數(shù)學(xué)建模案例分析消費分布規(guī)律的分類概率統(tǒng)計方法建模

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消費分布規(guī)律的分類為研究遼寧、浙江、河南、甘肅、青海5省份在某年城鎮(zhèn)居民生活消費的分布律，需要用調(diào)查資料對這個省分類數(shù)見下表：指標(biāo)省份

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

X

6

X

7

X

8遼寧浙江河南甘肅青海

39.7712.9411.052.0450.3719.252.7527.9316.179.429.7627.9815.999.1028.6416.1810.81其中，X：均糧食支出；X：均副食品支出；12X：均煙、酒、茶支出；X：均其它副食品支出；34X：均衣著商品支出；X：均日用品支出；56X：均燃料支出；X：均非商品支78在科學(xué)研究、生產(chǎn)實踐、社會生活中，經(jīng)常會遇到分類的問如，在考古學(xué)中，要將某些古生物化石進(jìn)行科學(xué)的分類；在生物學(xué)中，要根據(jù)各生物體的綜合特征進(jìn)行分類；在經(jīng)濟學(xué)中要考慮哪些經(jīng)濟指標(biāo)反映的是同一種經(jīng)濟特征；在產(chǎn)品質(zhì)量管理中，要根據(jù)各產(chǎn)品的某些重要標(biāo)而將其分為一等品，二等品等.這些問題可以用聚類分析方法來解.聚類分析的研究內(nèi)容包括兩個方面，一是對樣品進(jìn)行分類，稱型類，用的統(tǒng)計量是樣間距；二是變量進(jìn)行分類，稱為R型聚法使用的統(tǒng)計量是變間相系設(shè)共有n個樣品，每個樣品x有個量，它們的觀測值可表示為ix

i

x,ii

,x),i

1,2,

,n一、樣品間的距離下面介紹在聚類分析中常用的幾種定義樣品x與品x間距離.ij、Minkowski距

d(x,xxij

ki

kj

]

1k、絕對值距離

pd,x)ij

、歐氏距離

d(xxij

ki

kj

2

]

12k二、變量間的相似系數(shù)相似系數(shù)越接近，明變量間的關(guān)聯(lián)程度越常用的變量間的相似系數(shù)有、夾余弦/

ijijrij

()ik

xxikjk)jk

、相系數(shù)rij

)()ik(i)jk(j)()2)ik(i)jk(j)

值得注意的是，當(dāng)指標(biāo)的測量值相差較大時，直接使用以上各式計算距離或相似系數(shù)常使數(shù)值較小的變量失去作用為需先對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化然再用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)來計.標(biāo)準(zhǔn)化的具體方法是：*ki

kis

i

,,k

p其中

1nnx,(nnii

k

1,2,

,p三、類與類之間的距離用

G

p

和

q

分別代表兩個類，它們所包含的樣品個數(shù)分別記為

n

p

和

n

q

，類

G

p

和

q

之間的距離記為

D(G)pq

下給出三種最常用的定方.、最短距離

()min(pq

ij

xG)ipj類與類之間的最短距離有如下的遞推公式，設(shè)

r

為由

G

p

和

q

合并所得，則

r

與其它類G(p)k

的最短距離為D(){D(),GG)}rpkqk、最長距離

()(dpq

ij

xxG)ijq類與類之間的最長距離有如下的遞推公式，設(shè)為和G合并所得，則與它類rpqrG(p)k

的最長距離為D(G)max{D(,GD(G)}rkpkqk、類平均距離

D(q

xx

ij/

D012.803.510類與類之間的類平均距離有如下的遞推公式，

r

為由

G

p

和

q

合并所得，則

r

與其它類G(p)k

的類平均距離D()r

r

D()k

r

D()k

，其中

nr

q

以上類與類之間的距離，不但適用于型聚類，同樣也適合于型聚類，這只要將

d

ij

用變量間的相似系數(shù)r代就行了.簡單起見以下均記成dijij系統(tǒng)聚類法是目前最流行的方.有了樣品間的距離（或變量間的相似系數(shù)）以及類與類之間的距離后，便可進(jìn)行系統(tǒng)聚類，基本步驟如下：、n個品（或個量）一開始看作類p類算兩之間的距離（或相似系數(shù)成一個對稱矩陣D，時顯然有(,G)；0ijpq、選擇中角元素以外的下三角部分中的最小元素（相似系數(shù)矩陣則選擇對角線元素以外0的最大者為

D(G)pq

則

G

p

和

q

合并為一個新類

r

在

0

中劃去

G

p

和

q

所對應(yīng)的兩行與兩列，并加入由新類

G

r

與剩下的未聚合的各類之間的距離所組成的一行和一列，得到一個新的矩陣

D

，它是降低了一階的對稱矩陣；、由D出，重復(fù)驟2得到對稱矩陣，此類推，直n個品（或個量）聚為一2個大類為止；、在合并過程中記下兩類合并時樣品（或變量）的編號以及合并兩類時的距離（或似系數(shù)）的大小，并繪成聚類圖，然后可根據(jù)實際問題的背景和要求選定相應(yīng)的臨界水平以確定類的個.上面是一個Q型類題，現(xiàn)在用系統(tǒng)聚類法來解.將每個省份看成一個樣品，并以，2，，5分表示遼寧、浙江、河南、甘肅、青海5省計算樣品間的歐氏距離，得到如下的距離矩陣0{1}{2}{3}{4}{5}02.20下面給出采用最短距離法的聚類過程：首先將個省各看成一類，即令

Gi},(ii

從D可以看出其中最小的元素是0

({4},{3})d

43

2.20

故將G和合成一類G然346/

11.6711.67011.670后利用遞推公式計算

G

6

與

，

，

G5

之間的最短距離.在

0

min{,d}min{13.80,13.12)3141mindx9mbj5min{24.63,24.06)24.0632({3,4},{5})min{d,}min{3.51,2.21)35中劃去{3},{4}對應(yīng)的行和,并加上新類{到其它類距離作為新的一行一,得到{3,4}{1}{2}{5}重復(fù)上面的步驟，依次可得到相