張量分析論文

1知識總結1.1指標符號例如，三維空間任意一點p在笛卡兒坐標系(X,x,x)，若是再推廣到比三123維更高的空間時不好描述了。因此，發(fā)展了另一種記法指標記法。在三維空間力里，矢量有三個分量，采用一般的指標將它們用一個簡單的分量進行縮寫。因此在指標記法里邊用指標符號表示為(Xj,i=1,2,3)。一個n維空間的矢量(x,x,x，…,x)也可用分量表示為(x,i=1,2,...,n)。123ni其中i一指標(取值范圍為小于或等于n的所有正整數(shù))n一維數(shù)1.1.1求和約定和啞指標可表示為S=￡axi=1X可表示為S=￡axi=1Xax.j=1要表示求和S=ax+axH—ax，1122nn約定：S=ax=ax，(用拉丁字母表示3維，希臘字母表2維)。其中求和指標Iljj與所用的字母無關指標重復只能一次。對于雙重求和，X2Axy，ijiji=1j=1…Axy=Axy+Axy+Axy+Axy+Axy其中，ijij11111212131321212222+Axy+Axy+Axy+Axy2323313132323333可表示為Axyz，代表27項的和式。ijkijk1.1.2自由指標Ax+Ax+Ax=bTOC\o"1-5"\h\z1111221331Ax+Ax+Ax=b2112222332Ax+Ax+Ax=b3113223333可以簡寫為A.x.=b,其中j——啞指標i——自由指標，在每一項中只出現(xiàn)一次，一個公式中必須相同1.1.3Kronecker-S符號和置換符號（Ricci符號）（1）Kronecker-S符號定義

首先是標積，從物理學知道，一個力矢量f與一個位移矢量s，可以確定個標量，即功W，W=f.s=|fe|scos。其中記作fs?.所以又稱點積。用指標符號，貝UW=f/a,+f2s2+f^=￡郁=f島t=\當用基矢分別表示fs，時，它們的點積記為幽—（/［勺+/￡衛(wèi)+j.w）■+土勺+=脈】,e2+"e廠e2+"侖廣％+…由于匕，與，匕是相互垂直的單位矢量，由點積的定義，知當i=j時，8〃的分量是1;當i村時，8ij的分量為0。即8=8jiij〃18=8jiij0當，。j8y.l當i,j8y.l當i,j=1,2,3時，有8=8=8=1812=8=8=8=8=8=0克朗內(nèi)克'22123(Kronecker)888111213888212223888313233當將1、2、3100100323113符號8j可看作是一個單位矩陣的縮寫形式，即001賦值給i時，這一點很容易被驗證，于是得到的分量分別為V2，V3所以j.=V，可見，最終的結果是由于"值變換上用，?代替j。所以，顯而易見，將8〃應用于vj只是將vj中的j用i置換；因此8〃符號通常稱為置換算子。（2）置換符號（Ricci符號）‘1若G,j,k）=G,2,3）（2,3,1）（3,1,2）e=\-1若G,j,k）=（3,2,1）（2,1,3）（1,3,2）ijk0若有兩個或三個指標相等交錯張量eijk還為縮寫提供了另一種方法。例如，叉積可以寫為evwe。ijkjki注意求和約定。三個矢量U，V，W的點積和叉積可以得到幾種有意義的乘積形式：

（6rxr）xfKtZx（FxJF）、t/x（rxjn下面的關系式成立并且有用：〔1）通常，（UT）?用（2）up（rx>n、w-（vxu）以UVW,為邊的平行六面體的體積或者該體積的負值，這要根據(jù)UVW,是不是構成右手坐標系而定。1.2矢量的基本運算在三維空間中，任意矢量都可以表示為三個基矢量的線性組合e,e,e，123a=ae+ae+ae=ae

112233ii其中a.為矢量a在基矢量e.下的分解系數(shù)，也稱矢量的分量（1）矢量點積可表示為e-e-6,a-b=ae-be=ab5iijjijijab=ab（2）矢量叉積可表示為exe=eeijijkk5i15j1e1i25j2e25i15j1e1i25j2e25i35j3e3=e55e=ee=eerstirjstijttijkkaxb=aexbe=abexeiijjijijabee=eabe=cijijkkijkijkc=eab

kijkij(3)矢量的混合積故可得:可表示為axb-c=eabe-ce=eabc5ijkijkrrijki=eabcjrkrijkijk其中有exe-e=ee-e=e5=eijkijrrkijrrkijk（e以表示Ricci符號）1.3坐標變換考慮三維空間的兩個正交直線坐標系（笛卡爾坐標系），并設原坐標系為嚀尸"其基矢量為％%J又設變換后的新坐標系為O&K或,其基矢量為站勺展；口設一矢量孔用IH坐標和新坐標系表示「分別為v=e.v.=e.v.由此可得；將矢量分量由舊坐標變換為新坐標的變換式。為此，用勺點乘上式.得v：=ef-e（vj記為式中匕二*，％-=|圳勺co招二為新坐標軸：對舊坐標軸J的方向余弦仔利用4?記號還可以寫出新舊坐標的關系■1.4梯度、散度1.4.1標量場的梯度假定在空間某區(qū)域定義一個標量P，那么可以得到P分別對三個坐標的導灑灑灑數(shù)，即grad^=—eeedx1世2邊31.4.2矢量的散度7.du前du_「div^=—x+——^+——=u=ed-ue=V?udxdydzj，j11jjV?u是一個標量，在空間任一點，它只有一個值，不像矢量那樣有三個分量。1.5笛卡爾張量1.5.1張量的概念與表示方法矢量是比標量更復雜的一種物理量或幾何量。自然界還有比矢量更復雜的量，如彈性體中一點的應力狀態(tài)，就有正應力b，b，b和剪應力T，T，Tyz，T.，Tyx，Tzy共九個分量值。這樣一種量，叫做張量。先從矢量V的表示方法考慮，從有向線段的圖示法出發(fā)，應用平行四邊形合成法則，引進了￥=咐的表示方法?；蛘呗匀セ腹挠浱?，只記它在某一坐標系中的分量，用行（或列）矩陣，將矢量『記為或［上％吟……土］'然后’從分析方法方面，明確一個矢量在坐標變換時所遵從的變換規(guī)如1"時即矢量在變換后的坐標可以按照上述規(guī)則進行變換，無論是像速度或者力這樣的物理量，還是像從原點出發(fā)的軸射矢量這樣的幾何量，或者像標量的梯度這樣不易想象的量，這個變換規(guī)則適合任何的矢量。若我們現(xiàn)在在定義張量和表示張量時'上述的方法，可以如下推廣.首先，對于圖示法.-個二維或者P維甚至K維的有向線段，它只能表示矢量，用這樣??種簡單而直觀的辦法來表示張量，顯然是不行的.-個矢量V,在選定的坐標系貝&邑中可表為尸=己國+坎電+我均而由變換規(guī)則叫'=5在經(jīng)過變換的另??個坐標系腐琴^中，則可表為v=e［vi+e2v2+qV,它們之間的關系，可寫為V；=W=CDS（兄占）七在學習彈性力學時，曾遇到過很復雜特性的量，這些量原叫“并矢量二現(xiàn)在，并矢暈:被稱為二階張量D名稱“張量”起源于它和張力有關的歷史.下面，首先定義具有三個量的?階張量，其分量具有這樣的特性；如果他們在任意坐標系西中某一定點上的值為飛，則在其他任何坐標系￡中，在該點的值可由關系式片.'=4%求出，由于所有矢量都遵循這一規(guī)則迸行變換，這些矢量就是一階張量。不論采用的坐標如何,一個標量，如溫度,在一定點上有著相同的值，所以，標量不受變換的影響，定義為零階張量,個一階張量有三:個分量，一個零階張量有一個分量，、可類似地將該定義推廣到高階張量.一個二階張量，有九個分量。這樣，如果在可坐標系中，它們在某點的值為‘％,那么在其他任何坐標系A中，在同一點的值為atj=，/用知正如個矢量完全可由二個標量來定義，-個二階張量完全可由三個矢量來定義.1.5.2張量的代數(shù)運算加(減)法T=A+B=(A+B)ee=Teei'j'i'j'i'j'i'j'i'j'矢量與張量的點積(點乘)張量的乘法，又叫張量的外積或直積。任何階的幾個張量都可施行乘法運算。其意義是第一個張量的每一個分量乘以第二個張量的每一個分量，不難證明它們組成的集合仍是一個張量，叫做原兩個張量的積張量。積張量的階數(shù)等于兩相乘張量的階數(shù)之和。矢量與張量點乘的結果仍為張量,新張量b比原張量T的階數(shù)降低一階左點乘a-T=(ae)-(Tee)=aT5e-biijkjkijkijk右點乘T-a—(Tee)-(ae)-Tae5-Tae—cijijkkijkijkijjia?T豐T-a(只有對稱張量兩者才相等)矢量與張量的叉積矢量與張量叉乘的結果仍為張量，新張量與原張量同階左叉乘axT—(ae)x(Tee)-aTeee—eaTee—Aiijkjkijkijrrkijrijkrk右叉乘Txa—(Tee)x(ae)-Taeee—eTaee—Bijijkkijkijkrrjkrijkir兩個張量的點積兩個張量點積的結果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減2A?B—(Aee???e)?(Bee???e)ij—kijkrs“,trst—ABee一書e???eij—krs-tijkrst—ABee???e???e—Sij…kks-tijst兩個二階張量點積的結果為一個新的二階張量，這相當于矩陣相乘張量的縮并在張量的不變性記法中，將某兩個基矢量點乘，其結果是一個較原張量低二階的新張量,這種運算稱為縮并，張量的縮并是張量特有的又一個代數(shù)運算。對階張量進行縮并，就是對其中兩相同的指標按求和約定求和。不難證明，縮并之后仍是張量，其階數(shù)比原張量低某個偶數(shù)，這要看它是對幾對指標縮并而定。二階張量的縮并，是一個標量。低于二階的張量（如矢量）不能進行縮并運算。A-AeeA=Ae-e=A6=A=A+A+A?,■,,,,11ccccijijijij11112233（6）指標置換這是張量所特有的代數(shù)運算之一，也是最簡單的張量代數(shù)運算，如A=Aeeeijkijk若對該張量的分量中任意兩個指標交換次序，得到一個與原張量同階的新張量Aeee=BeeejikijkijkijkAeee=Aeee=Beeeijkjikjikijkijkijk如果一個張量只是對某一對特定指標對稱（或者斜對稱），則稱之為對這對指標對稱的（或者斜對稱）張量。如果在一個坐標系中，一個張量對某一對指標對稱（或者斜對稱），那么在所有的坐標系中，它對該對指標都對稱（或者斜對稱）。2知識應用井筒巖體裂隙等效滲透系數(shù)張量數(shù)值法研究2.1井筒巖體淋水現(xiàn)狀受地質(zhì)、水文、施工等多種復雜因素的影響，煤礦在井筒建設之初就有淋水現(xiàn)象。隨時間推移，淋水點越來越多，淋水量不斷增大。副井井筒主要出水層位是在進入到主要含水層后開始，明顯出水點集中在井壁破裂處，局部裂隙、明顯出水點和井壁破裂嚴重的位置基本對應，大多出現(xiàn)在井筒的東北和西南方向，裂隙井筒巖體滲透性及其隨著應力、溫度的影響受到廣泛關注。圖2.1副井井筒內(nèi)罐道梁和支護體系在淋水后銹蝕沿整個副井井深，在井壁的東北和西南出現(xiàn)明顯的壓剪破壞裂縫，東北方位裂縫多數(shù)右上到左下方向，而西北方位裂縫多數(shù)是左上到右下，呈現(xiàn)出與地層侏羅系地層X型壓剪共軛裂縫相對應的特征。隨著井筒深度增加，裂縫傾角（初始近70）有逐步變緩趨勢。井壁裂縫沿井深的分布廣，井深50m以下直到馬頭門上方均布。圖2.2井深80?200m副井井壁混凝土破壞段主要位于馬頭門向上100m左右范圍，從地質(zhì)柱狀圖可知，這一范圍恰好處于1煤至5煤的含煤地層。從2012年4月檢查情況看，局部區(qū)域的井壁厚度甚至不足15cm，井壁破壞嚴重，井壁后煤層清晰可見。由于煤層的自身承載力能力弱，且具有遇水膨脹的特性，井壁的淋水滲透到煤層引起向井筒內(nèi)的膨脹變形進一步加劇了井壁破壞。為研究巖體溫度與裂隙滲透性變化關系，進行為期3個月的靜水壓力及溫

度對含單裂隙石英巖滲透性實驗，并分析其變化機制開展了不同溫度及應力作用下人工裂隙滲流試驗，提出了巖樣裂隙結構面溫度-應力-水力耦合本構關系式。2.2井筒巖體裂隙滲透特性試驗研究（1）試驗裝置及試驗方案首先開展了大理巖人工裂隙滲透率隨應力及溫度變化的試驗研究，獲得加卸載過程中裂隙滲透率的演化規(guī)律；其次通過數(shù)值方法研究了某裂隙巖體特定張開度條件下其等效滲透系數(shù)的尺寸效應及各向異性，獲得了該裂隙巖體的等效滲透系數(shù)REV及滲透張量。試樣取井筒中部大理巖，將試樣加工成直徑49.07mm，高80mm圓柱體后，采用巴西劈裂法制作人工裂隙，制成后的裂隙試樣見圖2.3,其中裂隙試樣為一個整體，裂隙閉合，人力難以將裂隙兩側(cè)巖塊分開。圖2.3試樣巴西劈裂試驗形成的裂縫（2）試驗結果分析表2.1不同靜水壓力試樣D-C10的滲透試驗結果劃|載試瞼押莪試驗升ifeL試瞼靜水壓力/MPa誑汽壓力/MPa滲流注率./(ml.-fiJ靜水壓力/MPa川氣壓力/MPa滲流速率油溫也進7壓力ZMPu牒流■速率/(ml.-s'jV(1.7023.70151]y2331IV.71.072頃|]0.6?21L70L.2022.592tl.61.3020.61130.S723.63111.1022.113791.5722.61。前22,7591.0721,3347,CI1.7?24.2217L157LOO213356.11.9419.53201.1321.42記整體坐標系下的滲透系數(shù)矩陣為K，局部坐標系下的滲透系數(shù)矩陣為K''，OXY逆時針旋轉(zhuǎn)角度中為oxy，x軸與X，Y軸的方向余弦分別記為l]=cos甲，m^=sin中，y軸與X，Y軸的方向余弦分別記為12=—sin中，m2=cos甲。

K和K，的分量之間滿足坐標轉(zhuǎn)換關系：k”'~iiPnPj'j（1）..一lm一一一其中P=11為整體坐標系和局部坐標系的轉(zhuǎn)換系數(shù)。如果以王滲透系〃Ll2g數(shù)k,k2的方向為整體坐標系的X軸和Y軸的方向，則逆時針旋轉(zhuǎn)平度的局部坐標系x'軸方向的滲透系數(shù)為、-甲+k.:sin'（2）根據(jù)橢圓方程的極坐標形式，有cos'6sin20_1er*b1l~（3）對比式（2）,令—=k,—=k,-=k。a21b2212中1，沿著平角度方位徑長2則可以看出滲透系數(shù)張量的分量的某種形式可以用橢圓來描述，該橢圓稱為滲透橢圓（見圖2.4），滲透橢圓的主軸分別為*1，沿著平角度方位徑長2圖2.4滲透橢圓示意圖圖2.5為根據(jù)滲透橢圓方程（3）擬合出來的橢圓，其中沿著中角度方位徑長為■-，根據(jù)橢圓擬合結果得到滲透張量主值和主方向，最大滲最大滲透系\k*中數(shù)為6.1x10-10m/s，方向沿著x軸逆時針旋轉(zhuǎn)15.4o，最小滲透系數(shù)為了3.22x10-10m/s方向沿著y軸逆時針旋轉(zhuǎn)15.4。。利用式（1）求得當前坐標系下滲透張量的各個分量，等效滲透系數(shù)張量為5.