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§2.3

崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下一塊石頭聽(tīng)回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問(wèn)題。我有一只具有跑表功能的計(jì)算器。方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。

我學(xué)過(guò)微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽(tīng)到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了反應(yīng)時(shí)間

進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開(kāi)并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落的真正時(shí)間為t1，聲音傳回來(lái)的時(shí)間記為t2，還得解一個(gè)方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理

相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時(shí)間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則

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