高考試題-數(shù)學(xué)(全國Ⅰ)(理)

09年全國卷I理科數(shù)學(xué)試題全析全解（一）

河北望都中學(xué)湯敏軍

2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)（必修+選修n）

本試卷分第錯誤！未找到引用源。卷（選擇題）和第錯誤！未找到引用源。卷（非選

擇題）兩部分.第錯誤！未找到引用源。卷1至2頁，第錯誤！未找到引用源。卷3至4

頁.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

考生注意：

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、

填寫清楚，并貼好條形碼.請認真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目.

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.

3.本卷共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

參考公式：

如果事件A,B互斥，那么球的表面積公式

P（A+B）=P（A）+P（B）S=4K/?2

如果事件A,3相互獨立，那么其中R表示球的半徑

P（AB）=P（A）P（B）球的體積公式

4

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P,那么V=—兀*

3

n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率其中R表示球的半徑一、選擇題

（1）設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合［“（A18）中的

元素共有（A）

（A）3個（B）4個（C）5個（D）6個

解:A8={3,4,5,7,8,9},A8={4,7,9}:.Q(AB)={3,5,8}故選A。也可用摩根

律：G(AB)=(QA)(QB)

7

(2)己知——=2+i,則復(fù)數(shù)z=(B)

1+i

(A)-l+3i(B)l-3i(C)3+i(D)3-i

解：z=(l+f)-(2+z)=l+3z,.,.z=\—3i故選B。

v+1

(3)不等式-----<1的解集為(D)

X-l

(A){x|O(x(l){x|x)l}(B){x|O〈x〈l}

(C){x|-l<x<0}(D){x|x<0}

解：驗x=-l即可。

22

(4)設(shè)雙曲線［—與=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x?+l相切，則該雙曲線的離心

ab~

率等于(C)

(A)73(B)2(C)75(D)V6

解：設(shè)切點Per。,*），則切線的斜率為y1「m=210.由題意有&=2%又為=*+i

當(dāng)

解得：x02=1,.?.■!=2,e=Jl+（：）2=石.

（5）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中

各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（D）

（A）150種（B）180種（C）300種（D）345種

解：分兩類⑴甲組中選出一名女生有?屐=225種選法；

（2）乙組中選出一名女生有《?&=120種選法.故共有345種選法.選D

（6）設(shè)a、bc是單位向量，且a?力=0,則的最小值為（D）

（A）-2（B）>/2—2（C）—1（D）1—sp2,

解：Q,b,C是單位向量

=?-（4+》）c+c

=l-\a+b\\c\=\-42cos<a+b,c>>\-yf2故選D.

（7）已知三棱柱ABC-44G的側(cè)棱與底面邊長都相等，A在底面ABC上的射影為

的中點，則異面直線AB與eg所成的角的余弦值為(D)

(A)—(B)—(C)—(D)-

4444

解：設(shè)的中點為D,連結(jié)AD,AD,易知。=幺48即為異面直線AB與CG所成的

AnAn3

角，由三角余弦定理，易知cose=cosNA4D-cosNOAB=-------------==.故選D

(8)如果函數(shù)y=3cos(2x+。)的圖像關(guān)于點(3，0)中心對稱，那么|°|的最小值為

,、、冗，、兀，、兀71

(C)(A)—(B)—(C)—(D)—

6432

解：函數(shù)產(chǎn)3cos(2葉姆的圖像關(guān)于點件中心對稱

47r4乃7t

■,2—+(/>=k7v.^.。=版■—2?飛-(&eZ)由此易得|。lmin=H?故選C

(9)已知直線y=x+l與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為(B)

(A)l(B)2(C)-1(D)-2

1

解:設(shè)切點P(Xo，%)，則%=/+l,%=ln(%o+a),又|=------=1

%()+a

+a=l/.%=0,%0=—1「.”=2.故答案選B

(10)己知二面角a-l-B為60°,動點P、Q分別在面a、B內(nèi)，P到B的距離為JLQ

到a的距離為26，則P、Q兩點之間距離的最小值為(C)

(A)(B)2(C)26(D)4

解:如圖分別作QA±a于AAC±/于C,PB±尸于8,

PD±/于。,連CQ,則ZACQ=NPBD=60°,

AQ=2?BP=6:.AC=PD=2

又PQ=y]AQ2+AP2=J12+A產(chǎn)>2百

當(dāng)且僅當(dāng)AP=O,即點4與點P重合時取最小值。故答案選C。

(11)函數(shù)/(X)的定義域為R,若/(X+1)與/(x-l)都是奇函數(shù)，則(D)

(A)/(X)是偶函數(shù)(B)/(尤)是奇函數(shù)(C)/(x)=/(x+2)(D)/(x+3)是奇函數(shù)

解：/(X+1)與/(x—l)都是奇函數(shù)，/(-%+1)=-f(x+1),/(-X-1)=-/(x-1),

...函數(shù)/(元)關(guān)于點(1,0)，及點(一1,0)對稱，函數(shù)/(幻是周期T=2[l—(-1)]=4的周期

函數(shù).???/(一%-1+4)=-/(%-1+4),/(—x+3)=—/(x+3),即/(x+3)是奇函數(shù)。故

選D

12.已知橢圓C:—+y2=i的右焦點為尸，右準(zhǔn)線為/，點Ae/,線段AF交C于點B,

2-

若E4=3FB,則[4用=

(A).丘(B).2(C).G(D).3

解:過點B作_L/于M,并設(shè)右準(zhǔn)線I與X軸的交點為N,易知FN=1.由題意FA=3FB,

故18Mbg.又由橢圓的第二定義，得|8*=手*=#.14用=夜.故選A

第H卷

二、填空題：

13.(%-y)i°的展開式中，/V的系數(shù)與V爐的系數(shù)之和等于。

解：-a+(-。*)=-2%=-240

14.設(shè)等差數(shù)列｛?！保那啊椇蜑??,若S,=72，則/+q+為=。

解：｛4｝是等差數(shù)列，由既=72,得.?.59=9%4=8

/.a2+a4+%=(a2+09)+%=(%+?6)+?4=3a5=24.

15.直三棱柱ABC-A^B.C,的各頂點都在同一球面上，若

A3=AC=A4=2,NBAC=120。，則此球的表面積等于。

解:在AABC中AB=AC=2,NBAC=120°，可得BC=26，由正弦定理，可得AABC外

接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為。'，球心為。，在HTA08。'中，易得球半徑R=石,

故此球的表面積為4萬R2=20萬.

rrjr

16.若a<x<5，則函數(shù)了=13112工匕］13%的最大值為

.?.7171，

解:令tanx=t,—<x<—/.^>1,

42

.32tan4x2fl222

/.y=tan2xtanx=---------=----丁=-------------<——二-8

“l(fā)-tan2xi-t2X_1ly「1

2；44

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）

在A48c中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,已知〃一/=2/7,且

sinAcosC=3cos4si￡求b

分析:此題事實上比較簡單，但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件（1）a?-c1=2b左

側(cè)是二次的右側(cè)是一次的，學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件⑵

sinAcosC=3cosAsinC,過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在

已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.

解法一：在A418c中sinAcosC=3cosAsinC,則由正弦定理及余弦定理

2122,222

有:。=3幺+；，9C,化簡并整理得：2（/一92）=后.又由已知

a2-c2=2b.?.4;?=〃.解得。=4或匕=0（舍）.

22222

解法二：由余弦定理得：a-c=h-2hccosA.X4z-c=2b,o

所以8=2ccosA+2............................................①

又sinAcosC=3cosAsinC,/.sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC

sin（A+C）=4cosAsinC,即sin3=4cosAsinC

h

由正弦定理得sin8=—sinC,故〃=4ccosA..............................②

c

由①，②解得〃=4。

評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提

高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.另外提醒：兩綱中明確不

再考的知識和方法了解就行，不必強化訓(xùn)練。

18.(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

如圖，四棱錐S—A8CO中，底面A8CD為矩形，SO_L底面ABC」，

AD=y[iDC=SD=2,點M在側(cè)棱SC上，ZABM=60°

(I)證明：M在側(cè)棱SC的中點

(II)求二面角S-AM-3的大小。

(I)解法一：作MN〃S。交CO于N,作NELA3交4B于E,

連ME、NB,則MNJ.面A3CO,MELAB,NE=AD=&

設(shè)MN=無，則NC=E5=x,

在RT\MEB中，ZMBE=60°/.ME=瓜。

在RT\MNE中由ME2=NE2+MN2：.3%2=x2+2

解得x=i,從而MN=LSDM為側(cè)棱SC的中點M.

2

解法二:過“作CO的平行線.

解法三:利用向量處理.詳細可見09年高考參考答案.

(II)分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二

面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。

過M作M./〃CD交5。于J，作SH，A1/交A1/于”，作HKJ.AM交AM于K,

則〃CO,，面SAD，面SAD1面MBA,5"，面AMB：.ZSKH即為所求二面

角的補角.

分析二：利用二面角的定義。在等邊三角形43〃中過點8作AM交AM于點

F,則點F為AM的中點，取SA的中點G,連GF,易證GFLAM,則NGEB即為所求

二面角.

分析三:利用空間向量求。在兩個半平面內(nèi)分別與交線AM垂直的兩個向量的夾角即可。

另外：利用射影面積或利用等體積法求點到面的距離等等，這些方法也能奏效。

總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半

壁江山的狀況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。

19.(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假

設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)果相互獨立，已知前2

局中，甲、乙各勝1局。

（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；

（II）設(shè)彳表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局數(shù)，求&得分布列及數(shù)學(xué)期望。

分析：本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計題要容易。

需提醒的是：認真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是很

可惜的，主要原因在于沒讀懂題。

另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。

20.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

在數(shù)歹U｛4“｝中，q==（1+-）??+

nZ

（I）設(shè)a=%,求數(shù)列｛%｝的通項公式

n

（II）求數(shù)列｛4｝的前幾項和

分析：⑴由已知有個="+=’時「仇=。

1*

利用累差迭加即可求出數(shù)列g(shù),J的通項公式：bn=2--（neN）

n

（II）由⑴知=2〃-F，

'''=f〃（2%-產(chǎn)k）=J'L,（2%）一n￡產(chǎn)k

X=I乙k=\k=\乙

fi〃L

而Z（2k）=〃（〃+1）,又Z喜是一個典型的錯位相減法模型，

hik=]2

口/sz“"+2。/八n+2.

易得13GF=4-^ZFS?=n（n+1）+---4

評析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國（一）試題將數(shù)列題前置，考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求

前n項和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和

一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能，重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人

在有意識降低難度和求變的良苦用心。

21（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，已知拋物線E:y2=x與圓〃：（x—4）2+產(chǎn)=/0>0）相交于A、B、C、D

四個點。

(I)求r得取值范圍；

(II)當(dāng)四邊形ABCO的面積最大時，求對角線AC、BO的交點P坐標(biāo)

分析：(I)這一問學(xué)生易下手。將拋物線E：V=x與圓”：(》一4)2+,2=/(「>0)的方

程聯(lián)立，消去V，整理得f—7x+16—r=0.......................(*)

拋物線E：V=x與圓河：(％—4)2+；/=/(/>())相交于4、B、C、。四個點的

充要條件是：方程(*)有兩個不相等的正根即可.易得re(半,4).考生利用數(shù)形結(jié)

合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以.

(II)考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入

的方法處理本小題是一個較好的切入點.

設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為A(X],JX)、C(x2,-yjx^)>￡)(X2，JE)。

則由(I)根據(jù)韋達定理有玉+w=7,xw=16—尸，re(半,4)

則S=g-2?|x2-X|1(募+百)=1工2_%1(惠+禽)

22

/.S=[(%,+x2)-4xtx2](X,+X2+2yjxtx2)=(7+2,16-，)(4/-15)

令J16—產(chǎn)=t,則§2=(7+21)2(7-2。下面求相的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有

時很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二次均值

類似。

S-(7+2^(7-20=l(7+W+20(14-40

,1,7+2t+7+2f+14-4t、31,28、3

23