2022-2023學(xué)年遼寧省大連市第一零第二高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2022-2023學(xué)年遼寧省大連市第一零第二高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若曲線=·sin+1在=處的切線與直線a+2y+1=0互相垂直，則實(shí)數(shù)a等于（

）

A、-2

B、-1

C、1

D、2參考答案：D2.設(shè)a=cos2°﹣sin2°，b=，c=，則有(

)A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b參考答案：D【考點(diǎn)】二倍角的正切．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由兩角差的正弦公式求a，由二倍角的正切公式求b，由二倍角的正弦公式求c，即可根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)線的知識比較大?。窘獯稹拷猓骸遖=cos2°﹣sin2°=sin（30°﹣2°）=sin28°，b==tan（14°+14°）=tan28°，c===sin25°，∵正弦函數(shù)在（0°，90°）是單調(diào)遞增的，∴c＜a．又∵在（0°，90°）內(nèi)，正切線大于正弦線，∴a＜b．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了兩角差的正弦公式，二倍角的正切公式，二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)線的知識應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3.函數(shù)的圖象大致是（

）參考答案：C略4.若在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）

參考答案：答案：D解析：由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，且要使，需

故答案為，選D5.集合M=｛x||x－3|＜4｝,N=｛x|x2＋x－2＜0，x∈Z},則MN（

）A.{0}

B.{2}

C.

D.

{參考答案：A略6.如圖，在三棱錐D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E是DC的中點(diǎn)，則AC與BE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，過O作BC的平行線為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與BE所成角的余弦值．【解答】解：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵在三棱錐D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，∴OD⊥平面ABC，以O(shè)為原點(diǎn)，過O作BC的平行線為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA=AB=DB=BC=2，又E是DC的中點(diǎn)，∴A（0，﹣1，0），C（2，1，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（1，，），=（2，2，0），=（1，﹣，），設(shè)AC與BE所成角為θ，則cosθ===．∴AC與BE所成角的余弦值為．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．7.已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.（5分）通過隨機(jī)詢問100名性別不同的小學(xué)生是否愛吃零食，得到如下的列聯(lián)表：由K2=算得K2=≈4.762參照附表，得到的正確結(jié)論（

）

A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”

B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”

C．有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”

D．有97.5%以上的把握認(rèn)為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”參考答案：A【考點(diǎn)】：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】：根據(jù)P（K2＞3.841）=0.05，即可得出結(jié)論．解：∵K2=≈4.762＞3.841，P（K2＞3.841）=0.05∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”．故選：A．【點(diǎn)評】：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9.設(shè)變量滿足約束條件，則的最小值為

A.-2

B.-4

C.-6

D.-8參考答案：A略10.某校甲、乙兩食堂2013年元月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同。已知2013年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則2013年5月份營業(yè)額較高的是 （

）A．甲 B．乙 C．甲、乙營業(yè)額相等 D．不能確定參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線y=x+sinx在點(diǎn)(0，0)處的切線方程是＿＿＿＿．參考答案：略12.有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取3支不同顏色的彩筆，則取出的3支彩筆中含有紅色彩筆的概率為________．參考答案：【分析】由古典概型及其概率計(jì)算公式得：取出的3支彩筆中含有紅色彩筆的概率為，得解．【詳解】從這5支彩筆中任取3支不同顏色的彩筆，共有種不同的取法，從這5支彩筆中任取3支不同顏色的彩筆，則取出的3支彩筆中含有紅色彩筆，共有種不同的取法，則取出的3支彩筆中含有紅色彩筆的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，屬簡單題．13.選修4-1：幾何證明選講已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為

3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝

.參考答案：由已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，利用勾股定理得：AB=5cm，再由切割線定理得:，所以BD=cm。14.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A.以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點(diǎn)，的一個(gè)內(nèi)角為60°，則C的離心率為______.參考答案：【分析】由題意可得PA⊥PB，又，△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60°，即有△PFB為等腰三角形，PF＝PA＝a+c，運(yùn)用雙曲線的定義和離心率公式，計(jì)算即可得到所求．【詳解】如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為F1，圓于x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，∵△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60°∴∠PAF＝30°，∠PBF＝60°?PF＝AF＝a+c，?PF1＝3a+c，在△PFF1中，由余弦定理可得．?3c2﹣ac﹣4a2＝0?3e2﹣e﹣4＝0?，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直徑所對的圓周角為直角，以及等腰三角形的性質(zhì)，考查離心率公式的運(yùn)用，屬于中檔題．15.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，過F1且斜率為的直線與C的一條漸近線在第一象限相交于A點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為______.參考答案：3【分析】由得，從而有，再由直角三角形性質(zhì)得，變形可得.【詳解】∵，∴是直角三角形，又是中點(diǎn)，∴，又在雙曲線漸近線上，∴，∴，變形可得：，，∴，.故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的性質(zhì)：即過雙曲線的右頂點(diǎn)作軸垂線，交漸近線于點(diǎn)，則，.16.曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為________參考答案：略17.如右圖，是圓的直徑，直線與圓相切于點(diǎn)，

于點(diǎn)，若圓的面積為，，則的長為

．參考答案：1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）．參考答案：【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值；根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)、運(yùn)算法則求解．（2）利用對數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則、換底公式求解．【解答】（本小題滿分10分）解：（1）；=﹣+﹣2+1…=﹣．…（2）=（log39+log3）×log23+1+2×3=log332×log23+7=+7=5+7=12．…【點(diǎn)評】本題考查的理數(shù)指數(shù)冪、對數(shù)的化簡求值，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則和換底公式的合理運(yùn)用．19.（本小題滿分12分）如圖，為圓的直徑，點(diǎn)在圓上，，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且.(1)求證：;(2)設(shè)的中點(diǎn)為，求證：;(3)設(shè)平面將幾何體分成的兩個(gè)椎體的體積分別為。參考答案：【知識點(diǎn)】線面垂直的判定；線面平行的判定；空間幾何體的體積

G1

G4

G5【答案解析】解：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB∴CB⊥平面ABEF∵AF平面ABEF∴AF⊥CB因?yàn)锳B為圓O的直徑∴AF⊥BF又因?yàn)锽F∩CB=B∴AF⊥平面CBF（2） 證明：設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連接AN,MN則，又，則，為平行四邊形，，又平面，平面，平面（3） 過點(diǎn)作于，平面平面，平面，，平面，，【思路點(diǎn)撥】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可證CB⊥平面ABEF，則AF⊥CB，再由圓的性質(zhì)得AF⊥BF，進(jìn)而由線面垂直的判斷定理得到AF⊥平面CBF；（2）取DF的中點(diǎn)為N，證明，由線面平行的判斷定理即可證出平面；（3）套用椎體的體積公式分別求出兩個(gè)椎體的體積，即可計(jì)算出其比值。20.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）求三棱錐B﹣C1CD的體積；（Ⅲ）在線段BD上是否存在點(diǎn)Q，使得CQ⊥BC1？請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1為棱柱，可得B1C1∥BC，再由線面平行的判定可得B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）由D為棱AA1的中點(diǎn)求出三角形CC1D，再證明BC⊥平面CDC1，即可求得三棱錐B﹣C1CD的體積；（Ⅲ）以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)在線段BD上存在點(diǎn)Q，使得CQ⊥BC1，求出Q的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0得答案．【解答】（Ⅰ）證明：∵ABC﹣A1B1C1為棱柱，則B1C1∥BC，∵B1C1?平面BCD，BC?平面BCD，則B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）解：∵D為棱AA1的中點(diǎn)，∴，∵AA1⊥底面ABC，∴BC⊥AA1，又BC⊥AC，且AC∩AA1=A，∴BC⊥平面CDC1，∴=；（Ⅲ）解：線段BD上存在點(diǎn)Q（），使得CQ⊥BC1．事實(shí)上，以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），B（0，1，0），C1（0，0，2），D（1，0，1），假設(shè)在線段BD上存在點(diǎn)Q，使得CQ⊥BC1，設(shè)Q（x，y，z），再設(shè)，則（x，y﹣1，z）=λ（1，﹣1，1），得x=λ，y=1﹣λ，z=λ，則Q（λ，1﹣λ，λ），∴=（λ，1﹣λ，λ），，由，得．∴線段BD上存在點(diǎn)Q（），使得CQ⊥BC1．21.（本小題滿分14分）在數(shù)列與中，，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,為與的等比中項(xiàng)，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)．證明．參考答案：【解】本小題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項(xiàng)、不等式證明、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分14分（Ⅰ）解：由題設(shè)有，，解得．由題設(shè)又有，，解得．（Ⅱ）解法一：由題設(shè)，，，及，，進(jìn)一步可得，，，，猜想，，．先證，．當(dāng)時(shí)，，等式成立．當(dāng)時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．（2）假設(shè)時(shí)等式成立，即，．由題設(shè)，①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，從而．這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何的成立．綜上所述，等式對任何的都成立．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，．（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么．這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何的都成立．解法二：由題設(shè)①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，．所以，，……，．將以上各式左右兩端分別相乘，得，由（Ⅰ）并化簡得，．止式對也成立．由題設(shè)有，所以，即，．令，則，即．由得，．所以，即，．解法三：由題設(shè)有，，所以，，……，．將以上各式左右兩端