2018考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)講義

第一 —基礎(chǔ)篇—行列式與矩一１．行列式的本質(zhì)柯西 a

１ axaxb １a１１aa１a１ a１１aa１a１１１既

b１ba a１１a１a１

a１１a１ba１再看３階:a１a a３１a３沙路法５２

１２５３我０生０有你０

我有 生有三元線性方程組 a１１ ３

稱為系數(shù)行列式

a３１ ２jjD中第j列換做

而得的新行列式如一般地

a１１b１a１３a１ba３a３１b３a３３a１a

n個(gè)n維向量所拼成的n維圖形體積an１ １２３１２５Tn１２３１２５Tn行列地位相同２５１６７２３１６７?

２ ００ １２７A中有兩行列元素對(duì)應(yīng)成比例?

１２ ２５ １２６２５３１２２２５３單列可拆加３１７３１７３１７４７９４７９４７９ jini例題

k( ii a 計(jì)算

an－１an

a ３１ １

１ １２４８８１２自練

４８１２２４８

１３ 行列式是由向量拼成的且 A≠０?組成A的向量全獨(dú)立線性無(wú)關(guān) ０?組成A的向量至少一個(gè)多余線性相關(guān)二１．引例 男生人 人英語(yǔ)系

９６機(jī)械系＼ ２ninn

２．本質(zhì)上的問(wèn)題

給出 ,?k階子式不為 ArA?k１階子式全為??k?k１個(gè)向量,至少一個(gè)多余

?有且僅有k個(gè)獨(dú)立向量rA)k?A有且僅有k個(gè)獨(dú)立向量;秩是組成A的獨(dú)立向量的個(gè)數(shù)１２如

臺(tái)階 秩００６丿．化A為行階梯型陣行最簡(jiǎn)階梯型陣４A若有０行全在下方 從行上看,自左邊起,出現(xiàn)連續(xù)０的個(gè)數(shù)自上而下嚴(yán)格單增．稱A為行階梯型陣．若A還滿３臺(tái)角位置元素是４臺(tái)角正上方元素全是１稱A陣．初等行變換１２ ２１１互換 ? ２１６丿１２３丿１２３２４６倍加１２３第一 并加到第二行 ２１ ? ２１６丿５７

１２３丿例１】分析

４９０為行最簡(jiǎn)階梯型陣 ３６０丿５７ ５７ １０ A) →４９０→０１ ３６０

０００ ０００ １ ２分析１０ A ０１ ００ ０００丿５第二講向量組與方程組綜述

a１nxn anxn nn１ a１ axb x １? ? n? ?

amα

n

β方程組的解就是系數(shù)一定性研究相關(guān)性有無(wú)多余向量表示性如何表示多余向量極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)性等價(jià)向量組αα

α α １ ＜S１αxs α?若要使

０成立,必須有 xs,稱αααs線性無(wú)關(guān)６ x１ααα?ααAx１αα s xs xs x ααα ０只有０解ααα線性無(wú)關(guān) s A系數(shù)矩陣X１anβ１bb１α,)a b n) １ nx１ rA 獨(dú)立方程個(gè)＜SS 未知數(shù)個(gè)８?jìng)€(gè)定理ααs＋１ααs－１ααs＋１ααs－１ 給出α α ( (從 叫升維反之叫降維１ s s αssααss關(guān)則αααs不定．小結(jié)部分相關(guān)?整體相關(guān)整體無(wú)關(guān)?部分無(wú)關(guān)原來(lái)相關(guān)?縮短相關(guān) １ 內(nèi) ? rA原來(lái)無(wú)關(guān)?延長(zhǎng)無(wú)關(guān)７能α αs)αβ)ααs)１αβ)xs 任何一組數(shù)xxx使 成 １ ss αα 線性表示［稱不可由

x１ x１( ( β有解ααs)A,? Xβ s

s１ x１ β無(wú)解 s自由項(xiàng)陣A是增廣矩陣X 非齊次方程注對(duì)于AX rAAX ｛

且r(A)＜S? rArArAβ３．代表性定義從ααα取出ααα若其滿足線性無(wú) αα i１

任一αi

i１rrA＜S如何表示這無(wú)窮多解呢? 這無(wú)窮多解的代表是極大線性無(wú)關(guān)組也叫基礎(chǔ)解系)定義若AX０有無(wú)窮多解Amn即rA＜nm:方程個(gè)數(shù)可能有變未知數(shù)個(gè)數(shù)不能有變.s線性無(wú)關(guān)X０任一解均可由其表示８sn個(gè)n維線性無(wú)關(guān)向量組張成nαβ.i２Ι可由Π線性表示 sj２稱ΠΙ線性表示當(dāng)同時(shí)成立時(shí)Ι與Π等價(jià)rAB二定量描述１．給出AX求其通解全部解．rArA＜n．關(guān)鍵在于求基礎(chǔ)解系提出:求基礎(chǔ)解系的步驟將A化為行最簡(jiǎn)階梯型按列找出一個(gè)秩為A的子矩陣則剩余位置的變量即為自由變量．按基礎(chǔ)解系定義反著寫→→ xx x４x３x０２x１x ３x３５

求其通解５x３７x １ ２１１３

１ ０ ０ ３ ０ ００rA

( ３０１０T２９故通解為ξk１ξ１ k２．給出AX求其通解rArAXrA且

ξ為AX０的通解Xβ的特解rAn? xx xax２x３

３x１２xx３x４３x

?時(shí)方程組有解并求出全部解 １１１ １１１１ a ０１２ ０１２２ b解 → 有解３２１ ３ ０００００b５４３３ １０丿０００００１a１１１１１ A)

０１２２６３() ０００００ ００００００丿 ２１００Tξ ２０１０TrA, ６００１Tη(２３０００Tηk １ 注設(shè)

６

１b?時(shí)β可由ii表出并寫出表達(dá)式其解與例２完全相同第三 應(yīng)用—特征值與二次引言 含交叉項(xiàng)一般形?′ ′只含平方項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形一二次型f１xx３ １ ３x１(規(guī) (x１ x３)１ 寫 對(duì)稱矩陣化成 1

÷關(guān)鍵:將矩陣A相似對(duì)角化成Λ需三個(gè)準(zhǔn)備工作二A的特征值和特征向量對(duì)于An×n若存在數(shù)λ非零列向量ξ使得Aξ稱λ為A的特征值為A*的特征向量 ０１ １ 如 １１２１ １丿１ １ξAξ?EAξ?EAX零?EA ０λnEXλiEX例求矩陣

１ ０ １的特征值和特征向量 １丿解寫特征方程λE 因此１

*

λλλ)E １ １

得到

１０１T １→０ ０ ０ ０ ０ １

１０

得到

( １１T １→０１ １ ０００ ０ １ １ ３

得到 ２丿０ ０ξ３(１２１T三A~ A１ξn)１ξn ?１Aξn)λ１ξ１λξ i 四正交矩陣

定義若PPTE則稱P為正交陣 a１３a１１a１a３１ １００１０

α→a１ a３a１ a３ ÷ a３３a１３a３a３３丿００１丿 １α)０?α１ １３)０?α１ １ α３)０?αα３五二次型的一般形化為標(biāo)準(zhǔn)形fXTA YYTΛY

EPT P１YAY)PYPP)求一個(gè)正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形fx１x３２x１x１ ０x１ 解寫A

x λ 求的λ與ξ｛｛｛２ １ １將１ξ３正交化單位化?拼成正交陣１

１

１ １ξ)

１３)

１ ２ ０ηη３ ０ηη３ ６１ １２丿１ηη３

３

６ f XXY

yy) y

y(１?y３ 附錄:課后該做習(xí)題第一 行列§二階與三階行列式行列式的概念例P２習(xí)題一二三階行列式計(jì)算的對(duì)角會(huì)§．全排列考研不做要求§n階行列式的定義n階行列式的定義例２習(xí)題一３對(duì)角行列式上下三角形行列式掌握重點(diǎn)記住,以后直接使用§．行列式性質(zhì)~性質(zhì)及各個(gè)推論例~９例０證明不要求,結(jié)論記住以后直接使用)P,自己證明性質(zhì)３~會(huì)§５行列式按行列)式代數(shù)式的概,３定理行列式按行列展開法則會(huì)證明不要求掌握定理２推論的證明理解熟記范德蒙德行列式的特點(diǎn)與計(jì)算)第二 矩陣及其運(yùn)齊次線性方程組非齊次性方程組的概念零解非零解的概念例m×n矩陣n階方陣列向量概念同型矩陣,等,零矩陣的概念單位矩陣三角矩陣和稱矩陣,對(duì)角矩陣的概２矩陣的加法例５,,８９經(jīng)典例題,０運(yùn)算律,矩陣的方冪純量矩陣數(shù)量矩陣?yán)斫庵攸c(diǎn)３逆矩陣的定義 ３５~,,定理定理２矩陣方程例)矩陣的m４會(huì)重點(diǎn)例二５５分塊矩陣的運(yùn)算律i~例９經(jīng)典例題２變形形式:式０)第三 矩陣的初等變換與線性方程理解數(shù)一了解數(shù)二數(shù)三行階梯形矩陣的特點(diǎn)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì))２矩陣的秩的定義掌握重點(diǎn)例(),２定理２矩陣秩的基本性質(zhì)①§３３方程組的解定理３掌握重點(diǎn)例３３４,(３,２定理４~理解重點(diǎn)定理掌握重點(diǎn)第四 向量組的線性相關(guān)組及其線性組合向量向量組的定義理解數(shù)一數(shù)二了解數(shù)三例線性組合線性表示理解重點(diǎn)定理,矩形陣等價(jià)與向量定理２及其推論,定理單位坐標(biāo)向量的定義(見例§４２線性相關(guān)理解重點(diǎn)例P習(xí)題四:３()４~定理定理５掌握重點(diǎn)３義與等價(jià)定義理解數(shù)一數(shù)二數(shù)三重點(diǎn)例P習(xí)題四:~２,僅數(shù)學(xué)一要求３理解數(shù)一數(shù)三數(shù)二重點(diǎn)會(huì)§４４方程組的的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)掌握重點(diǎn)例P習(xí)題四:２,２２~,３量的性質(zhì):性質(zhì)３性質(zhì)理解重點(diǎn)礎(chǔ)解系,定理掌握重點(diǎn)齊次非齊次線性方程組的通解掌握重點(diǎn)用初等行變換求解線性方程組的方法５向量空間的定義,量空間的基了解僅數(shù)學(xué)一要求P習(xí)題四:僅數(shù)學(xué)一要求向量在基下的坐標(biāo),式坐標(biāo)變換過(guò)渡矩第五 相似矩陣及二次§向量的內(nèi)積長(zhǎng)度及正交性向量?jī)?nèi)積的定義和性質(zhì)例兩個(gè)向量正交,向量組規(guī)范正交基,正交化過(guò)程§５２方陣的特征值征向量的定義例~３特征方程特征多項(xiàng)式,會(huì)數(shù)一數(shù)二掌握數(shù)三特征值的性質(zhì):例特征值的性質(zhì):定理理解(數(shù)學(xué)三不作要求３相似矩陣的定義及性質(zhì)定理３理解重點(diǎn)(數(shù)三要求掌握其性質(zhì)例４~矩陣的相似對(duì)角化定理４掌握重點(diǎn)４定理５掌握重