數值計算方式試題及答案

7、nn7、nn2分，共17分）1、

x

[1,2]

）次2xx2)

3

x30x(x(3x2(x1

)，b=，=（4、l),l(),0

,lx)n

x,x

,插值基函數，則

l

)

()，

nk

lxkj

()，當

x

x

l

()5f(x)x

7

x

4

2

和節(jié)xk/k0,1,2,,

f[,x]01和f

6個節(jié)頓-柯特斯求積公式的代數精度為個節(jié)點的求積公式最。(k

間

(x)

1

0

x)，則

x()

8、給定方程組

ax1

，，，且

，9

y(y)y()0

y[0]hf()nyy[f(x,)(x,y[0]n

)]

bn()nbn()ndx

1

10

A01a1

當）時

AL

l(iii

）21

Ax

x(k

(k)g收斂的充要條件是（

,(2))

,(3)

,B)2頓-柯特斯求積公式：

a

f(x)(b)Ci

(n)i

f(xi

Ci頓-柯特斯求積公式不））n），）3xf(x)

-2

-1

所信插多式次是。（1）二；（2）三；（）次五hyyhf(4、用階點式2

f(x,))n

求初問

y

(0)

，試為證公絕穩(wěn)，長h取范為(1)

,(2)0,(3)2,三（分用小乘求如

y

2

的會式合下據x

ii

3815）用n復梯公（復式計時(1)(1)試余估其差

f30，(0)122ii（2）nf30，(0)122ii四分）程x

周有，方寫三不的價式（1）x

對迭格

xxnn

(2)

11對迭格x

應代式

xxn

。定代式

x0

的斂，一收格式算圍根精到數后三。一迭格成立Steffensen迭代，進計與一結比，明不有速效8）知程

f

，中

43

24

4（1）（1）（2）（2）

列Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法的分形。求Jacobi迭代陣譜徑寫SOR代。五（）步

，解值題

用良歐法

y

的值用典四龍—庫塔求

y

的。8）一數高的項

p(x)

使知p(x)(0)(x1)f(x1),p)六（下題任選題4分

0

p

)f1

)()(x)1、、數積公形

xf(x)

()Af(0)BfCf

Df

（1）

試信數

A,B,

使式數度可高（）f(C

4

，導項式

(x()dx(x)

，估誤。2、、用步y(tǒng)

n

yy0n

n

[()(xn

n

,

n

)]求常分程初問

y(x,)y()0

時如選參

,,01

使式數可高并局截誤主，在方是階。一判題共16分每題分１若A

n非異，必在位三L

和三陣A唯一立（）２時求公會生值穩(wěn)性（）形

f(x)Af()i

的斯Gauss）型求積公式有高數準的

01A0，，有（位則（）QRQQ01A0，，有（位則（）QRQQ1006019kkk(x)T012limA10A４矩

的－數９）、

aA0

，對意數a，程都病的。（）（）nAQA7、權(x的直多式存的且一（）8、矩作如下Doolittle分：220A770b1

，

a

的別為，）二填題共20分每題分1、

f()910

，均f[20,2,2]

f[3,3,,3]設數

f(x)

于間

夠持導，

p,為fx)

的個重點(xx迭代公k３區(qū)次條值數數

的斂至是。(x)直的續(xù)4、量X,矩陣

A則

(A)

、使點數求公：

1

f()fx)(x)

具最的數準，其積點為1__________x__________。AR，則

(A

（半）__________

A

（此填于大、等）17、

012

，k三簡題9）1、1、方程x區(qū)一*若迭公：xkxk/(k)，其生序列是斂x*？明由2、2、利高消法線代方組一什緣要選元技？

a0i'i)na0i'i)nnlnb3、3、設x，選較的法算數

f()

cosxx

。四（分已數積公為

f()dx

[f(0)fh)]

[f

(0)f

(h

，確積公中參使代精度可高并出代精度次。五（分）知

a0)

的代式：x()x證：一切k,x，序調減，從迭進收。六（分數求公

f)dx[(1)f(2)]

是是插型積式什緣故其數度多？七（9分設性數程組AX中系數陣A非奇異X為準0，~向量是一近解向rbX證估式

X

condA

rb（定用陣數向范相八)函

f(x)

在間

階續(xù)數試知下插條的個數超的值項

H(

，導其項ix

i

f()f()

-1

(9)是區(qū)間[a,]關權數x)的式，xii,,零點，li)(i,n以的基，

ba

f(w)dxf()k

為斯求公，明（1）（

0j,j時（1）當(x)l(x)(x)dx0(kj)j

i

Ai

(x(x)iji（

ba

l2()wx)dx)dxa

x則0.4十（選題x則0.4若

f()

n

(x)(xx01

，xii

0,1,

)

互，

f[,x,x]p

的，中

pn

。一（分）空(1)(1)(2分)變數

f()x

(

)形，計結較準。(2)(2)(2分)用分求程

f

在間[內根要精到位小，需對

次(3)(3)(2分)

122

f'(4)(4)(3分)

,0axbxx2

是次條數則(5)a=,b=,c=

。(6)(5)(3分)用化形式算

，求差超過0

，用項公估，少

個積點2(7)(6)(6分)出解程組12

的Gauss-Seidel迭代公(8)(9)迭法否斂

，代陣，(10)(7)(4分)設

4A3

,則

A

，

。(11)(8)(2分)若法解值題穩(wěn)，步取范為二)

'y,y

為證法絕(1)(6分)出方

4xcos

在間[0,1]的根收的代式并明

1x112011x112011T(2)分以100,121,144為插節(jié)用值計115余估誤。

的似，利(3)分)求f區(qū)0,1]上的1次佳方近項。(4)分)用復Simpson式算分

I

sinx

dx

的似要誤限0.5。(5)(5)分)Gauss主消法方組(6)

xx133xxx1232xx27123(7)(8分)求方組

的小乘。(8)(7)(8分已常分程初問：x1x(1)(9)(10)用改良Euler式算

y.)

的似，步長

。三，下個中多做個)(1)(1)(6分)一數超4的項知：(2)

p''(3)(2)(6分)構造數度高如形的積式并出代精：(4)

10

xfxff1(5)(3)(6分)用法矩

1A模大特值其應單特向，代特值相兩的似的離于取點量初近似為

x20.4(6)(4)(6分)推導解x20.4(7)

y

0(8)的形式

y

i

yfi0ii

,i=1,2,…,N(9)的公式使精盡高其h(10)

fyxihiiii

i=0,1,,N,(11)(5)(6分)出差方求常分程邊問

y''y'

所得三角性程。一（分）空(12)(1)(2分)改函

f()x

(

)形，計結較準。(13)(2)(2分)若二法方

f

在間[內根要精到位小，需對

次(14)(3)(2分)設

12則

f'(15)(4)(3分)

,0axbxx2

是次條數則(16),b=,

。(17)(5)(3分)用化形式算

，求差超過0

，用項公估，少

個積點2(18)(6)(6分)出解程組12

的Gauss-Seidel迭代公(19)(20)迭法否斂

，代陣，

1x1121x112(21)(7)(4分)設

4A3

,則

A

，

。(22)(8)(2分)若法解值題穩(wěn)，步取范為二)

'y,y

為證法絕(11)(1)(6分)出方其斂。

4xcos

在間[0,1]的根收的代式并明(12)(2)分)以100,121,144插節(jié)，插法算115近值，利余估誤。(13)(3)分求

f

在間[上次佳方近項。(14)(4)分用化Simpson式算分

I

sinx

dx

的似要誤限0.5

。(15)(5)分)Gauss主消法方組(16)

xx133xxx1232xx27123(17)(6)(8分)方組

的小乘。(18)(7)(8分)知微方的值題x1x(1)(19)(20)用改良Euler式算

y.)

的似，步長

。三，下個中多做個)(13)(1)(6分)一數超4的項知：(14)

p''

11TxaAy179980.7(15)(2)(6分)造數度高如形的積式并出11TxaAy179980.7(16)

10

xff0

f1(17)(3)(6分)用冪求陣

1A模大特值其應單特向，代特值相兩的似的離于取點量初近似為(18)(4)(6分)導解微方初問(19)

y

0(20)的式

y

i

yfi0ii

,i=1,2,…,N(21)的式使精盡高其h(22)

fyxihiiii

i=0,1,,N,(23)(5)(6分)出差方求常分程邊問

y''y'

所得三角性程。一一填題每1，）()）22

、a

=()，b

=（

=（1）4、1)(j)

x

)、67

236.25

6、97、8910（

2

lii

）二二選題每2）(2)）21（1）43三（分解

span2}A

2312

yT73.3解程

ATACy其

AA

4

22560,1,2,3,34022560,1,2,3,340解：

C

0.9255577

因，

0.050102515）：

[]T

1112087(8)[f(a)(x)f()][1(0.88249690.606530660.472366550.41686207)0.36787947]0.6329434x四（）（）

，收；（2）

2

11

1x

，，收；（3）)

，發(fā)。選（

x0

，

1.35721.33091

，

x3

，

1.32494

，x1.32476，x1.32472代

x

k

xk

x))kx)kk

kk

3

x)kkxxkk計結：

x1.50

，

1.3248991

，

1.3247182

有速效((24x(k))41k(30()(k))1((x(k))48）：Jacobi代：((24x(k))41k(30x(k())4(((k)4Gauss-Seidel迭代B

034(L034

0340

，

(B

或0.790569

446hh(x21)(x446hh(x21)(xx11f(4)((xdxnnnn2nnSOR迭代法

((k)(24x(k))2(k()x(k(k)4(()(()320,1,2,3,

)五1（15）：良歐法：因此y(0.1)y；1經的階格—塔：hyy[kkk]n14k(x,y)nk(x,yk)2hkfx,y)2

y

y(0)yx,y)0.1nnnny[()f(,y(0))]y0.095nnn

k(x,)3

kkk134

，此

1

。8）：知條

H

Hx)f(x)iixfiii

的值項，則

(x)H()x)3

2

()1

2

代條

px)()22

得f(x)H()23(x)2()六（下題任選題4分1、：

f(x)x3

散代公得

A

1,BD構Hermite值項知

H

Hx)f(x)iixfiii

其

x0,01則：3

f()H(x3

f

(4)(

)

2(x()[()(x)]x(dx04!2、：

f(4)1f(4)f(4)(324!1440

n,

y()y)nn

2h3)yy2!3!

ny)(x)hy01

23)yy2!3!

n[

)yn

)hyn

n

y(4))

n'a(k)a(k)(k)24hhy()(1)0n'a(k)a(k)(k)24hh

2

(13(1)y262

n

4

)010因

主

3

該式二的一一判題共分每題分Ⅹ）2∨）（∨（Ⅹ6（）（Ⅹ8Ⅹ）二二填題共分每題分、

、0二、__二__4_16、90__5

1

3

,

1

3

6、=7、0三三簡題）1、、解迭函為

()ln(4)ln2x)

1ln2、、：消法進到的件各消的元全為若在元程發(fā)某主素0，即便

det(A0

，消進將法行第，便元不但果元kk的對很，它除將該消的數對專大必造舍誤的峻散以致方組的準度到峻礙采選元技，幸主素a

(k)

或很的形生從可能計中或誤擴太而計不固3、

3、解

cos2!n!)

n2!!)

f(x)

22!4!!)

四四解

f(x)

顯精成；f()x

時

0

hxdx[0]2

h

2

[1

；f(x

時

0

h3h32[0][0h]32212；

hhkkhhkkf(x

3

時

0

3

h3]h412

2

h

2

]

；f(x

4

時

0

4

hh4]2[0h]526；因，代精度。五五證：

x

k

1aa(a2xxk

k故一

,a

。又

1

(1

2

)

因

xxk

，序

調減下，從迭進收。六六是因為

f(x

在點處插多式

x)

xxff2

)[(1)

。代精為1。七七證：題知

AX,Ar~~()rXrXAr又

1bAXXb因

~XX

Ar

b

cond(A

Ab

。八解設

H()N()axx2)N()f(0)x0)f[0,1,2](xx(因

()

x((由

(0)

得

因

()

5x3xx4R(xf()(x)，作助數

g(t)f(tH(t(t2tt則

g(t)在[

上具階續(xù)數至有零：

t反利羅定可：

k)

f(4)

g

(4)

(

bn1nbl()ijfbn1nbl()ijf(x)(x)lbn故論立0.64因

()f()()()x

2

f(4)(xxx4!九九證：如

(x))Afk

的斯Gauss）型求公具最代精2n+1次，對

f(x)

取有數超次的多式精準立1）

i

A(x(iiji

x()wx)ja2）為i

是多式且

ijli(xj)因

l()lx)x)dxAl(xl(x)0jiijii

(

j

)3）i，入積式因

i

(x)

是多式因

a

l(x(x)[l(xijij

j

)]

2

Ai(x)w(xdxa十十解f[xx,

,]

i

f(x)i()ij

jjf[xx0

x

n

]

f(n(n

數計方試三案一)(1)分)

f

1

(2))(3)分)

2

2x

(4))3-3(5)(3)(6)分)

x0.4x1

,k

1.6

收(7)分)(8)(2)h<二分)

，，12c，，12c1(1)分)

x

，

'

1sinx

∴對意初

x

,迭公都斂(2)分)值式差表101112

=f'''

x

52

f'''

3

52

29(3)分)設

11

212

2

c,

dx

，

xdx

x2dx

f

exp()dx

exp()dx1

，

0.8731c

x

=+(4)分)Sf0.94614588S

0ff10.94608693I

S0.3931