排列組合問題經(jīng)典題型與方法

擺列組合問題經(jīng)典題型與通用方法分析版相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，看作一個大元素參加擺列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B一定相鄰且B在A的右側(cè)，則不一樣的排法有（）A、60種B、48種C、36種D、種分析：把A,B視為一人，且B固定在A的右側(cè)，則此題相當(dāng)于4人的全擺列，A4424種，答案：D.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無地點要求的幾個元素全擺列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩頭.例2.七人并排站成一行，假如甲乙兩個必須不相鄰，那么不一樣的排法種數(shù)是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種分析：除甲乙外，其他5個擺列數(shù)為A55種，再用甲乙去插6個空位有A62種，不一樣的排法種數(shù)是A55A623600種，選B.定序問題縮倍法:在擺列問題中限制某幾個元素一定保持必定的次序，可用減小倍數(shù)的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如B一定站在A的右側(cè)（A,B能夠不相鄰）那么不一樣的排法有（）A、24種B、60種C、90種D、120種分析：B在A的右側(cè)與B在A的左側(cè)排法數(shù)同樣，所以題設(shè)的排法不過5個元素全擺列數(shù)的一半，即1A5560種，選B.2標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定地點上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，這樣持續(xù)下去，挨次即可達成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不同樣的填法有（）A、6種D、23

種

B、9

種

C、11

種分析：先把

1填入方格中，切合條件的有

3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其他三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選B.有序分派問題逐分法:有序分派問題指把元素分紅若干組，可用逐漸下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人擔(dān)當(dāng)，乙丙各需一人擔(dān)當(dāng)，從10人中選出4人擔(dān)當(dāng)這三項任務(wù)，不一樣的選法種數(shù)是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種分析：先從10人中選出2人擔(dān)當(dāng)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人擔(dān)當(dāng)乙項任務(wù)，第三步從此外的7人中選1人擔(dān)當(dāng)丙項任務(wù)，不一樣的選法共有C2C1C12520種，1087選C.2）12名同學(xué)分別到三個不一樣的路口進行流量的檢查，若每個路口4人，則不一樣的分派方案有（）A、C124C84C44種B、3C124C84C44種C、C124C84A33種C124C84C44D、A33種答案：A.6.全員分派問題分組法:例6.（1）4名優(yōu)異學(xué)生所有保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校起碼去一名，則不一樣的保送方案有多少種？分析：把四名學(xué)生疏成3組有C42種方法，再把三組學(xué)生疏派到三所學(xué)校有A33種，故共有C42A3336種方法.說明：分派的元素多于對象且每一對象都有元素分派經(jīng)常用先分組再分派.2）5本不一樣的書，所有分給4個學(xué)生，每個學(xué)生起碼一本，不一樣的分法種數(shù)為）A、480種B、240種C、120種D、96種答案：B.名額分派問題隔板法:例7：10個三勤學(xué)生名額分到7個班級，每個班級起碼一個名額，有多少種不一樣分派方案？分析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額當(dāng)作10個同樣的小球分紅7堆，每堆起碼一個，能夠在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分派方案，故共有不一樣的分派方案為C9684種.限制條件的分派問題分類法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)異畢業(yè)生中選人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，此中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不一樣差遣方案？分析：由于甲乙有限制條件，所以依據(jù)能否含有甲乙來分類，有以下四種狀況：①若甲乙都不參加，則有差遣方案A84種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，而后安排其他學(xué)生有A83方法，所以共有3A83；③若乙參加而甲不參加同理也有3A83種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，而后再安排其他8人到此外兩個城市有A82種，共有7A82方法.所以共有不一樣的差遣方法總數(shù)為A843A833A837A824088種.多元問題分類法：元素多，拿出的狀況也多種，可按結(jié)果要求分紅不相容的幾類狀況分別計數(shù)，最后總計.例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，此中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種分析：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種狀況，分別有A55個，A41A31A33,A31A31A33,A21A31A33,A31A33個，歸并總計300個,選B.2）從1，2，3，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計次序）共有多少種？分析：被取的兩個數(shù)中起碼有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)構(gòu)成的會合視為全集I,能被7整除的數(shù)的會合記做A7,14,21,98共有14個元素,不可以被7整除的數(shù)構(gòu)成的會合記做A1,2,3,4,,100共有86個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有C142，從A中任取一個，又從A中任取一個共有C141C861，兩種情況共切合要求的取法有C142C141C8611295種.3）從1，2，3，，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計次序）有多少種？分析：將I1,2,3,100分紅四個不訂交的子集，能被4整除的數(shù)集A4,8,12,100；能被4除余1的數(shù)集B1,5,9,97，能被4除余2的數(shù)集C2,6,,98，能被4除余3的數(shù)集D3,7,11,99，易見這四個會合中每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)切合要；從B,D中各取一個數(shù)也切合要求；從C中任取兩個數(shù)也切合要求；別的其他取法都不切合要求；所以切合要求的取法共有C252C251C251C252種.交錯問題會合法：某些擺列組合問題幾部分之間有交集，可用會合中求元素個數(shù)公式n(AB)n(A)n(B)n(AB)例10.從6名運動員中選出4人參加4×米接力賽，假如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不一樣的參賽方案？分析：設(shè)全集｛=6人中任取4人參賽的擺列｝，A=｛甲跑第一棒的擺列｝，B=｛乙跑第四棒的擺列｝，依據(jù)求會合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I)n(A)n(B)n(AB)A64A53A53A42252種.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定地點，可先排這個或幾個元素；再排其他的元素。例11.現(xiàn)1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相紀(jì)念，若老師不站兩頭則有不一樣的排法有多少種？分析：老師在中間三個地點上選一個有A31種，4名同學(xué)在其他4個地點上有A44種方法；所以共有A31A4472種。.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸納為一排考慮，再分段辦理。例12.（1）6個不一樣的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不一樣的排法種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種分析：前后兩排可當(dāng)作一排的兩段，所以本題可當(dāng)作6個不一樣的元素排成一排，共A66720種，選C.（2）8個不一樣的元素排成前后兩排，每排4個元素，此中某2個元素要排在前排，某個元素排在后排，有多少種不一樣排法？分析：當(dāng)作一排，某2個元素在前半段四個地點中選排2個，有A42種，某1個元素排在后半段的四個地點中選一個有A41種，其他5個元素任排5個地點上有A55種，故共有“起碼”“至多”問題用間接清除法或分類法:例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，此中起碼要甲型和乙型電視機各一臺，則不一樣的取法共有（）A、140種B、80種C、70種D、35種分析1：逆向思慮，起碼各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不一樣的取法共有C93C43C5370種,選.C分析2：起碼要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種狀況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不一樣的取法有C52C14C51C4270臺,選C.選排問題先取后排:從幾類元素中拿出切合題意的幾個元素，再安排到必定的地點上，可用先取后排法.例14.（1）四個不一樣球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？分析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C42種，再排：在四個盒中每次排3個有A43種，故共有C42A43144種.（2）9名乒乓球運動員，此中男5名，女4名，此刻要進行混淆雙打訓(xùn)練，有多少種不一樣的分組方法？分析：先取男女運動員各2名，有C52C42種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有A22中排法，故共有C52C42A22120種.部分合條件問題清除法:在選用的總數(shù)中，只有一部分合條件，能夠從總數(shù)中減去不切合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的極點為極點的四周體共有（）A、70種B、64種C、58種D、52種分析：正方體8個極點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成C84四周體，但6個表面和6個對角面的四個極點共面都不可以構(gòu)成四周體，所以四周體實質(zhì)共有C841258個.2）四周體的極點和各棱中點共10點，在此中取4個不共面的點，不一樣的取法共有（）A、150種B、147種C、144種D、141種分析：10個點中任取4個點共有C104種，此中四點共面的有三種狀況：①在四周體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的狀況為C64，四個面共有4C64個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的狀況的種數(shù)是C1044C6436141種.圓排問題單排法:把n個不一樣元素放在圓周n個無編號地點上的擺列，次序（比如按順時鐘）不一樣的排法才算不一樣的擺列，而次序同樣（即旋轉(zhuǎn)一下就能夠重合）的排法以為是同樣的，它與一般擺列的差別在于只計次序而首位、末位之分，以下n個一般擺列：a1,a2,a3,an;a2,a3,a4,,an,;an,a1,,an1在圓擺列中只算一種，由于旋轉(zhuǎn)后能夠重合，故以為同樣，n個元素的圓擺列數(shù)有n!n

種.所以可將某個元素固定展成單排，其他的n1元素全擺列.例16.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不一樣站法？分析：第一可讓5位姐姐站成一圈，屬圓擺列有A44種，而后在讓插入此間，每位均可插入其姐姐的左側(cè)和右側(cè)，有2種方式，故不一樣的安排方式2425768種不一樣站法.說明：從n個不一樣元素中拿出m個元素作圓形擺列共有1Anm種不一樣排法.m可重復(fù)的擺列求冪法:同意重復(fù)擺列問題的特色是以元素為研究對象，元素不受地點的拘束，可逐個安排元素的地點，一般地個不一樣元素排在m個不一樣地點的擺列數(shù)有mn種方法.例17.把6名實習(xí)生疏派到7個車間實習(xí)共有多少種不一樣方法？分析：達成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生疏派到車間有7種不一樣方案，第二步：將第二名實習(xí)生疏派到車間也有7種不同方案，挨次類推，由分步計數(shù)原理知共有76種不一樣方案.復(fù)雜擺列組合問題結(jié)構(gòu)模型法:例18.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉此中的三盞，但不可以關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不可以關(guān)掉兩頭的兩盞，求知足條件的關(guān)燈方案有多少種？分析：把此問題看作一個排對模型，在6盞亮燈的5個縫隙中插入3盞不亮的燈C53種方法,所以知足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的擺列組合題，假如能轉(zhuǎn)變?yōu)槭炝?xí)的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題簡單解決.元素個數(shù)較少的擺列組合問題能夠考慮列舉法:例19.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰巧有兩個球的號碼與盒子號碼同樣，問有多少種不一樣的方法？分析：從5個球中拿出2個與盒子對號有C52種，還剩下3個球與3個盒子序號不可以對應(yīng)，利用列舉法剖析，假如剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不可以裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，所以總合裝法數(shù)為2C5220種.復(fù)雜的擺列組合問題也可用分解與合成法:例20.（1）30030能被多少個不一樣偶數(shù)整除？分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)必取，3，5，7，11，13這5個因數(shù)中任取若干個構(gòu)成成積，所有的偶因數(shù)為C50C51C52C53C54C5532個.（2）正方體8個極點可連成多少隊異面直線？分析：由于四周體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個極點可構(gòu)成多少個不一樣的四周體，從正方體8個極點中任取四個極點構(gòu)成的四周體有C841258個，所以8個極點可連成的異面直線有3×58=174對.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)變法:對應(yīng)思想是教材中浸透的一種重要的解題方法，它能夠?qū)?fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵螁栴}辦理.例21.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦