相似三角形總復習模型總結

第一部分知點1.．似形含

三角形相總復習相似三角知識要點大把形狀相同的圖形叫做相似圖形對應角相等、對應邊的比也相等的圖形〕解〕個圖形相似，其中一圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到．〔2全等形可以看成是一種特的相似，即不僅形狀相同，大小也相同．〔3判斷兩個圖形是否相似，是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關．例1．放大鏡中的正方形與原正形具有怎樣的關系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變．解：是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同．例2．以下各組圖形：①兩個平四邊形；②兩個圓；③兩個矩形；④有一個內8的個等腰三角形；⑤兩個正五邊形；⑥有一個內角是100°的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的填序號)．解析：根據相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形多形為100°等腰三角形的形狀不唯一都似案：②⑤⑥．知點．例線對于四條線段a,b,c,d如其兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等a:b=c:d〕那么這四條線段叫做比例線段，簡稱比例線段．

acbd

〔或解〕條線段a,b,c,d成例，記作有順序性．

acbd

〔或a:b=c:d能成其他式，即比例線段〔2在比例式

acbd

〔或a:b=c:d〕中，比例的項為a,b,c,d，其中a,d為例外項b,c為例內項d是第四比例項．〔3如果比例內項是相同的線，即

abc

或a:b=b:c，那么線段b叫做段和的比例中項。(4)通常四條線段a,b,c,d的位應一致，但有時為了計算方便a和b統(tǒng)為一個單位c和d統(tǒng)為另一個單位也可以，因為整體表示兩個比相等．例3．已知線段a=2cm,b=6mm,．分析：求

即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比．例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=

dm，c的度．分析：由a,b,c,d成例，寫出比例式a:b=c:d再把所給各線段a,b,,d統(tǒng)單位后代入求c．知點．似多形性相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．解〕確理解相似多邊形的義，明確“對應”關系．〔2明確相似多邊形的“對應來自于書寫，且要明確相似比具有順序性．例5．假設四邊形ABCD的四邊分別是4，8，與四邊形相的四邊形ABC的最邊長為30，則四邊形CD的小長是多少？1

分析：四邊形ABCD與邊形ABCD相，且它們的相似比為對應的最大邊長的比，即為，根據相似多邊形對應邊成比例的性質，利用方程思想求出最小邊的長．知點．似三形概對應角相等，對應邊之比相等的三角形叫做相似三角形．解〕似三角形是相似多邊中的一種；〔2應結合相似多邊形的性質理解相似三角形；〔3相似三角形應滿足形狀一，但大小可以不同；〔4相似用“∽”表示，讀作相似于〔5相似三角形的對應邊之比做相似比．注：①似比是有順序的，比方ABC∽eq\o\ac(△,1)C，似比為k,假ABCeq\o\ac(△,，)則相似比為。②假設兩個三角形的相似比為，這兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。假設兩個三角形全等兩個三角形相似；假

設兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等．例6．如圖，已知△∽△ABC，DE=2，BC=4則和的相似比是多少？點D，E分別是，AC的點嗎？

D

C注：解決此類問題應注意兩方面相似比的順序性〕形的識別．解：因為△ADE∽eq\o\ac(△,，)ABC所以

DE，因為BCABAC42

，所以

1

，所以D分是AB，AC的點．知點．似三的定法（1定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似；（2平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或其他兩邊的延長線〕所構成的三角形與原三角相似．（3如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相．（4如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩三角形相似．（5如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形似．（6直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似．例7．如圖，點D在△ABC的邊AB上滿足怎樣的條件時ACD與ABC相似試分別加以列舉分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知ACD與ABC已公共角∠A，要此兩個三角形相似，可根據相似三角形的判別方法尋找一個條件即可．解：當滿足以下三個條件之一時，ACD△ABC條件一：

∠1=∠B；條件二：∠2=∠ACB；件三AC=AD·AB知點．似三形性（1對應角相等，對應邊的比相等；（2對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比；（3相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方．例8．如圖，已知ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，EC=7（1求DE、AE的長；2

（2你還能發(fā)現哪些線段成比例．AEDBC分析：此題重點考查由兩個三角形相似，可得到對應邊成例，即．

ADAEABAC例9已△ABC∽BC

，A1

△ABC的長為20cm，積為40cm．求〔1〕eq\o\ac(△,1)的長〕eq\o\ac(△,1)BC的面．分析：根據相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解．易求出eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的周為30cm;△A的積90cm第二部分

相似三角模型分析大一、相三角形判定基本模認識〔一〕A字、反A字〔斜A字〕AADD

EB

C

〔平行〕

BC

〔不平行〕〔二〕型、反字型AABOCD

C

D〔蝴蝶型〕〔平行〕〔平行〕3

〔三〕母子型AADB

C〔四〕一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等邊三角形為背景〔五〕一線三直角型：4

（六）雙垂型：ADC二、相三角形判定變化模旋轉型：由字型旋轉得到

字型拓展A

E

FGD

共享性

B一線三等角的變形5

一線三直角的變形第三部分

相似三角典型例題講母子型似三角形例1如圖，梯形中ADBC對角線、交點，∥延線于E．求證：

OA

．例2已知：如圖，△ABC中點在線AD,

ABC

．求證〕

DE

；〔〕

DCEDAC

．

BDEA

C6

例3已知：如圖，等腰△中，AB＝AC，ADBC于DCGBG別交AD、于、F求證：

2

．相練：、如圖，已知AD為△ABC的平分線為垂直平分線．求證：

FD

2

FB

．2、已知：AD是eq\o\ac(△,Rt)ABC中A的分線，∠C=90°，EFAD的直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點N。求證：eq\o\ac(△,∽)△NMD;

(2)ND=NC·NB7

3、已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于，EAC上點CF⊥BE于F。求證：EB·DF=AE·DB5．已：如圖，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠C=90°，=2，是邊AB的一個動點PD⊥，邊AC于點〔點D與C不重合是射上一點且EPD=∠設AP兩點距離為，△BEP的積為．

B〔1〕求證：=2；〔2〕求于的數解析式，并寫出它的定義域；

P〔3〕當△BEP與ABC相似時，的面積

A

DE

C〔第25題圖〕8

雙垂型1如圖，在中，∠A=60°，BD、CE分是AC、AB上的高求證〕eq\o\ac(△,∽)ABDeq\o\ac(△,；)〔2〕ADE△ABC；(3)BC=2ED

、如圖，已知銳角AD、CE分是BC上的高，ABC和的面積分別是27和3，DE=6，：點B到線AC距離。AEBDC9

共享型似三角形1△ABC等邊三角,D、B、C在條直線,∠DAE=長A

，已知BD=1，CE=3，,求等邊三形的邊D

BCE2、已知：如圖，在eq\o\ac(△,)中，ABAC，∠=45°．求證eq\o\ac(△,)ABEeq\o\ac(△,)ACD〔2〕2．ABDE

10

．．．．一線三角型相似三形A例1如圖，等邊ABC，邊長為6，是上動點，EDF=60°〔1〕求證：BDE∽△CFD〔2〕當BD，=3時，求BEE

FB

C例2〕

中，

AB

，

BC

，點

P

、

分別在射線

、

上〔點

P

不與點

C

、點

B

重合保

APQABC

.①假設點在段上如圖6，線段CQ的；②假設，y，與之的函數關系式，寫出函數的定義域；A

AAQB

P

C

B

備用圖

C

備用圖

C（2正方形ABCD的長為〔如以下圖、Q分別在直線CB、上點P不點、B重合保

CQ時求出線段的長AD

ADADB

BC

11

例3已知在梯形

ABCD

中，

ADBC

AD，且

＝，AB＝

＝2〔1如圖8為的一點，滿足BPC＝∠A①求證；△ABP△DPC②求

的長．APDB

C〔2如果點

在

AD

邊上移動〔點

與點

、D

不重合滿∠BPE∠

，

交直線

于點

，時交直線

于點

，那么①當點在段的延線上時，設AP＝x，CQ，求關的數解析式，并寫出函數的定義域；②當

＝時，寫出

的長．ADB

CADB

C12

例4如圖，在梯形，AD∥BC，AB，．為的點，以M為點作EMF，線ME腰于，射線MF交CD于F，結EF．〔1求證：△

MEF

∽△

；〔2假設△

是以

BM

為腰的等腰三角形，求

EF

的長；〔3假設

EF

，求

的長．13

相練：、圖，在△ABC中

，

BC10

，

D

是

BC

邊上的一個動點，點

E

在

AC

邊上，且

．求證：ABD△；如果BDxAE，與x的數解析式，并寫出自變量x的義域；

當點

D

是

BC

的中點時，試說eq\o\ac(△,明)是么三角形，并說明理由．

D

C、圖，已知在中，AB=BC=5D是AB上一點是BC上動點，聯結DE，并作，射線EF交段AC于F〔1〕求證：DBEECF〔2當是線段中時，求線段BE的；〔3〕聯結DF，如果△與DBE相，求FC的．D

FE14

FBCBAxxGM、已知在梯形中ADBC＜BC且FBCBAxxGM〔1〕如圖為上的一點，且=2求證：∽△；〔2〕如果點在邊上移動〔點與點、C不重合滿∠=C交線CD于點，同時交直線于點，那么①當點F在段CD的長線上時，設BP=x，DF=定義域；

，求

關的函解析式，并寫出函數的②當

S

時，求BP的．A

D

ADE

EB

C

C〔第25題圖〕

〔備用圖〕如已邊長為的邊點在邊上點是線上動點線段

EF為邊向右側作等邊，線

交直線于

,N

，〔1〕寫出圖中與相的三角形；〔2〕證明其中一對三角形相似；〔3〕設

BEMN

，求

與之間的函數關系式，并寫出自變量的值范圍；〔4〕假設，求的積．備用圖15

一線三角型相似三形例矩形ABCD中CD=2是上的一個動點點不合作

PECP

，交邊于設

AEy

，求y關x的數關系式，并寫出x的取值范圍。A

P

DEBC例、中C90o,BCO

是上一點，且

2AB5