn=3,因此T2021=90+900x2+1022x3=4956.故選C.

3.(2022遼寧名校聯(lián)盟二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(一),8)某社團(tuán)專(zhuān)門(mén)研究密碼問(wèn)題社團(tuán)活動(dòng)室用的也是一把密碼鎖，

且定期更換密碼，但密碼的編寫(xiě)方式不變,都是以當(dāng)日值班社員的姓氏為依據(jù)編碼的，密碼均為爺?shù)男?shù)

點(diǎn)后的前6位數(shù)字.編碼方式如下;①x為某社員的首拼聲母對(duì)應(yīng)的英文字母在26個(gè)英文字母中的位置；

②若x為偶數(shù)，則在正偶數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為3n的項(xiàng)得到新數(shù)列⑶｝,即2,3,4,6,8,32,10,12,14,16,..;

若x為奇數(shù).則在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為2n的項(xiàng)得到新數(shù)列｛a,J,即1,2,3,22,5,7,23,9,11,13,..，③N

為數(shù)列｛冊(cè)｝的前X項(xiàng)和如當(dāng)值社員姓康，則K在26個(gè)英文字母中排第11位.所以x=ll.前11項(xiàng)中有

2,22,所以有8個(gè)奇數(shù).故N=1+3+...+15+2+22+23=78,所以密碼為282051,若今天當(dāng)值社員姓徐廁當(dāng)日

密碼為（）

A.125786B.199600C.200400D.370370

答案BX在26個(gè)英文字母中排第24位，所以x=24,前24項(xiàng)中有3,323,所以有21個(gè)偶數(shù).故

N=2+4+…+42+3+32+33=0臂S+39=501,黑的小數(shù)點(diǎn)后的前6位數(shù)字為199600.故選B.

4.（2022湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟第一次聯(lián)考.5）如圖，連接△ABC的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的△AiBiG,又

連接△A1B1G各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的△A2B2c2.如此無(wú)限繼續(xù)下去，得到一系列三角

形:△ABCQA1B1CIA2B2c2,..,這一系列所有三角形的面積和趨向于一個(gè)常數(shù).已知

40,0）上（5,0）。1,3）,則這個(gè)常數(shù)是（）

A.yB.5C.10D.15

答案C依題意可得△ABC,△AIB|C,,AA?B2c2,..的面積依次構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，首項(xiàng)為△ABC

的面積去公比為;，前n個(gè)三角形的面積和為業(yè)祖=10[1-（J]當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，前n個(gè)三角

1-4

形的面積和趨向于常數(shù)10.故選C.

5.（2022湖南邵陽(yáng)、郴州二模,7）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)Ro是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免

疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).Ro一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、

每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)Ro=2,平均感染周期為7天，那么感染人

數(shù)由1(初始感染者)增加到999大約需要的天數(shù)為(初始感染者傳染R。個(gè)人為第一輪傳染，這Ro個(gè)人每

人再傳染Ro個(gè)人為第二輪傳染，.…，參考數(shù)據(jù):lg2M.3010)()

A.42B.56C.63D.70

答案C設(shè)第n輪感染的人數(shù)為即,則數(shù)列｛a.｝是以山=2,公比q=2的等比數(shù)列，

由1+Sn=%*dr=999.可得2田=1()()(),解得2"=50(),兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得nig2=lg500,則nig

1-z

2=3-lg2,所以片。/方含7-1溜.97.因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n=9,故需要天數(shù)約為9x7=63,故選C.

IgZ0.3010

6.(2022山西模擬,7)已知數(shù)列｛的前n項(xiàng)和為S”,且ai=l,an+i+an=3n+l廁Si()i=()

A.7701B.7449C.15401D.14897

答案A由題意知

Sioi-3i+a2+...+3101—ai+(a2+a3)+(a4+a5)+..H_(aioo+aioi)—1+(3X2+1)+(3x4+l)+...+(3x100+1)—1+^+—-=7

701.故選A.

7.(2022河南聯(lián)考頂尖計(jì)劃”,12)若函數(shù)加+尸f(aj則稱(chēng)f(x)為數(shù)列｛期｝的伴生函數(shù)”.已知數(shù)列出｝的伴

生函數(shù)"為f(x)=2x+l,ai=l廁數(shù)列｛naj的前n項(xiàng)和Tn=()

A.n-2n+2-^ll

2

B,n-2n+1+2-^^

2

C.(n-l)-2n+l+2-^y^

D.(n-l)-2n+2-^Y^

答案C依題意，可得am=2an+l(n￡N*),所以a田+1=2(即+1)>0廁管詈=2,故數(shù)列出+1｝為等比數(shù)列，

2n

其首項(xiàng)為ai+l=2,公比為2,所以an+l=23"=2n,所以a?=2U,所以na產(chǎn)n3-n,所以Tn=lx2'+2x2+...+n-2-

(l+2+...+n)=lx2'+2x22+...+n-2n-^Y^,^H(n)=lx2i+2x22+...+m2",則2H(n)=1x22+2x23+..H-(n-1)-2n+n-2n+1,

兩式相減得-H(n)=lx2i+lx22+lx23+..*lx2n-m2n+i="W-m2n+i=2n+i2n-2叫所以H(n)=(n-l)-2n+,+2.

所以Tn=(n-1>2m+2型羅.故選C.

8.(2022鄭州二模⑵已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a2=2,a2產(chǎn)a2~i+2n(nWN*)如/尸a2n+(-1AnWN*),則數(shù)列｛a。｝的第2

022項(xiàng)為()

A.21叫2B.21O,2-3

C.210ll-2D,21°"-l

nn

答案A?.?數(shù)列｛時(shí)｝滿(mǎn)足a2=2,a2n=a2n-i+2(neN*),a2n+i=a2n+(-1)(nGN*),

a2n=a2n-1+2n=a2(n-1)+(-1+2",

?'?a2n-a2(n-i)=(-l)n-l+2n,

a4-a2=(-l)'+22,

23

a6-a4=(-l)+2,

34

a8-a6=(-l)+2,

?__/ixl010i/*)1011

32022-32020-(-1)+，，

23,0l2

將上述各式兩邊分別相加彳導(dǎo)a2022-a2=-l+l-l+l+...+l+2+2+...+2。修(了)=21-4.

.?.a2022=a2+2S4=2g,雌A.

9.(2022寧夏月考,12)已知Sn為數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和，且S產(chǎn)鬻m=4,若不等式S,侖(-1尸m-(3n2-5n)對(duì)一

切正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.[-2,2]B.[-2,y]

C.[-4,2]D.[-4,y]

答案C因?yàn)楫?dāng)n>2時(shí),an=S『S"鬻-迎誓匚整理得言=2-攀故｛^｝是首項(xiàng)為尹2,公比為2

的等比數(shù)列，所以署=不廁即=(葉1)3,則Sn=n2田,所以由題意知不等式2"，(-1)F1-(32)對(duì)一切正整

n+l

/9n+l\9n+l-n+39n+l

數(shù)n恒成立.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),2田Nm(3n-5)恒成立，所以m4(獲/，設(shè)/=品彳由于cn+2-cn=^--=

\，管當(dāng)n=2時(shí),C4VC2；當(dāng)n>4時(shí),cQc”,所以m4c4考.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),2"12m(5-3n),若n=l廁有m<2;

/7n+1\^n+3?n+l-2n+lzo1_qn\

若n23,貝!]有m>(——)，令dn=^-(nN3),由于dn+2-dn=---T---=77—―r<0,

\5-3n/max5-3n-l-3n5-3n(3n-5)(3n4-l)

所以m2d3=-4.綜上,-44m42,故選C.

二、填空題

10.(2022遼寧葫蘆島一模15)已知數(shù)列｛4,｝問(wèn)=1,對(duì)于任意正整數(shù)m,n,都滿(mǎn)足am+n=am+an+mn廁工+

Q1

工+...+」一=

a2a2021-------------------

答案2021

1011

解析令m=l,得an+產(chǎn)a1+an+n=l+an+n,所以an+i-an=n+lJOan-an-1=n,an.i-an-2=n-l,....,a3-a2=3,a2-ai=2,

所以當(dāng)n>2時(shí),an=ai+(a2?ai)+(a3-a2)+…+(an?an.)=l+2+3+...+n="T~D,

又a,=l滿(mǎn)足上式，所以an="#,nWN*,

所以a=^1)=2(~+)廁看+,七;=2(1——-

\2232021

=2。-盛)=2021

1oir

11.(2022福建4月百校聯(lián)合測(cè)評(píng),16)在處理多元不等式的最值時(shí)，我們常用構(gòu)造切線(xiàn)的方法來(lái)求解.例如:

曲線(xiàn)y=x2在x=l處的切線(xiàn)方程為y=2x-L且X2N2X-1,若已知m+n+t=3,則m2+n2+t2>2m-1+2n-1+2t-1=3

等條件為m=n=t=l,所以而+/4的最小值為3.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2+12x,若數(shù)列｛冊(cè)｝滿(mǎn)足an<2,fi

ai+a2+...+aio=l0,則數(shù)歹(J｛f(aj｝的前10項(xiàng)和的最大值為；若數(shù)列｛E｝滿(mǎn)足bn>0,H

b|+b2+...+b|00=l80廁數(shù)列｛f(bn)｝的前100項(xiàng)和的最小值為.

答案70;540

解析「(X)=3X2-12X+12,f(l)=7廁「⑴=3,所以曲線(xiàn)y=f(x)在x=l處的切線(xiàn)方程為y=3x+4,且易知

f(x)43x+4(x42),所以f(an)￡3an+4,所以f(ai)+f(a2)+...+f(aio)43(ai+a2+...+aio)+4O=7O,當(dāng)且僅當(dāng)

ai=a2=...=ai0=l時(shí)，等號(hào)成立;曲線(xiàn)y=f(x)在x=x()處的切線(xiàn)為y=(3詔-12x0+12)(x-x0)+好-

6B+12xo,因?yàn)閎nNO,則令此切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，解得x0=3或x0=0,所以曲線(xiàn)y=f(x)在x=3處的切線(xiàn)方程為y=3x,

且f(x)N3x(x20),所以f(bi)+f(b2)+…+f(bioo)N3(bi+b2+...+bKx))=54O,當(dāng)且僅當(dāng)悅=0或3=3時(shí)，等號(hào)成立，取

b產(chǎn)b2=...=b&o=3,b6i=b62=...=bioo=0,即｛bn｝的前100項(xiàng)中有60項(xiàng)為3,40項(xiàng)為0時(shí)，等號(hào)成立.

21+an.n為奇數(shù)，

12.(2022河南天一聯(lián)考(五),15)已知數(shù)列｛an｝(n￡N*)滿(mǎn)足a,=l,a則的最大

n+(1l+log2an，n為偶數(shù)，為為+】

值為.

口殺3

解析若n為奇數(shù)，則an+尸21+即用+2=1+1里2加+尸2+即,所以｛aj的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，所以

1+an+1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an二n.若n為偶數(shù)則an+i=l+log2an,an+2=2=22+】喻％=4%,所以｛期｝的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公

比為4的等比數(shù)列,又因?yàn)閍2=4,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),即=2".當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，馬母=/宅，當(dāng)n為偶數(shù)

^nan+ln.2"十，4

時(shí)，/皿=74'蕓所以上"的最大值為*

anan+1(n+l)-23anan+13

13.(2020天津七中一模⑵設(shè)數(shù)列｛a0｝的前n項(xiàng)和是I,滿(mǎn)足n(Sn+i+Sn.1-2Sn)=2+an(n>2,nGN*),a1=l,a2=2,

則當(dāng)n>2時(shí),Sn=.

答案n2-n+l

解析Vn(Sn+i+Sn-i-2Sn)=2+an(n>2,nEN*),/.n>2時(shí),n(an+i-an)=2+an,即叫+1=2+(m1，①,nN3時(shí),(n-

l)an=2+nae兩式相減整理可得an+l+an.t=2an?,：.n>2時(shí)，數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列.由①得2a3=2+(2+1此,又

a2=2,a3=4,公差d=4-2=2.

An>2時(shí),Sn=l+2(n-1)+^y^x2=n2-n+l.

三、解答題

2n-Ln為奇數(shù)，

14.(2022湖北九師聯(lián)盟3月質(zhì)檢,18)在數(shù)列｛an｝中,a”=

(2n,n為偶數(shù).

⑴求ai,a2,a3;

(2)求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn.

(2%1,葭為奇數(shù)，

解析⑴因?yàn)閍“=(

(2n,n為偶數(shù)，

所以ai=2x1-1=1,a2=22=4,a3=2x3-1=5.

2n-l,n為奇數(shù)，

(2)因?yàn)閍n="所以山川巫一是以I為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,

2w,n為偶數(shù)，

azMA,..是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列｛a0)的前n項(xiàng)中有等個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，有掾個(gè)偶數(shù)項(xiàng),

所以Sn=aI+32+33+...+an=(ai+23+.?3-an-2+an)+(a2+a4+...+an.34-an-1)

2n+1

n+l1吟(等4)A,4(1-4-T)n+n2-4

=—xl+-^_2x4+A_^=__+__;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)中有］個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，有］個(gè)偶數(shù)項(xiàng),

2n+2.4

所以Sn=ai+a2+a3+??.+an=(ai+a3+..+an-3+an-i)+(a2+a4+??+an-2+an)=Sx1+—x4+4-

LL曲：1-4：Z3

‘爭(zhēng)+學(xué),n為奇數(shù),

所以S,=

、等+學(xué),n為偶數(shù).

15.(2022福建龍巖一模,17)在下列條件:①數(shù)列｛an｝的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等,由=2.且數(shù)列｛*a”｝為常數(shù)

列;②Sn=；(an+n+l)(nWN*)?ai=l,Sn=2Sn.i+l(nN2,nWN^d￡^—個(gè)條件，補(bǔ)充在橫線(xiàn)上,并回答下面問(wèn)

題.

已知數(shù)列｛加｝的前n項(xiàng)和為Sn,，求數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn.

解析選①:因?yàn)閍尸2,數(shù)列｛哈加｝為常數(shù)列，所以成-an=吟aR2-2=2,解得a?=2或即=1又因?yàn)閿?shù)列

｛五｝的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且a.=2,

所以數(shù)列｛an｝為所以atl+an.i=l(n>2,nGN*),gPan=-an“+l(n22),所以an-1=-(an-r

g)(n22),又ai--=-#0,

nn

所以｛an［｝是以翻首項(xiàng),-l為公比的等比數(shù)列，所以=|(-D-',EP*；+|(-D-',

所以S亭+聲篝=苧+弱產(chǎn)

選②:Sn=g(an+n+1)(nWN*),易知ai=2,Sn.1=|(即“+n-1+1)(n22),

兩式相減可得a,,=|an-1an-1+即an=-an-i+l(n22)以下過(guò)程與①相同.

選③:由Sn=2Sn」+l,可得Sn+l=2(Sn-l+l),

又S尸ai=l,故｛Sn+1｝是以S,+l=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，

n

故Sn+l=2-2-',gpSn=2J當(dāng)n>2時(shí),an=S『S"2叫又a,=l也滿(mǎn)足上式，所以a產(chǎn)

2n-',nGN*.

16.(2022遼寧名校聯(lián)盟3月聯(lián)考,20)已知Sn為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和肉=3,S同+1=43n.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求數(shù)列｛b,,｝的前n項(xiàng)和Tn.

①b,『---；

(5汽+1+1)。“+1

n

②b_(-1產(chǎn)(2n2+10n+13>241

n?n-?n+l

解析⑴由ai=3$+i+l=4an可知a2=8,

當(dāng)n>2時(shí),Sn+l=4a?i,

=

兩式相減得3n+l4an-4an-l,

所以an+1-2an=2(an-2an-1),n>2,

又a2-2ai=2,

所以｛ae-2a“)是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

n1n

則an+i-2an=2-2-=2,

n

即an+i=2an+2,

兩邊同除以2叫得罪1=翁+今

nl

所以數(shù)列償｝是以=如首項(xiàng),;為公差的等差數(shù)列,所以崇=1+J(n-1)=7，所以an=(n+2)-2.

(2)若選①.

b二一州+2

n($計(jì)1+1)即+1

_(九+4>2"+1

一(71+2>2"1.(n+3>2〃

_(n+4>2小1

一(九+2>2"1.(n+3>2〃

_(n+3)2,1-(n+2)-2>1-1

-(n+2>2"T.(n+3〉2”

_____1___________]

=(n+2>2*i—(n+3>2”‘

所以「=(點(diǎn)一點(diǎn))+(點(diǎn)一點(diǎn))+(點(diǎn)一點(diǎn))+/[(n+2；x2"-11

3-(n+3)x2n，

若選②.

由⑴知*”.(號(hào)1"3)”々

an-an+l

(2九2+i0n+13)

(n+2)2.(n+3)2

n

=(-l)l(n+2)z2---5--+-3)~4'

當(dāng)n為彳禺?dāng)?shù)日寸,Tn=?(34-+(-7+—^~2H------2+——~2H---------2=-IH-------2.

22222222

\34/\45/L(n+1)(n+2)2JL(n+2)(n+3)J9(n+3)

當(dāng)0為奇數(shù)時(shí),Tn=Tn-l+bn=-J+--2-[~~+T~2=一g—；~2-

9(n+2)/L(n+2)z(n+3)<9(n+3)z

Qjl

17.(2022山東濰坊二模,19)已知正項(xiàng)數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為Sn國(guó)硅+2an=4Sn,數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足bn=(-2)T.

⑴求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Bn,并證明B用B,,Bn+2是等差數(shù)列:

(2)設(shè)Cn=Gl)%+bn,求數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和Tn.

解析⑴析+2an=4Sn,

當(dāng)n=l時(shí)，底+2ai=4ai,所以a〕=2或ai=0(舍)，

當(dāng)n22時(shí)，4i+2an“=4Sn-i,

兩式相減得成-d^.1+2an-2an.i=4Sn-4Sn-1=4an,

所以(a『an-1)(an+an-1)=2(an+an.1).

又因?yàn)閿?shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正，

n

所以品周一產(chǎn)2(讓2),故㈤｝是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列，所以a『2n,則bn=(-2),

則學(xué)

A?)i+3??i+2

因?yàn)锽n+2+Bn+i=--+(―l)n-----------

=2[-f+(-l)n^-]=2Bn,

所以Bn+|,Bn,Bn+2成等差數(shù)列.

⑵由⑴得G=(-2)n+2(-D"n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

12n

Tn—c1+C2+...+cn—(-2)+(-2)+..J-(-2)+2[-1+2?3+4?..「(n-1)+n]=§,2n+n-§.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

nr

Tn=c1+C2+..r^Cn=(-2)1+(-2)2+..d*(-2)n+2[-1+2-3+4-..d"(n-1)-n]=--?2n-n--.

'|.2n+n-|,n為偶數(shù),

綜上，可知

j|.2n-n-|,n為奇數(shù).

18.(2022成都二診.17)設(shè)數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為S”,且滿(mǎn)足3a『2511=2(11￡r4*),｛如｝是公差不為0的等差數(shù)

列b=1h是b2與b8的等比中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

、//用

.別''求數(shù)列｛.｝的前2n項(xiàng)和T2n.

｛bji+2,n為奇數(shù)，

解析⑴當(dāng)n=l時(shí),3a「2sl=ai=2.

當(dāng)n>2時(shí)，由2Sn=3a『2可得2Sn」=3aw2,

得2an=3an-3a?i,則an=3an.i,

所以數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,

故拆=2'3叫

設(shè)等差數(shù)列｛bn｝的公差為d,則dHO.因?yàn)楸?b2b8,所以(l+3d)2=(l+d)(l+7d),

解得d=l,因止匕,bn=bi+(n-l)d=n.

2x3%i,n為偶數(shù),

(2)由已知可得Cn=\

n+2,n為奇數(shù)，

,32n1

所以T2n=(3+2x3)+(5+2x3)+...+(2n+l+2x3-)

=[3+5+...+(2n+l)]+(2x3'+2x33+...+2x32n-1)

=絲普+喀=n2+2n+中.

19.(2022江西贛州一模,18)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛a0｝的前n項(xiàng)和為Sn,已知2Sn=W+a,“

(1)求｛a。｝的通項(xiàng)公式;

⑵記bn=WcOS駕,Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，求T3n.

解析⑴當(dāng)n=l時(shí),2S尸憂(yōu)+ai.所以嫉=ai,又ai>0.故ai=l.

當(dāng)n>2時(shí),2Sn=W+an,2Sn-1=確l+a'i,兩式相減得2an=a2-*i+a『a?i,整理得(an+an-i)(an-anrl)=0.

因?yàn)閍n+an-i>0,所以an-axl.故｛aj是以1為公差的等差數(shù)列，所以an=ai+(n-l)d=n.

⑵由⑴可得bn=n2cos等.

設(shè)Ck=b3k-2+b3k-i+b3k,貝11Ck=(3k-2)2COS(2/CTC-yj+(3k-l)2cos(2kir-與)+(3k)2cos2k7r—|(3k-2)2-

|(3k-l)2+9k2=9k-1.

9，i

所以T3n=C1+C2+...+Cn=

20.(2022紅橋一模,19)已知｛an｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,｛b,J是等比數(shù)列.且al=bl=3,S3=3,^=b3+b4.

⑴求數(shù)列｛an｝、｛bn｝的通項(xiàng)公式；

⑵求自產(chǎn).

k=lbk+i

解析⑴設(shè)｛an｝的公差為d,｛bn｝的公比為q,由a產(chǎn)bi=3S=3,^=b3+b4,

可得3ai+3d=3,(biq)2=biq2+biq3,BP3d=-6,3=l+q.

解彳導(dǎo)d=-2,q=2,an=5-2n,bn=3-2n-1.

(2)由(1)得Sn=n(4-n),

之222

?,?旦21w3Sk=a4k-k=a"樂(lè)/4kWk\=旦"4/k一旦"k/

設(shè)An=口,Bn=A「

則A后竽+號(hào)+..啰，①

LL4

-1A.n=-4^x-1+,-4？x2-+...+4^n,(2)

①-②得，An=2+4&+a+…+劫-

??An=8-費(fèi)?

Bn=|r+/…+%,③

TBn=a+/...+募④

③-④得,2Bn=^+最+,+..?+警?-點(diǎn)T，

設(shè)Cn=1+*+,+…+2苗,⑤

貝藝Cn=*+?#…+器,⑥

⑤-⑥得,Q="2@+盤(pán)+盤(pán)+…+同一箝,

整理得g=3-蘆,

n2+4n+6

B=6-

n―#-

?*?—i:又=An—Bn=2+n2-2

k=l%+1

21.(2022河西一模,19)已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,ai=4,2Sn=an+i+2n-4(nGN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

n

⑵求口Sk的值；

fc=l

⑶設(shè)b產(chǎn)Jl+nJ,、京+“，1，、=數(shù)列｛bn)的前n項(xiàng)和為T(mén)n.證明:白Tn<n+1.

zz

N[log3(an-l)][log3(an+1-l)]2

解析(1)因?yàn)?s產(chǎn)a同+2n-4(nWN*),

所以2Sn-i=an+2n-6(n>2),

兩式相減得an+i=3an-2,BPan+1-1=3(an-1)(n>2).

當(dāng)n=l時(shí),2Si=a2+2-4,因?yàn)镾i=ai=4,所以a2=10,滿(mǎn)足a2-l=3(ai-l),

n

所以｛a『l｝是以a.-l=3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列，所以a『l=3x3已故an=3+l(neN*).

n

⑵由2Sn=an+i+2n-4及an=3+l,

可彳導(dǎo)Sn=----Fn—

所以)Sk=i(32+33+..H-3n+1)+(1+2+..=—r—卜汗—n-p

k=l22424

⑶證明:由⑴知an=30+l,

斫以h-Il+±+^-Z-〃2(n+l)2+(n+l)2+n2_皿n+l)+l『_n(n+l)+l_,1_J_

1+

所以bn-Jl+nz+giy-J加+產(chǎn)一Jn2(n+1f-n(n+l)-nn+1,

11

所以Tn=(l+1-1)+(1+狀)+…+(1+1+)=+1一擊從而Tn<n+1,

又bn>0,所以｛Tn｝為遞增數(shù)列，則Tn>T14

綜上可得|?Tn<n+1.

22.(2022天津十二區(qū)縣重點(diǎn)學(xué)校一模,19)設(shè)數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為S“*且滿(mǎn)足3an-2S?=l(nGN*).

⑴求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

⑵記b/(2?l)(2n+3)刀為奇數(shù)'數(shù)列｛bn｝的前2n項(xiàng)和為T(mén)2n,若不等式(-1)昵T2n喏,6)”-指對(duì)一切

Q,n為偶數(shù)，32\9，府+1

k0n+1

nGN”恒成立，求九的取值范圍.

解析⑴由3an-2Sn=l(nGN*),

得當(dāng)n>2時(shí),3an-i-2Sn-i=l,

兩式相減得3an-3an-i-2an=0,BPan=3an-i.

當(dāng)n=l時(shí),3a「2al=l,；.ai=l,

..?數(shù)列⑶｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,

an=3n''.

⑵由⑴得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)h=*

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),鬲島-急)，

設(shè)數(shù)列｛bn｝的前2n項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為An,

則An=b1+b3+...+b2n.i=i（l-j=品,

設(shè)數(shù)列｛bn｝的前2n項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為Bn,

則瑞小記+心目―（濟(jì)

如=2><+4嗚"2聯(lián)廣

兩式相減得《Bn=2x6+卷+…+表）一2nX0,

整理得B總-曙（丁,

故T2產(chǎn)An+B產(chǎn)品+裝一甯?（丁

（n

?T2,n+32%\9B7_4n_+l=3232V97'

.?.不等式（-1”<丁2苦聶丁-島對(duì)一切nWN*恒成立，即不等式（-1）隊(duì)磷-專(zhuān)（）對(duì)一切nWN“恒成

立，

vf（x）4-卷圖”在R上是增函數(shù).

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)入弓--《）=擊

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),-必,故心5

”的取值范圍為（弓磊）.

23.（2022塘沽一中二模,19）已知數(shù)列⑶｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項(xiàng)和為工問(wèn)=1聞=22+2,數(shù)列?｝

n.

滿(mǎn)足國(guó)十b",且b尸1.

（1）求數(shù)列｛%｝和｛E,｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）求□a2kcoskjc;

k=l

（3）設(shè)備=急，數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:T?.

解析（1）設(shè)等比數(shù)歹1」｛即｝的公比為q,q>o,

由a1=l,a3=a2+2彳導(dǎo)q?=q+2,解得q=2（舍負(fù)），則an=aiqn_1=2n_1.

由題知bi=l,且bi+y-+^+...+-=bn+i-l（nGN*）,

當(dāng)n=l時(shí),b尸b2?l,即ba=2,

當(dāng)n>2時(shí),bi+當(dāng)+…+^:=bn-l,

**?~-b+1-1-(b-l),

nnn

則%±1=里

bn九'

所以用累乘法得b產(chǎn)n，當(dāng)n=l時(shí)也成立，所以bn=n,nWN*.

n2nl

(2)a2ncosn7r=(-l)-2=^y-,

2L1iin1-44-4)n+l-4.(-4)n+l

□akcoskn=-[(-4)+(-4)-+(-4)3+..H-(-4)n]=-------=--r-.

fc=l222510

⑶證明。嗡4券=8

設(shè)匕=1,京+2.熱+3/+??+01)?—+11?冊(cè)

貝詠后1?熱+2?a+3.導(dǎo)?.±(n?l)?卡+n?￡,

兩式相減得,kn=￡+,+也+導(dǎo)…+/-"*,

1」

整理得|kn=Y-n備=|-(|+n)-

3

..93/3,\192n+3

?北，一式/葉子二廠(chǎng)才，

Q

則Tn<kn<J

24.（2022天津三中一模,19）已知數(shù)列｛an｝中,ai=1皿=3,且滿(mǎn)足(5+1__________

na-a

(n+2n+l)(n+l)(an+1-an)2n(n+iy

⑴設(shè)b產(chǎn)產(chǎn)^(nWN*),證明:｛壯｝是等差數(shù)列；

an+l-an

⑵若