高斯公式-通量與散度

第六節(jié)Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件*三、通量與散度高斯公式*通量與散度

引言?！R公式：格林公式：三者共性（實質）：把內部問題轉化為邊界問題來處理.高斯公式：一、高斯公式

定理1設空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導數，則有或（1′）這里Σ是Ω的整個邊界曲面的外側，cosα、cosβ、cosγ是Σ上點(x，y，z)處的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。下面先證:證明稱為XY-型區(qū)域,則定理1設所以若不是XY–型區(qū)域,則可引進輔助面將其分割成若干個XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：定理1（2）關于Ω的邊界曲面的正向：Ω是單連通區(qū)域時取外側；Ω是復連通區(qū)域時外層取外側，內層取內側。關于高斯公式的說明:（1）如穿過Ω內部且平行于坐標軸的直線與Σ的交點多于兩個時，采用分塊的方法…（3）高斯公式成立的條件：P、Q、R在Ω上一階偏導連續(xù)。（4）Σ不閉合時，采取“補面”的方法：Σ+Σ1封閉，所圍區(qū)域Ω。及易于計算根據Gauss公式，用三重積分來計算曲面積分是比較方便的，但Gauss公式同時也說明，可用曲面積分來計算三重積分Gauss公式的實質表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.(5)由兩類曲面積分之間的關系知高斯公式的另一種形式：例1其中為柱面閉域

的整個邊界曲面的外側.解利用Gauss公式,得原式=及平面z=0,z=3所圍空間思考:若為圓柱側面(取外側),如何計算?利用質心公式,注意用Gauss公式計算這里若改為內側,結果有何變化?例2其中為錐面解取上側介于z=0及z=h之間部分的下側,,,為法向量的方向角.所圍區(qū)域為,則利用Gauss公式計算積分作輔助面利用質心公式,注意思考:提示:介于平面z=0及z=2之間部分的下側.先二后一計算曲面積分作取上側的輔助面例3設為曲面取上側,求解

作取下側的輔助面用柱坐標用極坐標拉普拉斯算子【證】利用高斯公式，即得PQR*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1.連通區(qū)域的類型設有空間區(qū)域G,若G內任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G

為空間二維單連通域;若G內任一閉曲線總可以張一片全屬于G的曲面,則稱G為例如,球面所圍區(qū)域環(huán)面所圍區(qū)域立方體中挖去一個小球所成的區(qū)域不是二維單連通區(qū)域.既是一維也是二維單連通區(qū)域;是二維但不是一維單連通區(qū)域;是一維但空間一維單連通域.2.閉曲面積分為零的充要條件定理2在空間二維單連通域G內具有連續(xù)一階偏導數,為G內任一閉曲面,則①證根據高斯公式可知②是①的充分條件.的充要條件是:②“必要性”.用反證法.已知①成立,“充分性”.因P,Q,R在G內具有連續(xù)一階偏導數,則存在鄰域則由高斯公式得與①矛盾,故假設不真.因此條件②是必要的.取外側,*三、通量與散度引例.設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1,速度場為理意義可知,設為場中任一有向曲面,單位時間通過曲面的流量為則由對坐標的曲面積分的物由兩類曲面積分的關系,流量還可表示為若為方向向外的閉曲面,

當>0時,說明流入的流體質量少于當<0時,說明流入的流體質量多于流出的,則單位時間通過的流量為當=0時,說明流入與流出的流體質量相等.流出的,表明內有泉;表明內有洞;根據高斯公式,流量也可表為方向向外的任一閉曲面

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記所圍域為,設是包含點M且為了揭示場內任意點M處的特性,在式兩邊同除以的體積V,并令以任意方式縮小至點M則有此式反應了流速場在點M的特點:其值為正,負或0,分別反映在該點有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.定義設有向量場其中P,Q,R具有連續(xù)一階偏導數,是場內的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場A通過在場中點M(x,y,z)處記作divergence顯然有向曲面的通量(流量).稱為向量場A在點M的散度.高斯公式可寫成表明該點處有正源,表明該點處有負源,表明該點處無源,散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場A處處有例如,勻速場故它是無源場.說明: