高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何講座第4講四點共圓問題

第四講四點共圓問題“四點共圓”問題在數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn),這類問題一般有兩種形式：一是以“四點共圓"作為證題的目的，二是以“四點共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路（P89P931“四點共圓”作為證題目的1．給出銳角△ABCABABCC′及其延長線交于,NACACBN,P，Q四點共圓。PQ,PQ,MNKAP，AM.M，N，P，Q四點共圓，須證MK·KN＝PK·KQ，即證(MC′—KC′）（MC′+KC′）＝（PB′-KB′）·(PB′+KB′)NBC′PAKMB′QC或MC′2—KC′2=PB′2-KB′2。不難證明AP=AM，從而有①A′2+P′2=AC′2+MC′2.故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=(AK2—KB′2）—（AK2-KC′2)=KC′2—KB′2。 ②由②即得①，命題得證。 O例2．A、B、C三點共線，O點在直線外,O，O，O分別為△OAB，△OBC, 11 2 3求證：O,O，O, ？1 2O四點共圓。 3(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克) A B C分析：作出圖中各輔助線。易證OO垂直平分OB，OO垂直平分1 2 1 31OBCOOO=∠OO觀察△OC2 1 2 21圓，立得∠OOO2∠OOA=∠OCA.3 1 3由∠OOO=∠OOO O,O,O，O共圓。2 1 3 1 1 2 3O，O，O，O四點共圓，請同學(xué)自1 2 32以“四點共圓”作為解題手段(1）證角相等3．ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K,MAD，BC＝∠CBK。求證：∠DMA＝∠CKB。(第二屆袓沖之杯初中競賽） D CK M第1頁共4頁· ·A BOO2△OO23OA。觀察△A及其外接證.幾個方面。上，∠DAM第第3頁共4頁A,B,M，K四點共圓有∠DAB＝∠CMK∵∠DAB+∠ADC＝180°，∴∠CMK+∠KDC＝180°。C，D，K，M四點共圓∠CMD＝∠DKC.但已證∠AMB＝∠BKA，AKOBNCM AKOBNCM G4．⊙O過△ABCA，CAB，BCK，N（KN外接圓和△BKNB和M求證：∠BMO=90°。（26IMO第五題)圖形特點，借助“四點共圓”,問題是不難解決的.OC，OK，MC，MKBMG易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°—∠CMK,∴∠COK+∠CMK=180°C,O，K，M四點共圓在這個圓中，由OC=OKOC=OK∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°。(3)判斷圖形形狀5．四邊形ABCD的內(nèi)心依次記為I,I,I，I.A B C DA試證：IA

IIIBC

是矩形。DI DI IB AIDAB分析:連接AI，AI，BI，BI 和

。易得C D C D B∠1 1∠CAIB=90°+ ∠ADB=90°+CC 2 2∠ACB=∠AIBA，B，I，I 四點D D C共圓。B，C同理,A，D，I I 四點共圓此時B，C1∠AII=180°-∠ABI =180°— ∠ABC,CD D 21∠BAII∠BCB

=180°-∠ADI

=180°- ∠ADC，2∴∠AII+∠AIICD CB1=360°- （∠ABC+∠ADC)21=360°— ×180°=270°。2故∠IBICID=90°。IAIBICID該四邊形必為矩形(4）計算例6．正方形ABCD的中心為，面積為1989㎝2P為正方形內(nèi)一點，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14.則PB= P·O·P·O·分析：答案是PB=42㎝。怎樣得到的呢？連接OA,OB.易知O，P,A，B四點共圓,有∠APB=∠AOB=90°。故PA2+PB2=AB2=1989。由于PA:PB=5:14，可求PB. A B（5)其他7．1的和一個面積最小的，并求出這兩個面積(須證明你的論斷）。（1978，全國高中聯(lián)賽)··E····K分析:設(shè)△EFGABCD··E····K邊上。 A D作正△EFGEKE，K,G，D四點共圓∠KDE=∠KGE=60°理，∠KAE=60°.故△KAD也是一個正F G三角形，K必為一個定點。 B C2 3KF2 333

4 也最小KFB

,這時3邊長最大,面積S=2 -3也最大.3是⊙O的直徑，弦ABNSM,PANBNAB于R，PM的延長線交⊙O于Q求證：RS＞MQ。(1991，江蘇省初中競賽）分析：連接NP，NQ，NR，NR的延長線交⊙O于Q′。連接MQ′，SQ′。易證N,M，R，P四點共圓,從而,∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ。QQNS成軸對稱M，S,Q′,RRS是這個圓的直徑（∠RMS=90°)，MQ′是一條弦（∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′MQ=MQ′,所以，RS＞MQ.練習(xí)題⊙O交⊙O 于A,B兩點,射線OA交⊙O 于C點,射線OA1 2 1 2 2交⊙O1

于D點。求證：點A是△BCD的內(nèi)心.(提示：設(shè)法證明C，D，O，B四點共圓，再證C，D，B，O1 2C，D，O,B,O五點共圓1 22。△ABC為不等邊三角形∠AA，A；1 2同樣得到B,B，C，C.求證:AA=BB=CC。1 2 1 2 12 12 1 2（提示：設(shè)法證∠ABA1

與∠ACA1

A，B，A，CA，1ACAA都是△ABC的外接圓上,并注意∠AAA=90°）2 1 2 1 23MM(互不重合求證:△MMM

也是正三角形。

1 2 31 2 3Rt△ABCBC上的高,PABA