垂直平分線的判定

關(guān)于垂直平分線的判定第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日線段的垂直平分線我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到:線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎?回顧思考已知:如圖,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點.求證:PA=PB.ACBPMN分析:(1)要證明PA=PB,而△APC≌△BPC的條件由已知故結(jié)論可證.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.AC=BC,MN⊥AB,可推知其能滿足公理（SAS）.就需要證明PA,PB所在的△APC≌△BPC，第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日幾何的三種語言定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等.老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.開啟智慧ACBPMN如圖,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(已知),∴PA=PB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等).第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日進步的標志′思考分析你能寫出“定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等”的逆命題嗎?逆命題到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.它是真命題嗎?ABP如果是.請你證明它.已知:如圖,PA=PB.求證:點P在AB的垂直平分線上.分析:要證明點P在線段AB的垂直平分線上,可以先作出過點P的AB的垂線(或AB的中點,),然后證明另一個結(jié)論正確.想一想:若作出∠P的角平分線,結(jié)論是否也可以得證?第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日證法一：取AB的中點C，連接P,C∵△APC與△BPC中∵AP=BPPC=PCAC=CB∴△APC≌△BPC(SSS)BPA已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PA=PB．求證：P點在AB的垂直平分線上．一題多解C∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=∠90°即PC⊥AB∴P點在AB的垂直平分線上第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日證明：過P點做PM⊥AB于M∵PM⊥AB∴∠PMA=∠PMB=90°

在RtΔPAC和RtΔPBC中，

AP=BPPM=PM∴RtΔPAC≌RtΔPBC(HL)∴MA=MB(全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴P點在線段AB的垂直平分線上ABPM證法二：第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日駛向勝利的彼岸逆定理

我能行1逆定理到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.ACBPMN如圖,∵PA=PB(已知),∴點P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上).老師提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一.從這個結(jié)果出發(fā),你還能聯(lián)想到什么?第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日回味無窮線段垂直平分線性質(zhì)定理

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等.符號語言,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(已知),∴PA=PB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等).線段垂直平分線判定定理到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.符號語言,∵PA=PB(已知),∴點P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上).小結(jié)拓展ACBPMN第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日判斷（1）如圖，CDAB于D，則AC＝BC。（）ABCDABCD練習一第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日ABCD（2）如圖，AD＝BD，則AC＝BC。（）第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日1.已知線段AB（1）若CA=CB，問：過C點的直線是不是線段AB的垂直平分線？若不是，請找出反例.（2）若CA=CB，DA=DB，問過C和D兩點的直線是不是線段AB的垂直平分線？為什么？練習二第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日（2）過C和D兩點的直線是線段AB的垂直平分線。因為點C、點D到線段AB的兩端點距離相等，它們一定都在線段AB的垂直平分線上，由“兩點確定一條直線”可知過C和D兩點的直線必是線段AB的垂直平分線答：（1）過C點的直線不一定是線段AB的垂直平分線，反例：如圖，CA=CB，但直線CD不是線段AB的垂直平分線.第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

2.如圖，AB=AC,MB=MC上,求證：直線AM是線段BC的垂直平分線上．BACM第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日1．如圖，在△ABC上，已知點D在BC上，且BD＋AD＝BC．求證：點D在AC的垂直平分線上．證明：∵BD＋AD＝BC∴AD=BC-BD=CD∴點D在AC的垂直平分線上(到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上)練習三第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2．如圖，已知AE＝CE，BD⊥AC．求證：AB＋CD＝AD＋BC．證明：∵AE＝CE，BD⊥AC∴BA=BCDA=DC(線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等)∴BA+DA=BC+DC

第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日3：如圖，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求△BCD的周長。DCBEA解：

∴BD=AD=AD+DC+BC=AC+BC=12+7=19∵ED是線段AB的垂直平分線∴△BCD的周長=BD+DC+BC127所以△BCD的周長為19。

變式：如圖，若AC=12，△BCD的周長=25，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，求BC。第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日4.在△ABC中,DE為BC的垂直平分線,DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點E,EF⊥AB于F點,EG⊥AC于G點求證:BF=CG第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日1．如圖，已知點A、點B以及直線l，在直線l上求作一點P，使PA＝PB．提示：連結(jié)AB,作AB的垂直平分線，交直線l于P,點P就是所求的點。練習四第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.如圖,已知:AOB,點M、N.求作:一點P,使點P到AOB兩邊的距離相等,并且滿足PM=PN...MNAOB.P點P為所求作的點第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日1、已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.(1)求證：PA=PB=PC;（2）點P是否在AC的垂直平分線BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC點P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上分析：練習五結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等。第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日·2.東城新區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等。ABC生活中的數(shù)學第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日回味無窮定理

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等.如圖,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(已知),∴PA=PB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等).逆定理到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.如圖,∵PA=PB(已知),∴點P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上).小結(jié)拓展ACBPMN第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

如圖,AB是△ABC的一條邊，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC于點D，已知AB=8cm,BD=5cm,那么EA=________,DA=____.DE=_______ABEDC（1）4cm5cm練習3cm第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分線DE交AB于D點,則CD=____

4cm

2、在△ABC,PM,QN分別垂直平分AB,AC，則:(1)若BC=10cm則△APQ的周長=_____cm;(2)若∠BAC=100°則∠PAQ=______.10200第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則∠B=______.

700或200第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

如圖，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分線交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周長是_______cm.ABCDE(2)26練習第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日如圖，已知點D在AB的垂直平分線上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周長是（）cm。∟ADEBCMNA.6B.7C.8D.99練習第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日習題1.4

獨立作業(yè)3駛向勝利的彼岸3.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,△BCE的周長等于50,求BC的長.老師期望:做完題目后,一定要“悟”到點東西,納入到自己的認知結(jié)構(gòu)中去.BAEDC第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日拓展：1.如圖所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分線，且有BC=21，求△BCN的周長。第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日例題：如下圖△ABC中，AC=16cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長為26cm，求BC的長。AEDBC第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分線，連接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度數(shù)。AEDBC練習：第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日如圖，△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點P。（1）求證：PA=PB=PC。（2）點P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？APCB第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC;證明：∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB（）.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.BACMNM’N’P練習第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

已知:如圖,在ΔABC中,AB、BC的中垂線交于點O，那么點O在AC的中垂線上嗎？為什么？BACMNEFO·開啟智慧這點O是三角形的

心，它到三角形三個頂點的距離相等外第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日例題：有A、B、C三個村莊，現(xiàn)準備要建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置。ABC第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日你能找到圖中相等的角嗎?

如圖，在△ABC中，∠C=90，AB的中垂線DE交BC于D，交AB于E，連接AD，若AD平分∠BAC，找出圖中相等的線段，并說說你的理由。解：∵AB的中垂線DE交BC于D，交AB于E，∴EB=EA

，DB=DA

；∵AD平分∠BAC

，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE

∴AC=AE∴∠DAB=∠ABC=∠DAC，練習第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

高速公路AB

在某高速公路L的同側(cè)，有兩個工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？你的方案是什么?生活中的數(shù)學L第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日基本作圖：作線段的垂直平分線。已知：線段AB，求作：線段AB的垂直平分線。ABCD作法：（2）作直線CD。

CD即為所求。(1)分別以點A、B為圓心，以大于——AB的長為半徑作弧，兩弧交于C、D兩點；12結(jié)論：對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點，作出對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸。第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日夢想成真

試一試P2721.已知直線和上一點P,利用尺規(guī)作的垂線,使它經(jīng)過點P.P●l第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日例：如圖所示，AD為△ABC的高，

∠B＝2∠C，借助于軸對稱的性質(zhì)想一想：

CD與AB＋BD相等嗎？請說明你的理由。第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日答：相等，理由如下：在DC上截取DE使DE＝DB，連接AE∵AD⊥BE且DB＝DE∴B、E關(guān)于AD對稱∴△ABD與△AED關(guān)于直線AD對稱∴△ABD≌△AED∴AB＝AE，∠AED＝∠B又∵∠B＝2∠C∴∠AED＝2∠C而∠AED＝∠C＋∠CAE∴∠CAE＝∠C∴AE＝CE∴AB＝CE故AB＋BD＝DE＋EC即：AB＋BD＝CD第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日二、判定：到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

線段的垂直平分線一、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等三、

線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線可以看作是到線段兩上端點距離相等的所有點的集合任何圖形都是有點組成的。因此我們可以把圖形看成點的集合。由上述定理和判定，線段的垂直平分線可以看作符合什么條件的點組成的圖形？問第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日角的平分線ODEABPC定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理2到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

線段的垂直平分線定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

線段的垂直平分線可以看作是和線段兩上端點距離相等的所有點的集合ABMNP點的集合是一條射線點的集合是一條直線第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日線段垂直平分線的判定