《概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第三版-課后習(xí)題答案解析

習(xí)題一:(1)某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃時(shí)，連續(xù)5次都命中，觀察其投籃次數(shù)；};⑵擲--顆勻稱的骰子兩次，觀察前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和；(3)觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)；解：屬于不放回抽樣,故兩件產(chǎn)品不會(huì)相同，編號(hào)必是一大一小，故：⑸檢査兩件產(chǎn)品是否合格；解：用0表示合格,1表示不合格，則以={(0,0)(0,1),(1,0),(1,1)}；(6)觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫〈假設(shè)最低氣溫不低于T1,最高氣溫不高于T2>;解：用工表示最低氣溫，y表示最高氣溫;考慮到這是一個(gè)二維的樣本空間，故：琰={(勺】牛);⑺在單位圓內(nèi)任取兩點(diǎn)，觀察這兩點(diǎn)的距離；(8)在長為/的線段上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)將線段分成兩段，觀察兩線段的長度.⑶A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生；AuBuC：ABC恰有一個(gè)發(fā)生;ABCuABCuABC；(5)A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；ABDACUBC；<7>A;B;C中至多有兩個(gè)發(fā)生;A8CBC注意：此類題目答案一般不唯一,有不同的表示方式。具體寫出下列各事件：ABAB<3>A-B;<4>A\JB<4>Aufi=(x]0<x<0.5uL6-<x<2}⑵由于事件W可以分解為互斥事件WE,W^,昆蟲出現(xiàn)殘翅，但沒有退化性眼睛對(duì)應(yīng)事件1.8<1>由于ABc人,A8匚B，故P(AB)<P(A),P(AB)<P(B),顯然當(dāng)AcB時(shí)P<AB>.解:<2>由于P(AB)=P(A)+P(B)—P(AuB)°顯然當(dāng)P(AuB)=l時(shí)P<AB>取到最小值，最小值是ABC過作圖，可以知道,P(AB)=P(AuB)-P(B)=0.31.11解：用片表示事件”杯中球的最大個(gè)數(shù)為，個(gè)"i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有對(duì)事件凡：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種,故P(A)=j2Ioolo1O2解：此題為典型的古典概型，擲一顆勻稱的骰子兩次基本事件總數(shù)為36。.出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為"3“對(duì)應(yīng)兩個(gè)基本事件(1,2,(2,10故前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為3的概率為土。1O同理可以求得前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4,5的概率各是—解：從10個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，共有爲(wèi)=120種取法，亦即基本事件總數(shù)為120o(1)若要三個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)是S,先要保證取得S,再從大于5的四個(gè)數(shù)里取兩個(gè),取法有C;=6種，故所求概率為嘉。<2>若要三個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)是5,先要保證取得5,再從小于5的五個(gè)數(shù)里取兩個(gè),取法有<1>取到兩只黃球;<2>取到兩只白球;<3>取到一只白球，一只黃球.則P(B)P(B)x注意：因?yàn)镻(=0.5，所以P(A|B)=1一=0.5o1.17解：用&表示事件”第i次取到的是正品"3=1,2,3,則&表示事件"第i次取到的是次品“x(1)事件”在第一、第二次取到正品的條件下，第三次取到次品“的概率為：＜2＞事件"第三次才取到次品"的概率為：(3)事件"第三次取到次品“的概率為：-4此題要注意區(qū)分事件〔1、＜2的區(qū)別，一個(gè)是求條件概率，一個(gè)是一般的概率。再例如，設(shè)有兩個(gè)產(chǎn)品，一個(gè)為正品，一個(gè)為次品。用&表示事件“第i次取到的是正品"3=1,2,則事件”在第一次取到正品的條件下，第二次取到次品“的概率為：P(瓦|4)=1；而事件”第二解：用A,(i=0,1,2)表示事件"在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)i”。用8表示事件”從第二箱中取到的是次品”。則P(4)=登竺幺=蕓,P(A?)=g=土，123根據(jù)全概率公式，有：解：設(shè)4(i=1,2,3)表示事件”所用小麥種子為i等種子”，上麥粒”。則解：用B表示色盲,A表示男性，則A表示女性，由已知條件，顯然有：根據(jù)貝葉斯公式,所求概率為：尸(他)=P(A8)=P(A8)_=P(A)P(同°)_=102解：用B表示對(duì)試驗(yàn)呈陽性反應(yīng),A表示癌癥患者，則A表示非癌癥患者，顯然有：因此根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：<1>求該批產(chǎn)品的合格率；<2>從該10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件，若此件產(chǎn)品為合格品，問此件產(chǎn)品由解：設(shè),鳥=儼品為甲廠生產(chǎn)},%={產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn)),&=儼品為丙廠生產(chǎn)},A={產(chǎn)品為合格品}，則 同理可以求得P(功|A)=g,P㈤人)=書，因此,從該10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件，若此件產(chǎn)品為合格品，此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率分別為：{目標(biāo)被擊中}測解：記A,={四次獨(dú)立試驗(yàn)，事件A至少發(fā)生一次},無4={四次獨(dú)立試驗(yàn)，事件A一次也不發(fā)二、第一章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充：式PABP<A-B>=P<A>-P<AB>式APB率ABPAAB發(fā)生此公式即為貝葉斯公式。解：根據(jù)￡p(X=A)=l,得￡如“=1,即芹二=1。2.3解：用X表示甲在兩次投籃中所投中的次數(shù),X~B<2,0.7>用Y表示乙在兩次投籃中所投中的次數(shù),Y~B<2,0.4>(1)兩人投中的次數(shù)相同P{X=Y}=P(X=0,Y=0)+P{X=1,Y=1}+P(X=2,Y=2)=<2>甲比乙投中的次數(shù)多P{X>Y}=P{X=1,Y=O}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1)=2.4解：(1P{1WXW3}=P{X=1}+P(X=2}+P{X=3}=—+—+-j^=-(2)P(0.5<X<2.5}=P(X=l}+P(X=2}=—+—II]J]4(2P{X>3}=1-P(X<3}=1-P(X=1)-P(X=2}=1----=-P{X=O]=—e-i5=e-ls!X?8(180,0.01).依題意，設(shè)備發(fā)生故障能及時(shí)維修的概率應(yīng)不小于0.99,BPP(X<m)>().99,也即査泊松分布表，得，當(dāng)m+l=7時(shí)上式成立，得2.10(1假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有80萬千瓦時(shí)，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為:(2假設(shè)該地區(qū)每天的用電量僅有90萬千瓦時(shí)，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：解得K的取值范圍為[-8,-l]U[4,+oo|，又隨機(jī)變量K~U<-2,4>則有實(shí)根的概率為<1>P{X<1(X))=f——20Odr=e200=l-e2XXE打電話超過10分鐘的概率為所求的概率為XXXX的分布函數(shù)為Y203財(cái)PY1Y0.70.3一l￡*vl時(shí),F(x)=P{%=-!)=0.3當(dāng)1MXV2時(shí),FCv)=P{X=—l}+P{X=l}=0.3+P{X=l}=0.8當(dāng)x>2時(shí),F(x)=P{X=-l}+P{X=l}+P{X=2}=0.8+P{X=2}=l222-1XPY/11(1設(shè)FY<Y>,人(y)分別為隨機(jī)變■:Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則對(duì)弓(y)求關(guān)于V的導(dǎo)數(shù),^fY(y)=-^=e2(土-)，=2皿。8ye(-co,oo)當(dāng)y<()時(shí),FY(y)=P(Y<y}=P{e~x<.y}=P(0]=0(3設(shè)FY<Y>,人(y)分別為隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則yOW/；(y)=P{y<y)=P(X2<y)=P{0)=O,PX也.1上虹l1■(lnv?■■-y>°'2S)'一后…(_何=再'2頃A(y)=-岳0<X<7T對(duì)弓(力求關(guān)于當(dāng)-i<y<^i,FY(y)=P{Y<y]=P{cosX<y)=P{X>arccosy]=r對(duì)弓()，)求關(guān)于v的導(dǎo)數(shù)，得到對(duì)弓(力求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到3lF(3.53解：(1F(x,y)=小=血=(_廣|&)(一/"|；)=(1_尸)(1_/勺(2據(jù)七2(l+'+y)Jo*雙1+廣)-3.8人(X)3.8人(X)3.9解：X的邊緣概率密度函數(shù)fx(X)為:①當(dāng)工>1或r<0xyOx=0人(>)=「4.8y(2-x)女=4.8y[2x-丄F]|’=4.8y[l丄一2y+丄寸]0<y<lxiffxxyxdy=2.4j(2-x)Y的邊緣概率密度函數(shù)人(y)為：②當(dāng)OKyV1時(shí)，無(y)=J‘4.8火2f)dx=4.8y[2x-&有|’=4.8)，[l&—2y+：y2]6A<1-X)0^X<1"(、)=o'"其它它*旦3所以命同力頊3)fy(y)360其它其它+—X的邊緣分布Y的邊緣分布由表格可知P(X=l;Y=2}=0.25^P{X=l}P{Y=2}=0.322535='0故p{X=*；Y=y"P{X=xM{Y=y}所以X與Y不獨(dú)立XX的邊緣分布1331219a12Y的邊緣分布31b16]_3丄2由獨(dú)立的條件p{X=x；Y=y}=P(X=x}P成=刃則可以列出方程2X0<x<2fxx)=<2fY(y)=<y0<y<l，所以x與Y之間不相互獨(dú)立。故X與Y相互獨(dú)立/...甲機(jī)床生產(chǎn)的零件次品數(shù)多于乙機(jī)床生產(chǎn)的零件次品數(shù)，又...兩臺(tái)機(jī)床的總的產(chǎn)量相同...乙機(jī)床生產(chǎn)的等件的質(zhì)量較好。B參見所以成績?cè)诘剿猿煽冊(cè)诘降母怕蕿閒(x)=f(x)=]?二E(V)=E(—)E(V)=E(—)=參看課本后231頁答案4.16解:與相互獨(dú)立,與相互獨(dú)立,I"乂=工乂,.,且犯,旳廣3。是獨(dú)立同分布的，.又E(Xf)=IXy+2Xy+-..+6Xy=6666ioio21所以E(X)=E(￡X,)=￡E(X,)=10x/=35i=1i=l64.24E02)=f與液+J,2(_：x+]徳=土好+[_土￥+捉]'=]+如與.25fx(X)=<44.26因?yàn)閄~N<0,4>,Y~U<0,4>所以有Var<X>=4Var<Y>=-故：Var<X+Y>=Var<X>+Var<Y>=44=^34VarXYVarXVarY4x4+9x-=2834.27參看課本后面232頁答案4.28E(Z)=頊Xi+旳+???+X“)=E色)+頊冬)++E占)nitnX，則1正常工作X,=?'5X,~B(l,0.9),E(X,)=p=0.9,")=px(l-p)=0.9x0.1。，損壞￡X,~N[np,npx(l-p)]=N(100x0.9,100x0.9x0.1)f=lYYaXb￡匕￡(OX,+")ilni=\ni=\所以由可得nF=￡XYi-Yy=t匕七〃F=￡XMMMxIf,__63=EHX*X,X+X-)(2由于s(X,)=/(X：)-(E(X”所以有E(x；)=(E(Xj))2+如(X,)=;/+/n2n差為為歐姆的正態(tài)分布的樣本則根據(jù)題意有：<2>根據(jù)題意有4=的值趨近于1,相反當(dāng)〃V-6時(shí)，其值趨近于0(2根據(jù)題意有:證明：因?yàn)閯t，隨機(jī)變量T=TX的密度函數(shù)為(1P{X>1.6}=1-P{X<1.6)依題意有P{X>13)=1-P{X<13J=1-P{13-12<1.12)^1-0(1.12)=1-0.8686=0.1314神十樣樣本小于的概率：設(shè)是個(gè)樣本中小于的樣本個(gè)數(shù)則服從二項(xiàng)分布/故有設(shè)是個(gè)樣本中小于的樣本個(gè)數(shù)則服從二項(xiàng)分布/故有即樣本的最小值小于的概率是計(jì)計(jì)算每個(gè)樣本大于的概率：V由概率密度函數(shù)可知聯(lián)合密度分布函數(shù)為：■m)=A《"為?2g%???義=Xe"乒對(duì)它們兩邊求對(duì)數(shù)可得lnLgn\nl-A±x.對(duì)人求導(dǎo)并令其為得M籍(九))=?_支2即可得九的似然估計(jì)值為/=/_=丄7.3解:記隨機(jī)變量x服從總體為[0,8]上的均勻分布，則要使W)達(dá)到最大，首先一點(diǎn)是示性函數(shù)的取值應(yīng)e小，但示(示性函數(shù)1=0)=(}；旗，Xa)=mln{X],X2,.....XJXmax(X:,X2,......XJ7.4解:記隨機(jī)變量x服從總體為[&2印上的均勻分布，則E(x)=幺弄=孚所以。的矩估計(jì)為d=^xxpx=\故它的是似然函數(shù)為0要使L(e)達(dá)到最大,首先一點(diǎn)是示性函數(shù)的取值應(yīng)該為1,其次是1/。'盡可能大。由于\/ff是。的單調(diào)減函數(shù)，所以。的取值