極限的基本性質(zhì)

極限的基本性質(zhì)第一頁(yè)，共27頁(yè)。第二節(jié)

極限的基本性質(zhì)

第二章

一、收斂數(shù)列的性質(zhì)唯一性有界性保號(hào)性、保序性4.收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系第二頁(yè)，共27頁(yè)。二、函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性局部有界性局部保號(hào)性函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

第二章

第三頁(yè)，共27頁(yè)。一、收斂數(shù)列的性質(zhì)

1.唯一性定理1.1

(收斂數(shù)列極限的唯一性)即若則必有若極限則極限唯一.第四頁(yè)，共27頁(yè)。(用反證法)及且取因

N1

N+,使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)即當(dāng)n>N1

時(shí),從而使當(dāng)n>N1

時(shí),證法1第五頁(yè)，共27頁(yè)。同理,因故

N2

N+,使當(dāng)n>N2時(shí),有從而使當(dāng)n>N2

時(shí),有從而使當(dāng)n>N1

時(shí),則當(dāng)n>N時(shí),矛盾！故假設(shè)不真!第六頁(yè)，共27頁(yè)。例1

證明數(shù)列是發(fā)散的.證

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在.對(duì)于則存在N,使當(dāng)n>N時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.于是推得矛盾！區(qū)間長(zhǎng)度為1這與第七頁(yè)，共27頁(yè)。2.有界性例如:有界無(wú)界第八頁(yè)，共27頁(yè)。即若使(n=1,2,…).定理2.2(收斂數(shù)列的有界性)收斂的數(shù)列必定有界.第九頁(yè)，共27頁(yè)。證設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有即收斂數(shù)列必有界.有第十頁(yè)，共27頁(yè)。注有界性是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.收斂有界關(guān)系：例如,雖有界，但不收斂.數(shù)列推論無(wú)界數(shù)列必發(fā)散.第十一頁(yè)，共27頁(yè)。3.保號(hào)性、保序性定理2.3(收斂數(shù)列的保號(hào)性)(1)若則使當(dāng)n>N時(shí)，(<)(<)(2)若則a0.(<)()恒有且第十二頁(yè)，共27頁(yè)。對(duì)a>0,取證(1)(2)用反證法證明.注如：第十三頁(yè)，共27頁(yè)。推論2.3(保序性)使當(dāng)n>N時(shí)，恒有(2)若時(shí),有第十四頁(yè)，共27頁(yè)。證(用反證法)取因故存在N1,

使當(dāng)n>N1

時(shí),假設(shè)從而當(dāng)n>N1

時(shí),第十五頁(yè)，共27頁(yè)。從而同理,因故存在

N2,使當(dāng)n>N2

時(shí),有則當(dāng)n>N時(shí),便有與已知矛盾,于是定理得證.當(dāng)n>N1

時(shí),第十六頁(yè)，共27頁(yè)。4.收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系(1)子數(shù)列的概念稱(chēng)為數(shù)列{xn}的一個(gè)子數(shù)列(或子列)。第十七頁(yè)，共27頁(yè)。例如,從數(shù)列中抽出所有的偶數(shù)項(xiàng)是其子數(shù)列.它的第k項(xiàng)是組成的數(shù)列：第十八頁(yè)，共27頁(yè)。(2)收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系定理2.4也收斂，且證

設(shè)的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有第十九頁(yè)，共27頁(yè)。注定理1°

某收斂例如，但發(fā)散.2°

若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，則原數(shù)列一定發(fā)散.例如，

發(fā)散!第二十頁(yè)，共27頁(yè)。二、函數(shù)極限的性質(zhì)1.唯一性定理2.1'

(函數(shù)極限的唯一性)2.局部有界性第二十一頁(yè)，共27頁(yè)。如：(2)若則

X>0,函數(shù)f(x)有界.使得當(dāng)時(shí)，第二十二頁(yè)，共27頁(yè)。3.局部保號(hào)性

定理2.3'

(函數(shù)極限的局部保號(hào)性)(1)如果且A>0,則存在(A<0)(2)如果且存在A(yíng)

0.則(A

0).據(jù)此，可由極限符號(hào)推得函數(shù)在該點(diǎn)鄰域內(nèi)的符號(hào)據(jù)此，可由函數(shù)在該點(diǎn)鄰域內(nèi)的符號(hào)推得極限符號(hào)第二十三頁(yè)，共27頁(yè)。(1)如果存在X>0(或δ>0),時(shí),恒有f(x)<g(x)(或推論2.3'(函數(shù)極限的局部保序性)時(shí),恒有第二十四頁(yè)，共27頁(yè)。問(wèn)題:若f(x)<g(x),能否推出？例如:設(shè)當(dāng)x>0時(shí),有f(x)<g(x),但是不能！第二十五頁(yè)，共27頁(yè)。內(nèi)容小結(jié)1.收斂數(shù)