第2章1-隨機過程與隨機序列

隨機信號分析——隨機過程和隨機序列17三月20232陳友興：隨機信號分析—隨機過程第二章隨機過程和隨機序列2.1從隨機變量到隨機過程2.2平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)過程2.3平穩(wěn)隨機過程相關(guān)性分析2.4平穩(wěn)隨機過程的譜分析2.5高斯過程與白噪聲2.6隨機序列17三月20233陳友興：隨機信號分析—隨機過程2.1從隨機變量到隨機過程（1）隨機函數(shù)與隨機信號隨某些參量變化的隨機變量稱為隨機函數(shù)通常將以時間為參量的隨機函數(shù)稱為隨機過程，也稱為隨機信號。2.1.1隨機過程的基本概念17三月20234陳友興：隨機信號分析—隨機過程（2）確定性過程和隨機過程確定性過程：就是事物的變化過程可以用一個（或幾個）時間t的確定的函數(shù)來描繪。隨機過程：就是事物變化的過程不能用一個（或幾個）時間t的確定的函數(shù)來加以描述。

隨機信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機過程17三月20235陳友興：隨機信號分析—隨機過程（3）隨機過程的定義定義1：設(shè)隨機試驗的樣本空間為S={ei}，對于空間的每一個樣本,總有一個時間函數(shù)X(t,ei)與之對應(yīng)對于空間的所有樣本，可有一族時間函數(shù)X(t,e)與其對應(yīng)，這族時間函數(shù)稱為隨機過程，簡記為X(t)。17三月20236陳友興：隨機信號分析—隨機過程定義2：設(shè)有一個過程X(t)，若對于每一個固定的時刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一個隨機變量，則稱X(t)為隨機過程。定義3：設(shè)Sk(k=1,2,…)是隨機試驗。每一次試驗都有一條時間波形（樣本函數(shù)），記作xi(t)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就構(gòu)成一隨機過程，記作X(t)。無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做隨機過程

17三月20237陳友興：隨機信號分析—隨機過程(4)隨機過程的特點

在進行觀測前是無法預(yù)知是空間中哪一個樣本隨機過程具有隨機變量和時間函數(shù)的特點

注：字母大寫表示隨機變量，A,Φ就是隨機變量，Y(t)表示隨機過程。全體樣本在t1時刻的取值Y(t1)是一個不含t變化的隨機變量17三月20238陳友興：隨機信號分析—隨機過程（5）隨機過程的分類連續(xù)型隨機過程連續(xù)型隨機序列離散型隨機過程離散型隨機序列①按照時間和狀態(tài)是連續(xù)還是離散來分類17三月20239陳友興：隨機信號分析—隨機過程連續(xù)隨機序列隨機過程X(t)在任一離散時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機變量，即時間是離散的，狀態(tài)是連續(xù)的情況，稱這類隨機過程為連續(xù)隨機序列。

連續(xù)隨機過程隨機過程X(t)對于任意時刻，X(ti)都是連續(xù)型隨機變量，即時間和狀態(tài)都是連續(xù)的情況，稱這類隨機過程為連續(xù)型隨機過程。17三月202310陳友興：隨機信號分析—隨機過程離散隨機序列對應(yīng)于時間和狀態(tài)都是離散的情況，即隨機數(shù)字信號。離散隨機過程隨機過程X(t)對于任意時刻，X(ti)都是離散型隨機變量，即時間是連續(xù)的，狀態(tài)是離散的情況。17三月202311陳友興：隨機信號分析—隨機過程②按照隨機過程的分布函數(shù)（或概率密度）的不同特性進行分類按照這種分類法，最重要的就是平穩(wěn)隨機過程，其次是馬爾可夫過程等等。17三月202312陳友興：隨機信號分析—隨機過程2.1.2隨機過程的概率分布（1）一維概率分布對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，設(shè)x為任意實數(shù)，定義為隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)。17三月202313陳友興：隨機信號分析—隨機過程

若的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義為隨機過程X(t)的一維概率密度。17三月202314陳友興：隨機信號分析—隨機過程隨機過程一維分布的性質(zhì)：17三月202315陳友興：隨機信號分析—隨機過程（2）二維概率分布和n維概率分布對于隨機過程X(t)，在任意兩個時刻t1和t2可得到兩個隨機變量X(t1)和X(t2)，可構(gòu)成二維隨機變量{X(t1),X(t2)}，它的二維分布函數(shù)稱為隨機過程X(t)的二維概率分布函數(shù)。17三月202316陳友興：隨機信號分析—隨機過程

若對x1,x2的偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義為隨機過程X(t)的二維概率密度。17三月202317陳友興：隨機信號分析—隨機過程n維概率分布函數(shù)n維概率密度17三月202318陳友興：隨機信號分析—隨機過程隨機過程X(t)和Y(t)的四維聯(lián)合概率密度（3）聯(lián)合分布率17三月202319陳友興：隨機信號分析—隨機過程若兩個隨機過程互相獨立，則有一個隨機過程不同時刻狀態(tài)間互相獨立，即X(t1)和X(t2)互相獨立17三月202320陳友興：隨機信號分析—隨機過程例2.1.1：設(shè)隨機過程其中w0是常數(shù)，X是均值為零，方差為1的正態(tài)隨機變量，求時Y(t)的概率密度，及Y(t)的一維概率密度17三月202321陳友興：隨機信號分析—隨機過程2.1.3隨機過程的數(shù)字特征（1）數(shù)學(xué)期望對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，將這個隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義為隨機過程的數(shù)學(xué)期望，記為mx(t)，即17三月202322陳友興：隨機信號分析—隨機過程(2)方差對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，稱該隨機變量X(t)的二階中心矩為隨機過程的方差，記為D[X(t)]，即17三月202323陳友興：隨機信號分析—隨機過程

隨機過程的期望與方差17三月202324陳友興：隨機信號分析—隨機過程

相同數(shù)學(xué)期望和方差，不同相關(guān)性的兩個隨機過程17三月202325陳友興：隨機信號分析—隨機過程(3)自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機過程X(t)在t1和t2二個任意時刻的狀態(tài)，fX(x1,x2;t1,t2)是相應(yīng)的二維概率密度，稱它們的二階聯(lián)合原點矩為X(t)的自相關(guān)函數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)17三月202326陳友興：隨機信號分析—隨機過程

設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機過程X(t)在t1和t2二個任意時刻的狀態(tài)，稱X(t1)和X(t2)的二階聯(lián)合中心矩為X(t)的自協(xié)方差函數(shù)17三月202327陳友興：隨機信號分析—隨機過程當時，當時，17三月202328陳友興：隨機信號分析—隨機過程若則稱隨機過程在t1和t2時刻的狀態(tài)是相互獨立的。若對于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么隨機過程的任意兩個時刻狀態(tài)間是不相關(guān)的。若RX(t1,t2)=0，則稱X(t1)和X(t2)是相互正交的。17三月202329陳友興：隨機信號分析—隨機過程(4)互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)設(shè)有兩個隨機過程X(t)和Y(t)，它們在任意兩個時刻t1和t2的狀態(tài)分別為X(t1)和Y(t2)，則隨機過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)定義為17三月202330陳友興：隨機信號分析—隨機過程

類似地，定義兩個隨機過程的互協(xié)方差函數(shù)為17三月202331陳友興：隨機信號分析—隨機過程

若對于任意時刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，則稱X(t)和Y(t)是正交過程，此時有

若對于任意時刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，則稱X(t)和Y(t)是互不相關(guān)的，此時有17三月202332陳友興：隨機信號分析—隨機過程

當X(t)和Y(t)互相獨立時，滿足則有當X(t)和Y(t)互相獨立時，X(t)與Y(t)之間一定不相關(guān)；反之則不成立。17三月202333陳友興：隨機信號分析—隨機過程研究隨機過程有兩條途經(jīng)：側(cè)重于研究概率結(jié)構(gòu)側(cè)重于統(tǒng)計平均性質(zhì)的研究17三月202334陳友興：隨機信號分析—隨機過程

例2.1.2：設(shè)隨機過程，是均值為5，方差為6的隨機變量，求的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和諧方差函數(shù)。

例2.1.3：求隨機過程的數(shù)學(xué)期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。其中，a、w0為常數(shù)，是在區(qū)間上均勻分布的隨機變量。17三月202335陳友興：隨機信號分析—隨機過程2.1.4隨機過程的特征函數(shù)

對于某一固定時刻t，隨機變量X(t)的特征函數(shù)就定義為隨機過程的一維特征函數(shù)17三月202336陳友興：隨機信號分析—隨機過程

一維特征函數(shù)與一維概率密度有類似傅立葉變換對的關(guān)系17三月202337陳友興：隨機信號分析—隨機過程

隨機過程的二維特征函數(shù)：隨機過程在任意兩個時刻t1和t2的取值構(gòu)成一個二維隨機變量{X(t1),X(t2)},它的特征函數(shù)定義為隨機過程X(t)的二維特征函數(shù)17三月202338陳友興：隨機信號分析—隨機過程17三月202339陳友興：隨機信號分析—隨機過程

隨機過程的特征函數(shù)與矩函數(shù)之間的關(guān)系為：17三月202340陳友興：隨機信號分析—隨機過程相關(guān)函數(shù)與二維特征函數(shù)之間的關(guān)系為：17三月202341陳友興：隨機信號分析—隨機過程2.1.5隨機過程的微分與積分(一)隨機收斂和隨機連續(xù)性設(shè)有隨機變量X及隨機變量序列

{Xn}(n=1,2,…)，均有二階矩，且則稱隨機變量序列{Xn}依均方收斂于X，或者說，隨機變量X是隨機變量序列{Xn}在n趨于無窮時的均方極限。表示成：17三月202342陳友興：隨機信號分析—隨機過程如果隨機變量序列{Xn}滿足那么該序列k階收斂于X。

若隨機過程X(t)滿足則X(t)在t時刻均方意義下連續(xù)。17三月202343陳友興：隨機信號分析—隨機過程

從隨機過程X(t)的均方連續(xù)性，可推得，X(t)的數(shù)學(xué)期望必然是連續(xù)的，即

若R(t1,t2)沿直線t1=t2處處連續(xù)，則隨機過程X(t)處處均方連續(xù)。

極限和數(shù)學(xué)期望可以交換次序17三月202344陳友興：隨機信號分析—隨機過程(二)隨機過程的微分（1）定義如果隨機過程X’(t)滿足則稱X(t)在t時刻具有均方導(dǎo)數(shù)X’(t)。17三月202345陳友興：隨機信號分析—隨機過程

判斷隨機過程的導(dǎo)數(shù)存在與否，可采用柯西判別準則，即如果則X(t)的導(dǎo)數(shù)存在。(2)均方可微的條件（導(dǎo)數(shù)存在的條件）17三月202346陳友興：隨機信號分析—隨機過程

可推導(dǎo)出，隨機過程X(t)均方可微的充分條件是：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時，存在二階