多邊形內角和外角和

關于多邊形內角和外角和第一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日92o60o1

155°60°21245°35°32°求下列圖中各標出角的度數(shù)。復習回顧∠1=32°∠1=115°∠2=65°∠1=80°∠2=112°第二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日11.3.1多邊形第三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日圖中有你認識的多邊形嗎？第四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日從這些圖形你能抽象出什么平面圖形？第五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日三角形

長方形

六邊形

四邊形

八邊形在平面內，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。多邊形的定義你能仿照三角形的定義給出多邊形的定義嗎？第六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日你能類比三角形的組成要素，說一說下面圖形各部分的名稱是什么？

邊內角頂點外角對角線第七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日了解一下頂點內角邊可表示為：五邊形ABCDE或五邊形DCBAEABCDE外角第八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日對角線對角線對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段。ABCDE讀出圖中所有的對角線第九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日練習：畫出五邊形ABCDE的所有對角線.ABCED

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.第十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日你能寫出每個圖形中對角線的總條數(shù)嗎？如果不行，請畫出所有對角線。0259

太難畫了，能不全畫出對角線而計算出來嗎？你能告訴我二十邊形的對角線條數(shù)嗎？五十邊形呢？一百邊形呢？n邊形呢？20第十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日從四邊形的一個頂點出發(fā),可以引

條對角線,它將四邊形分成

個三角形從五邊形的一個頂點出發(fā),可以引

條對角線,它將五邊形分成

個三角形.從六邊形的一個頂點出發(fā),可以引

條對角線,它將六邊形分成

個三角形.問題探究一兩兩三三四從n邊形的一個頂點出發(fā),可以引

條對角線,它將n邊形分成

個三角形.n-3n-21.2.3.…第十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日歸納總結邊數(shù)34568…n從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)上述對角線分成的三角形個數(shù)…總的對角線條數(shù)…0101222353495620n-3n-2n(n-3)2…已知一個多邊形有35條對角線，你能求出它的邊數(shù)嗎？第十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日

n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)為：條(n≥3)n邊形共有對角線條(n≥3)總結2(n－3)第十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日（1）（2）ABCDEFGH你能說出這兩幅圖形的異同點嗎？探究3第十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日多邊形的分類如圖，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在直線，整個四邊形都在這條直線的同一側，這樣的四邊形叫做凸四邊形。ABCD第十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日ABDC四邊形ABCD是凹四邊形，因為畫出邊CD（或BC）所在直線，整個四邊形不都在這條直線的同一側。第十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日問題5：觀察正三角形、正方形的特征，猜想滿足什么條件的多邊形是正多邊形？定義：如果多邊形的各邊都相等，各內角也都相等，那么就稱它為正多邊形.第十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日正多邊形各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的各個角都相等，各條邊都相等。例如：正三角形正方形正五邊形正六邊形第十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日試一試

你會利用三角形的內角和計算四邊形ABCD的內角和嗎？請你與同學們交流你的證明思路.DCBA

連接對角線把四邊形轉化為三角形。第二十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日ABCD

四邊形ABCD的內角和＝△ABC的內角和﹢△ACD的內角和=180°+180°=360°

已知：四邊形ABCD，試說明：∠A+∠B+∠C+∠D=360°分析:

觀察上圖：可以看出四邊形從一個頂點出發(fā)，可以做_____對角線，它們將四邊形分成_____個三角形，所以四邊形的內角和為_____。1思考:2360°第二十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日ABCDEF同理：從五邊形從一個頂點出發(fā)，可以做_____對角線，它們將四邊形分成_____個三角形，所以四邊形的內角和為_____。2

3

同理：從六邊形從一個頂點出發(fā)，可以做_____對角線，它們將四邊形分成_____個三角形，所以四邊形的內角和為_____。3

4

第二十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日多邊形邊數(shù)一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)圖形分成三角形的個數(shù)計算規(guī)律三角形四邊形五邊形六邊形七邊形n邊形………………34567n0n-3123412345n-2(n－2)·180°5×180°4×180°3×180°2×180°1×180°第二十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日探究四邊形內角和還有哪些方法？DCBADCBAODCBAODCBAO●●●4×180°-360°

=360°3×180°-180°=360°4×180°-360°=360°3×180°-180°=360°

共同點：找一個點，將四邊形轉化為三角形。DCBAo第二十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日n邊形內角和公式的應用B

ACDGFEn邊形內角和=(n－2)·180°第二十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日1.求下列圖形中x的值：∟(1)∟(2)(3)CABDE(4)AB∥CD做一做

第二十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日（1）十二邊形的內角和是多少？解：（12-2）×180°=10×180°=1800°答：十二邊形的內角和為1800°練一練第二十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日(2)一個多邊形的內角和為2700°，求它的邊數(shù)。解：設這是一個n邊形，根據(jù)題意得：（n-2）·180°=2700°

解得：n=17答：它的邊數(shù)為17.第二十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日從多邊形的一個頂點A點出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各點之后回到點A.最后再轉回出發(fā)時的方向。在行程中所轉的各個角的和是多少？多邊形的外角和第二十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日

例1

如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．五邊形的外角和等于多少？1.任意一個外角和他相鄰的內角有什么關系？2.五個外角加上他們分別相鄰的五個內角和是多少？3.這五個平角和與五邊形的內角和、外角和有什么關系？

6EBCD1

2

3

4

5

A第三十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日

例2

如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．五邊形的外角和等于多少？5邊形外角和

結論：五邊形的外角和等于360°-(5-2)×180°=360°

6EBCD1

2

3

4

5

A=5個平角-5邊形內角和=5×180°第三十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日探究在n邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和=結論：n邊形的外角和等于360°-(n-2)×180°=360°

A1EBCD

2

3

4

5F

nn個平角-n邊形內角和=n×180

°第三十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日回想正多邊形的性質，你知道正多邊形的每個內角是多少度嗎？每個外角呢？每個內角的度數(shù)是每個外角的度數(shù)是第三十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日練一練練習1：正五邊形的每一個外角等于____，每一個內角等于_____。5X=360°X=72°72°108°解：設正五邊形的每一個外角度數(shù)為x，由多邊形的外角和等于360度可得：所以每一個內角度數(shù)為108°第三十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日已知一個多邊形，它的內角和等于外角和的2倍，求這個多邊形的邊數(shù)。

解：設多邊形的邊數(shù)為n∵它的內角和等于(n-2)?180°，多邊形外角和等于360o，∴(n-2)?180°=2×360o。解得:n=6

∴這個多邊形的邊數(shù)為6。第三十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日1．下列不是凸多邊形的是（）ABCD2.下列圖形中∠1是外角的是（）

ABCD3．下列說法正確的是（）A．一個多邊形外角的個數(shù)與邊數(shù)相同B.一個多邊形外角的個數(shù)是邊數(shù)的2倍C．每個角都相等的多邊形是正多邊形D．每條邊都相等的多邊形是正多邊形一試身手

C

１１１１

DB第三十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日闖關一：基礎過關1、快速搶答，熟悉公式(1)、8邊形的內角和是

。（10分）(2)、一個多邊形的內角和是1440°它是

邊形。（10分）(3)、正五邊形的每一個外角等于___.每一個內角等于_____（10分）(4)、如果一個多邊形的每一個外角等于30°,則這個多邊形的邊數(shù)是_____（10分）1080°101272°108°第三十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日闖關二：能力提升2、在四邊形ABCD中，∠A=120度，∠B：∠C：∠D=3：4：5，求∠B=

，∠C=

，∠D=

。（20分）3、如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角的關系是

。（20分）60°100°80°互補4、正n邊形的每一個外角等于___.每一個內角等于

,5、一個多邊形的各內角都等于120°，它是

邊形。（20分）360°n(n-2)×180°n6第三十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期日闖關三：綜合應用

4、一個多邊形當邊數(shù)增加1時，它的內角和增加

度

（30分）180解：設多邊形的邊數(shù)為n，因為它的內角和等于(n-2)?180°,當邊數(shù)增加1時，內角和為(n+1-2)?180°，(n+1-2)?180°-(n-2)?180°