離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)Z域分析

離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)Z域分析

在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中，變換法是變換域分析法中最重要的一種。變換在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的作用就如同拉普拉斯變換在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的作用。它把描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，使其求解大大簡(jiǎn)化。變換的概念可以從理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換引出，也可以在離散域直接給出。2.1變換的定義及收斂域2.1.1z變換的定義一個(gè)序列的變換定義為

其中，

是一個(gè)連續(xù)復(fù)變量，也就是說(shuō)，

變換是在復(fù)頻域內(nèi)對(duì)離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)進(jìn)行分析。由定義可見(jiàn)，

是一個(gè)復(fù)變量

的冪級(jí)數(shù)。亦可將

變換表示成算子的形式：基于此，

變換算子可以看作是將序列

變換為函數(shù)

，二者之間的相應(yīng)關(guān)系可記為由式（2.1.1）所定義的z變換稱為雙邊z變換，與此相對(duì)應(yīng)的單邊z變換則定義為

（2.1.2）顯然，只有

為因果序列（即

）時(shí)，其單邊z變換與雙邊z變換才是相等的。2.1.2z變換的收斂域1、收斂域的定義由定義式，只有冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，z變換才有意義。對(duì)于任意給定的序列

，使其z變換所定義的冪級(jí)數(shù)

收斂的所有z值的集合稱為

的收斂域。

收斂的充分且必要條件是絕對(duì)可和，即

為使上式成立，就須確定

取值的范圍，即收斂域。由于

為復(fù)數(shù)的模，則可以想象出收斂域?yàn)橐粓A環(huán)狀區(qū)域，即

其中，

、

稱為收斂半徑，可以小到0，而

可以大到

。式（2.1.4）的

平面表示如圖2.1.1所示。圖2.1.1環(huán)狀收斂域jIm（z）Re（z）常見(jiàn)的一類z變換是有理函數(shù)，即使

的那些z值稱為

的零點(diǎn)，而使

的那些z值稱為

的極點(diǎn)。零點(diǎn)、極點(diǎn)也可能包含

處的點(diǎn)。由于

在收斂域內(nèi)是解析函數(shù)，所以，收斂域內(nèi)不包含極點(diǎn)。2、序列形式與其z變換收斂域的關(guān)系

每一項(xiàng)都有界則必有（1）

為有限長(zhǎng)序列當(dāng)、

時(shí)，顯然在

內(nèi)的z值都滿足該條件，收斂域?yàn)槌ピc(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的z平面，如圖2.1.1(b)陰影區(qū)域所示。當(dāng)

、

時(shí)，除去原點(diǎn)外的z值都滿足條件，收斂域?yàn)槌ピc(diǎn)的

z平面，即

；當(dāng)

、

時(shí)，除去無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的z值都滿足條件，收斂域?yàn)槌o(wú)窮點(diǎn)的z平面，；特殊的，當(dāng)

、

時(shí)，收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面，即

。（2）

為右邊序列當(dāng)

時(shí)，

為z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，根據(jù)級(jí)數(shù)理論，存在一個(gè)收斂半徑

，

在以原點(diǎn)為中心、

為半徑的圓外處處收斂，即收斂域?yàn)?/p>

。此時(shí)的

為因果序列，因此，

在無(wú)窮遠(yuǎn)處收斂是因果序列的特征；當(dāng)

時(shí)，

可寫為

上式右端第一項(xiàng)是（1）中討論過(guò)的有限長(zhǎng)序列的z變換，其收斂域?yàn)?/p>

；第二項(xiàng)為

的負(fù)冪級(jí)數(shù)，同樣其收斂域?yàn)?/p>

。因此，

的收斂域?yàn)槎叩闹丿B區(qū)域，即

，如圖2.1.3(b)陰影區(qū)域所示。（3）

為左邊序列當(dāng)

時(shí)，

為z的正冪級(jí)數(shù)，根據(jù)級(jí)數(shù)理論，必存在一個(gè)最大收斂半徑

，

在以原點(diǎn)為中心、

為半徑的圓內(nèi)處收斂，即收斂為

；

當(dāng)

時(shí)，

可寫為上式右端第一項(xiàng)為z的正冪級(jí)數(shù)，同樣其收斂域?yàn)?/p>

；第二項(xiàng)為（1）中討論過(guò)的有限長(zhǎng)序列的z變換，其收斂域?yàn)?/p>

。因此，

的收斂域?yàn)槎叩闹丿B區(qū)域。（4）

為雙邊序列通過(guò)（2）、（3）中的討論可知，上式第一項(xiàng)為右邊序列(因果序列)，其收斂域?yàn)?/p>

；第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)?/p>

；若

，則取交集得到雙邊序列的收斂域?yàn)?/p>

，這是一個(gè)環(huán)形的收斂域。如圖2.1.5(b)陰影區(qū)域所示。表2.1.1序列的形式與z變換收斂域的關(guān)系2.1.3常用序列的z變換（1）單位抽樣序列z變換收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面（2）單位階躍序列z變換當(dāng)，即有

的零點(diǎn)為，極點(diǎn)為。（3）單位斜變序列由（2)中討論可知將上式兩邊對(duì)z求導(dǎo)得兩邊同乘以-z得的z變換當(dāng)，即（4）右邊指數(shù)序列這是一個(gè)右邊序列，其z變換為當(dāng)，即時(shí)，有

零點(diǎn)為，極點(diǎn)為（5）左邊指數(shù)序列這是一個(gè)左邊序列，其z變換為當(dāng)，即時(shí)，有

零點(diǎn)為，極點(diǎn)為（6）雙邊指數(shù)序列該序列的z變換若，則上面的級(jí)數(shù)收斂，得到該序列的雙邊z變換的零點(diǎn)位于

及

，極點(diǎn)位于

與

處。前已提及,z變換的收斂域內(nèi)不應(yīng)該包含任何極點(diǎn)。由上述分析進(jìn)一步看出，

的收斂域內(nèi)確實(shí)不包含任何極點(diǎn)。通常收斂域以極點(diǎn)為邊界，對(duì)于多個(gè)極點(diǎn)的情況：1）右邊序列z變換的收斂域一定在模值最大極點(diǎn)所在的圓外，可能包含

；2）左邊序列z變換的收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)，可能包含。2.2z反變換與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的拉普拉斯變換類似，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，應(yīng)用z變換的目的是為了把描述系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)變量z的代數(shù)方程，然后寫出離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（z域傳遞函數(shù)）、做某種運(yùn)算處理，再用z反變換求出離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。部分分式展開法在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中，曾用部分分式展開法求解拉普拉斯逆變換，同樣在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中，當(dāng)

的表達(dá)式為有理分式時(shí)，z反變換也可以用部分分式展開法求取。首先將

分解成多個(gè)部分分式之和，然后對(duì)各部分分式求z反變換，則所求序列

就是各部分分式的z反變換之和。在求各部分分式z反變換時(shí)，可利用表2.1.2中的基本z變換對(duì)。表示成有理分式形式

展成以下部分分式形式

式中，若

時(shí)，才存在整式部分系數(shù)

（即上式右邊第一項(xiàng)），可用長(zhǎng)除法得到，而當(dāng)

時(shí)，

；

為

的各一階極點(diǎn)；

為

的一個(gè)

k階極點(diǎn)。依據(jù)留數(shù)定理，可求得系數(shù)

,分別為例

2.2.1

已知

利用部分分式展開法求z反變換

。

解：所以考慮

收斂域知

應(yīng)為右邊序列。查表2.1.2中的z變換對(duì)，得所求序列為例

2.2.2已知，

利用部分分式展開法求z反變換

。

解則上式第一項(xiàng)只有極點(diǎn)

，由收斂域中

可知，該項(xiàng)的反變換應(yīng)為右邊因果序列，則，第二項(xiàng)只有極點(diǎn)

，同樣由收斂域中

可知，該項(xiàng)的反變換應(yīng)為左邊序列，則，

所以，所求序列為或?qū)懗捎梢陨戏治隹梢?jiàn)，在求z反變換時(shí)，一定要考慮收斂域，注意區(qū)別哪些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)右邊序列，哪些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)左邊序列。2.2.2冪級(jí)數(shù)展開法前面已經(jīng)提到，

為

的冪級(jí)數(shù)，即

由此可見(jiàn)，在給定的收斂域內(nèi)，如果將

展開為冪級(jí)數(shù)，那么項(xiàng)的系數(shù)就是序列。將

展開為冪級(jí)數(shù)常用的方法有兩種。1）按冪級(jí)數(shù)公式展開這種方法是運(yùn)用已經(jīng)熟知的冪級(jí)數(shù)展開公式完成對(duì)的展開，往往多用于

是超越函數(shù)的情況，如是對(duì)數(shù)、雙曲正弦等，這些函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開公式大多已有表格可查。下面通過(guò)例子對(duì)其進(jìn)行說(shuō)明。例

2.2.3

求

，的反變換

。

解:依據(jù)冪級(jí)數(shù)展開公式，以及

中的

（由收斂域得到），可得由上式看到，項(xiàng)的系數(shù)是

，又由收斂域的形式得知，

是一個(gè)右邊序列，則所求

為2）長(zhǎng)除法

一般為有理分式，用

的分母多項(xiàng)式去除分子多項(xiàng)式就可得到其冪級(jí)數(shù)形式。在做長(zhǎng)除之前，首先應(yīng)該根據(jù)

的ROC判斷

是右邊序列，還是左邊序列，然后決定將

展開z的降冪級(jí)數(shù)或升冪級(jí)數(shù)。觀察z變換的定義式

，若

是右邊序列，當(dāng)

時(shí),z的冪逐漸減小，則此時(shí)，應(yīng)該將

展開z的降冪級(jí)數(shù)；若

是左邊序列，當(dāng)時(shí)，z的冪逐漸增加，則應(yīng)該將

展開z的升冪級(jí)數(shù)。例2.2.2

試用長(zhǎng)除法求

，

的z

反變換

。解由表達(dá)式知，

只有一個(gè)極點(diǎn)

，且收斂域

在極點(diǎn)所在圓的外部，所以

應(yīng)為右邊序列，則應(yīng)將

展開成z的降冪級(jí)數(shù)。運(yùn)用長(zhǎng)除法得即所以

。例2.2.3

試用長(zhǎng)除法求

，

的z反變換

。解

因?yàn)槭諗坑驗(yàn)榄h(huán)狀，所以所求序列為雙邊序列。對(duì)于雙邊序列可先將其分解為右邊序列和左邊序列，所以先將

展開成部分分式再長(zhǎng)除。根據(jù)式（2.2.3）求系數(shù)

、

則所以

為觀察的收斂域可知，上式的第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)左邊序列，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)右邊序列。分別運(yùn)用長(zhǎng)除法如下：即

的冪級(jí)數(shù)形式為所以z反變換

為2.2.3.圍線積分法(留數(shù)法)除了以上討論的求解z反變換的兩種方法外，z反變換也可以用反演積分來(lái)計(jì)算?，F(xiàn)在用復(fù)變函數(shù)理論來(lái)研究

的反變換。對(duì)z變換定義式兩端同乘以

，得對(duì)上式兩端進(jìn)行圍線積分，可得其中c是一條位于

收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的逆時(shí)針圍線。若級(jí)數(shù)收斂，交換上式右端的積分與求和次序，得

依據(jù)柯西積分定理

則綜合得將上式的變量k用n代換，得

（2.2.7）這就是圍線積分的z反變換公式。

直接計(jì)算式（2.2.7）的圍線積分比較復(fù)雜，當(dāng)

是有理分式時(shí)，通常都采用留數(shù)定理來(lái)求解。若

是被積函數(shù)

位于c內(nèi)的所有極點(diǎn)，則按照留數(shù)定理，有若

是被積函數(shù)

位于c外的所有極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式z的階次比分子多項(xiàng)式z的階次高兩階或兩階以上，則按照留數(shù)輔助定理，有

實(shí)際使用中，具體選用哪一個(gè)，取決于計(jì)算的簡(jiǎn)便性，一般選用計(jì)算一階極點(diǎn)留數(shù)的那一個(gè)。若是

的一階極點(diǎn)，則有

若

是

的多重（s階極點(diǎn)），則有需要注意的是，在使用上述兩式時(shí)，一定要計(jì)算出

位于c內(nèi)或c外的所有可能的極點(diǎn)處的留數(shù)，而且，當(dāng)n取值不同時(shí)，處極點(diǎn)的階次可能會(huì)發(fā)生變化。例2.2.4

求

，

的反變換。解的反變換為由于收斂域?yàn)?/p>

，所以應(yīng)為因果序列，當(dāng)

時(shí)，

不是

的極點(diǎn)。所以，在收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的圍線c內(nèi)只有一階極點(diǎn)、

，則由此得所求序列為例2.2.5試用留數(shù)法求

，

的z反變換

。解

c為

收斂域內(nèi)的圍線，如圖2.2.1所示。當(dāng)

時(shí)，圍線c內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn)，則

當(dāng)

時(shí)，圍線c外只有一個(gè)一階極點(diǎn)

，而c內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn)以及

階極點(diǎn)

，而且綜合上述分析，得可見(jiàn)，與例2.2.3結(jié)果相同。2.3變換的性質(zhì)與定理在研究離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)過(guò)程中，理解并掌握z變換的一些常用性質(zhì)與定理是特別重要的。這些性質(zhì)往往與z變換對(duì)結(jié)合起來(lái)用，使z變換與z反變換的求解過(guò)程得到簡(jiǎn)化。1.線性性質(zhì)z變換是一種線性變換，滿足均勻性與疊加性，即若

則對(duì)于任意常數(shù)a、b下式成立：

收斂域一般是

和

收斂域的重疊部分。若在這些組合過(guò)程中，某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵消，則收斂域有可能擴(kuò)大。例2.3.1

已知

，求其z變換。解

依據(jù)歐拉公式，得由題知，

是一個(gè)右邊因果序列。查表2.1.2可知

由此得

綜合上述分析，得所求z變換為

2．移位性質(zhì)1）雙邊z變換若序列

的雙邊z變換為

，

則移位m后的序列

的雙邊z變換為，

其中m為任意整數(shù)，若m為正，則為右移（延遲）；若m為負(fù)，則為左移（超前）。證明

依據(jù)雙邊z變換的定義，可得

可以看出，序列位移只會(huì)使新序列的z變換在

或

處的零極點(diǎn)情況發(fā)生變化：當(dāng)

m為正時(shí)，在

處引入極點(diǎn)，在

處引入零點(diǎn)；當(dāng)m為負(fù)時(shí)，在處引入極點(diǎn)，在處引入零點(diǎn)。也就是說(shuō)，

的收斂域與的收斂域相同，

或

可能除外。例如，

的收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面，而

在

處不收斂，

在

處不收斂。但如果

是雙邊序列，

收斂域?yàn)榄h(huán)形區(qū)域，則序列位移并不會(huì)使z變換收斂域發(fā)生變化。2)單邊z變換

設(shè)序列

的單邊z變換為，則

右移k與左移k（k為正整數(shù)）后新序列的單邊

變換分別為

（）如果

是因果序列，則項(xiàng)都等于零，而且由于因果序列的單邊z變換與雙邊z變換是相同的，于是因果序列右移后的單邊z變換為

而因果序列左移后的單邊z變換為

由于在實(shí)際中，需處理的信號(hào)大多是因果序列，除了移位性質(zhì)以外，雙邊z變換的性質(zhì)大多都適用于單邊z變換。

另外，從以上分析可知，若序列

延遲一個(gè)單位，即

，新序列的z變換多乘一個(gè)，所以，在后續(xù)內(nèi)容中，繪制信號(hào)流圖時(shí)常用

表示單位延遲。例2.3.2

求序列

的z變換。解

查表2.1.2可知依據(jù)移位性質(zhì)得因此，依據(jù)線性性質(zhì)得所求為3.序列指數(shù)加權(quán)性質(zhì)（z域尺度變換）此性質(zhì)描述了序列

乘以指數(shù)

后，其z變換如何變化。若

，

則有其中a為常數(shù)，可以為復(fù)數(shù)?？梢?jiàn)序列x(n)乘以實(shí)指數(shù)序列等效于z平面尺度展縮。

證明

依據(jù)

定義得，

即收斂域?yàn)?/p>

。依據(jù)這一性質(zhì)可見(jiàn)，新序列z變換的零極點(diǎn)的位置均改變了。這是因?yàn)槿绻?/p>

有一個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)

處，則一定有一個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)在

，即

處。也就是說(shuō)在z域發(fā)生了尺度變換。若a為正實(shí)數(shù)，則表示零極點(diǎn)位置在z平面內(nèi)沿徑向收縮或擴(kuò)展；若

，則表示零極點(diǎn)在z平面內(nèi)圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度

。4.序列的線性加權(quán)(z域微分)若

則有證明

將z定義式兩端對(duì)z求導(dǎo)得即例2.3.3

求

，

的z反變換。解

將

兩端對(duì)z求導(dǎo)得則查表2.1.2知

，

依據(jù)移位性質(zhì)得

再依據(jù)z域微分性質(zhì)知

綜合上述兩式，得

即所求序列為

5.共軛序列若

，則有

其中，為

的共軛序列。證明6.反褶序列若

，則有

從上式可見(jiàn)，的收斂域是收斂域的倒置。證明即收斂域?yàn)?/p>

。例2.3.4

求

的z變換。

解

由題可見(jiàn)，

是序列

的反褶序列，查表2.1.2知，

則依據(jù)反褶性質(zhì)得所求z變換為，

7.初值定理若

是因果序列，則其初值為

證明

依據(jù)z變換定義顯然

由初值定理可以看出，若是因果序列，則根據(jù)

就可求得；反過(guò)來(lái)，若因果序列

的初值為一個(gè)有限值，則其z變換

分子多項(xiàng)式z的階次一定小于等于分母多項(xiàng)式z的階次。8.終值定理對(duì)于因果序列，若

的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，且只允許單位圓上最多在處有一階極點(diǎn)，則有

證明

依據(jù)序列移位性質(zhì)得因?yàn)?/p>

是因果序列，所以

又由于只允許

在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子

將抵消這一極點(diǎn)，因此

在上收斂，所以可取z→1的極限。所以

顯然，只有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，當(dāng)

時(shí)

才收斂，才可應(yīng)用終值定理。該定理又可寫為即通過(guò)

可求得

的終值。9.有限項(xiàng)累加特性對(duì)于因果序列

，若

，，則有

證明

令

，顯然

也為因果序列，則依據(jù)定義得由此可知n、m的取值范圍分別為

，如圖2.3.1所示，交換求和次序，得收斂域?yàn)榈谝淮吻蠛徒Y(jié)果的收斂域及

收斂域

的重疊部分。10.序列的卷積和(時(shí)域卷積定理)

若；

，則的z變換為

Y(z)的收斂域是X(z)和H(z)收斂域的重疊部分。但如果位于某一z變換收斂域邊緣上的極點(diǎn)被另一z變換的零點(diǎn)抵消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。證明

可見(jiàn)兩序列在時(shí)域中的卷積對(duì)應(yīng)于在z域中兩序列z變換的乘積。在分析離散線性移不變系統(tǒng)中，時(shí)域卷積定理特別重要。如果x(n)與h(n)分別為線性移不變離散系統(tǒng)的激勵(lì)和單位抽樣響應(yīng)，那么在求系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)y(n)時(shí)，可以避免卷積運(yùn)算，通過(guò)X(z)H(z)的逆變換求出y(n)，在很多情況下，這樣會(huì)更方便些。例2.3.3

已知

，

求

。解

、的z變換分別為則依據(jù)時(shí)域卷積定理，得，

上式中的極點(diǎn)與的零點(diǎn)相消，的收斂域擴(kuò)大為

，所以11.序列相乘(z域卷積定理)若

；

，

，則的z變換為

,

(2.3.16)其中,c是在啞元變量v平面上，

、

公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針?lè)忾]圍線。例2.3.4

已知

，求

。

解：

的收斂域?yàn)?，?/p>

的收斂域?yàn)?/p>

，即，則重疊部分為；因此圍線c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)

，用留數(shù)計(jì)算可得

12.帕塞瓦爾(parseval)定理若

且

，則

(2.3.17)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線c位于

與

收斂域的重疊部分內(nèi)（證明從略）。說(shuō)明

：這表明序列的能量可用頻譜求得。這就是帕塞瓦爾公式（定理）。2.4z變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系z(mì)變換與拉普拉斯變換、傅里葉變換之間有著密切的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。本節(jié)詳細(xì)分析三者之間的關(guān)系。2.4.1z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系1.序列z變換與理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系設(shè)

為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，為其理想抽樣信號(hào)，則

的拉普拉斯變換為

(2.4.1)而序列

的z變換為

考慮

，則

時(shí)，序列的z變換就等于理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換。即

二者的關(guān)系，實(shí)際上就是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射，其映射關(guān)系為，

現(xiàn)在進(jìn)一步討論這一映射關(guān)系。將s用直角坐標(biāo)形式表示為而z用極坐標(biāo)形式表示為綜合考慮以上三式，得即

由此可見(jiàn)，z的模

僅對(duì)應(yīng)于s的實(shí)部

，而z的相角

僅對(duì)應(yīng)于s虛部的。下面具體分析s平面與z平面的映射關(guān)系。

（1）與

的映射關(guān)系其映射關(guān)系如圖所示。圖2.4.1與

的映射關(guān)系（2)與

的映射關(guān)系依據(jù)知：由增加到，對(duì)應(yīng)于由增加到，即s平面為的一個(gè)水平條帶對(duì)應(yīng)于z平面輻角由到轉(zhuǎn)了一周，也就是覆蓋了整個(gè)z平面。

實(shí)際上，

每增加一個(gè)

，則

相應(yīng)地增加一個(gè)

，也就是說(shuō)，s平面平面上寬度為

的各個(gè)水平條帶都映射為同一個(gè)z平面，如圖2.4.2所示。圖

2.4.2與

的映射關(guān)系2.序列z變換與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系熟悉了s平面和z平面的映射關(guān)系，就可以通過(guò)理想抽樣所提供的橋梁，找到序列x(n)的z變換X(z)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)

的拉普拉斯變換

之間的關(guān)系。是

的周期延拓，即

與

的關(guān)系為

2.4.2z變換和傅里葉變換的關(guān)系我們知道，傅里葉變換可以看作是拉普拉斯變換在虛軸

的特例,因而映射到z平面上為單位圓

，即

這就是說(shuō)，序列在單位圓上的z變換,就等于理想抽樣信號(hào)的傅里葉變換。由第1章內(nèi)容知道，連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓，即這就是

與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系。若用數(shù)字頻率

作為z平面的單位圓的參數(shù)，

表示z平面的輻角，且，即

上式中，

表示序列的傅里葉變換，在2.5節(jié)中將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)介紹。所以，序列在單位圓上的z變換等于序列的傅里葉變換。2.5序列傅里葉變換的定義及性質(zhì)序列的傅里葉變換是分析離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)最重要的工具之一，它給出了序列頻譜的概念，使在頻域?qū)﹄x散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的分析成為可能。序列的傅里葉變換是以

基函數(shù)對(duì)序列

進(jìn)行正交展開的。2.5.1非周期序列傅里葉變換的定義1.序列的傅里葉正變換非周期序列

的傅里葉正變換定義為

序列的傅里葉變換也稱為離散時(shí)間傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform,縮寫為DTFT）?？梢?jiàn)，

是

的冪級(jí)數(shù)，收斂的條件是

即，若序列

是絕對(duì)可和的，則它的傅里葉變換

一定存在且連續(xù)。是序列傅里葉變換存在的充分條件，而非必要條件。有些序列，并不是絕對(duì)可和的，但也其傅里葉變化仍然存在。例如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來(lái)。

是的連續(xù)函數(shù)，一般為復(fù)數(shù)，可表示為其中

、

分別為

的實(shí)部和虛部，

稱為幅度譜或幅頻特性，

稱為相位譜，并且有由于可以在

的相位譜上加任意整數(shù)倍的

，而不影響

的結(jié)果，因此，我們可以通過(guò)這種方法，將

限制在

之間，即主值區(qū)間。此外，由于，M為整數(shù)，則有可見(jiàn)，

還是

的周期函數(shù)，周期為。2．序列的傅里葉反變換序列在單位圓上的z變換就等于序列的傅里葉變換，則根據(jù)z反變換的定義，并將積分圍線取在單位圓上可得到序列傅里葉反變換的公式為

現(xiàn)將非周期序列的傅里葉變換重新歸納為正變換

反變換收斂的充分條件為例2.5.1

設(shè)

，求

的傅里葉變換。解依據(jù)傅里葉變換定義式，有

即

的幅度譜為

，相位譜為

。設(shè)，則

以及幅度與相位隨

變換曲線如圖2.5.1所示。圖2.5.1以及其幅度譜與相位譜曲線*有些序列雖然不滿足以上條件，但滿足平方可和，其傅立葉變換依然存在。見(jiàn)例2-2-2*對(duì)于一些既不滿足絕對(duì)可和的條件也不滿足平方可和條件的序列，例如u(n),,一些周期序列等，若引入頻域的沖擊函數(shù)，它們的傅立葉變換也存在。見(jiàn)例2-2-3。

例2-2-2已知序列的傅立葉變換如下，求它的反變換。解：*上式給出的序列不是絕對(duì)可和的，而是平方可和的上式的求和利用了后面要介紹的傅立葉變換的帕思瓦定理(Parseval)。計(jì)算的傅立葉反變換，利用沖擊函數(shù)的性質(zhì)，有例2-2-3證明復(fù)指數(shù)序列的傅立葉變換為證明：當(dāng)=0時(shí)，=1，由此得到常數(shù)1的傅里葉變換為例2-2-4求余弦序列的傅立葉變換解：利用上式的結(jié)果得*可見(jiàn)的傅立葉變換表現(xiàn)為在處的沖擊，強(qiáng)度為π，它還以2π為周期進(jìn)行周期延拓。2.5.2序列傅里葉變換的性質(zhì)與定理1.周期性前述內(nèi)容已提到，

的周期性是指，M為整數(shù),其周期是

，且能展開成傅里葉級(jí)數(shù)。對(duì)離散時(shí)間信號(hào)（序列）的傅里葉變換，它同樣表示了信號(hào)在頻域的分布規(guī)律。但與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換不同的是，由于序列的傅里葉變換的周期性，所以在各頻率點(diǎn)

(M取整數(shù))附近的頻譜分布應(yīng)是相同的。在

點(diǎn)處表示

信號(hào)的直流分量，距離這些點(diǎn)越遠(yuǎn)，頻率應(yīng)愈高，在

點(diǎn)處

頻率達(dá)到最高。需要說(shuō)明的是，所謂

的直流分量，是指如圖2.5.2(a)所示的波形。例如，

，當(dāng)

（M取整數(shù)）時(shí)，的序列值如圖2.5.2(a)所示，它代表其直流分量；當(dāng)

時(shí)，波形如圖2.5.2(b)所示，它代表最高頻率信號(hào)，是一種變化最快的信號(hào)。由于序列傅里葉變換的周期性，一般只分析之間或之間的DTFT，本書中在[0，2π]區(qū)間進(jìn)行分析。圖2.5.2的波形2.線性性質(zhì)

滿足均勻性與疊加性，即若

則有

式中

a，b為常數(shù)。3.時(shí)移與頻移性質(zhì)若

，則時(shí)移性質(zhì)是指

頻移性質(zhì)是4.時(shí)間反轉(zhuǎn)性質(zhì)若

則有

5.頻域微分性質(zhì)若

則有6.共軛性質(zhì)若

則有7.對(duì)稱性質(zhì)一個(gè)共軛對(duì)稱序列

定義為滿足下式的序列：

其中“*”表示復(fù)數(shù)共軛。若

是實(shí)序列，則上式變?yōu)?，即為偶?duì)稱序列。類似地，一個(gè)共軛反對(duì)稱序列

定義為滿足下式的序列：

若所給的序列是實(shí)序列，則上式為

，即

為奇對(duì)稱序列。例

2.5.2

試分析

的對(duì)稱性。解

將

的

用

代替，再取共軛得到則有所以是共軛對(duì)稱序列。

任一序列

都可以表示成一個(gè)共軛對(duì)稱序列與一個(gè)共軛反對(duì)稱序列之和，即

式中

類似的，

的傅里葉變換函數(shù)

也可以分解成一個(gè)共軛對(duì)稱函數(shù)與一個(gè)共軛反對(duì)稱函數(shù)之和，即

式中

與

分別稱為共軛對(duì)稱函數(shù)和共軛反對(duì)稱函數(shù)，它們滿足由上面的分析可以得到下面一些對(duì)稱性質(zhì)，這些性質(zhì)可以直接由z變換性質(zhì)中代入

而得到證明，亦可由序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)得到。對(duì)稱性質(zhì)1：序列實(shí)部的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛對(duì)稱分量，即

對(duì)稱性質(zhì)2：序列虛部乘j后的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛反對(duì)稱分量，即

對(duì)稱性質(zhì)3：序列的共軛對(duì)稱分量的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的實(shí)部，即

對(duì)稱性質(zhì)4：序列的共軛反對(duì)稱分量的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的虛部與j的乘積，即

對(duì)稱性質(zhì)5：當(dāng)

是實(shí)序列時(shí)，其傅里葉變換

滿足共軛對(duì)稱性，即

若將

表示成直角坐標(biāo)形式，則由對(duì)稱性質(zhì)5得

，

即

的實(shí)部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)。同樣，若把

極坐標(biāo)的形式，則推出

的幅度為偶函數(shù)，相位為奇函數(shù)。

7.時(shí)域卷積定理若

則證明

因?yàn)?/p>

所以

令

，則有

該定理說(shuō)明，兩序列卷積的序列傅里葉變換服從乘積的關(guān)系。對(duì)于線性移不變系統(tǒng)，輸出序列的傅里葉變換等于輸入序列的傅里葉變換乘以單位脈沖響應(yīng)的傅里葉變換。8.頻域卷積定理若

則

證明交換積分與求和的次序，得到

該定理表明，在時(shí)域相乘的兩序列，轉(zhuǎn)換到頻域服從周期卷積關(guān)系。9.帕塞瓦爾（Parseval）定理若

則有

證明帕斯瓦爾定理告訴我們，信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。要說(shuō)明的是，這里頻域總能量是指

在一個(gè)周期內(nèi)積分再乘以

。2.6利用z變換求解差分方程在第1章中提到，描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程可通過(guò)z變換轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程求解。由于一般的激勵(lì)及響應(yīng)都是有始序列，所以下面只討論單邊z變換求解差分方程的問(wèn)題。對(duì)于線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)，在零輸入條件下，即激勵(lì)

時(shí)，其差分方程為，考慮響應(yīng)為

時(shí)的值，則初始條件為

。兩邊取單邊z變換，并根據(jù)z變換的位移性質(zhì)，可得

，1.零輸入響應(yīng)的z域求解故

，響應(yīng)的序列可由z反變換求得

由上式可知，對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解，可先將系統(tǒng)的齊次方程進(jìn)行z變換，代入初始條件，再將其展開為部分分式，最后進(jìn)行z反變換，即得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。例

2.6.1

若已知描述某離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為初始條件為

，求解零輸入響應(yīng)。解由于零輸入時(shí)，

，有

若記

，則對(duì)上式兩邊取單邊z變換，有

可得

因故零輸入響應(yīng)為

N階線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為

在零狀態(tài)條件下，即時(shí)，對(duì)等式兩邊取單邊z變換可得

故零狀態(tài)響應(yīng)為2.零狀態(tài)響應(yīng)的z域求解由上式可知，求解離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可先對(duì)系統(tǒng)的非齊次差分方程兩邊進(jìn)行z變換，再將其展開為部分分式，最后進(jìn)行z反變換，即得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。例

2.6.2

若已知且求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

。解

則有故所求零狀態(tài)響應(yīng)為對(duì)于線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)，若激勵(lì)和初始狀態(tài)均不為零，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)稱之為全響應(yīng)。根據(jù)線性移不變特性，全響應(yīng)可按下式計(jì)算：和

的求解方法如前所述。3.全響應(yīng)的z域求解也可以直接由時(shí)域差分方程求z變換而進(jìn)行計(jì)算，即在激勵(lì)為

，初始條件

不全為零時(shí)，對(duì)方程式進(jìn)行單邊z變換，有

由此可解得全響應(yīng)的z變換

，從而求得全響應(yīng)。例

2.6.3

已知且求全響應(yīng)

。解

設(shè)對(duì)差分方程兩邊取單邊z變換，有則

即

所以系統(tǒng)全響應(yīng)為

結(jié)果與例2.6.1與例2.6.2結(jié)果之和相同。

例2-3-2已知系統(tǒng)的輸入輸出滿足以下差分方程，求輸入信號(hào)x(n)=u(n)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)。初始條件y(-1)=1數(shù)字信號(hào)處理第2章

?20042.7離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)

本節(jié)將以系統(tǒng)函數(shù)和傳輸函數(shù)為核心來(lái)研究系統(tǒng)的變換域分析方法，它們分別是h(n)的Z變換和傅立葉變換。

2.7.1系統(tǒng)函數(shù)的定義

則已知系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為

，那么線性時(shí)不變系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的輸入輸出關(guān)系為稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，即系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)輸出序列變換與輸入序列變換之比。

兩邊取變換得是單位脈沖響應(yīng)的變換，即

系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的變換，即單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換

即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程的一般形式為對(duì)上式兩邊直接取單邊變換，可得僅由系統(tǒng)參數(shù)決定所以，系統(tǒng)函數(shù)與差分方程有直接的關(guān)系，知道其中一個(gè)，就可以直接求得另一個(gè)。表示因式分解的形式，即

除了比例常數(shù)K以外，整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)完全由其全部零、極點(diǎn)來(lái)確定。

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性反映了系統(tǒng)在正弦函數(shù)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率變化的情況。同樣，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，也有必要研究系統(tǒng)在正弦序列或復(fù)指數(shù)序列激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率變化的關(guān)系，即離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性及其意義。若輸入序列是頻率為的復(fù)指數(shù)序列，即系統(tǒng)的輸出為

若定義則

由此可見(jiàn)，輸出也是與輸入同頻率的復(fù)指數(shù)序列，但幅度和相位受到的調(diào)制。