之一兩點(diǎn)間距離公式

兩點(diǎn)間距離公式的教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1、掌握兩點(diǎn)間的距離公式，熟練地運(yùn)用距離公式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題；2、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、閱讀方法；3、滲透用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的思想。教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式及其應(yīng)用。難點(diǎn)：對(duì)課本例題的深層次的思考和知識(shí)的遷移。教學(xué)過(guò)程一、 復(fù)習(xí)提問(wèn)師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有向線段的概念，我們先來(lái)復(fù)習(xí)一下。提問(wèn)1:請(qǐng)回答AB、AB、AB有什么不同？生：AB_表示以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的有向線段，是一個(gè)幾何圖形；|AB是有向線段AB的長(zhǎng)度；AB表示有向線段AB’的數(shù)量，AB與|AB|都是一個(gè)實(shí)數(shù)。 師：提問(wèn)2:設(shè)AB在x軸上或與x軸平行時(shí)，有向線段AB的數(shù)量、長(zhǎng)度公式如何用A,B點(diǎn)在x軸上的坐標(biāo)x,x表示呢？12生：ABxXg/AB] |xxl°師：提問(wèn)3：沙爾公式的內(nèi)容是什么？生：設(shè)軸上點(diǎn)A,A,A,,A的坐標(biāo)分別x,x,x,,x為那么有123n123nAAAA AAAA,或AAAA AAAA0。1223n1n1n1223n1nn1二、新課導(dǎo)入師：如果AB與y軸平行或在y軸上，有向線段AB的數(shù)量與長(zhǎng)度如何求？

生：設(shè)A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y,y,則AByy,AB|yy師：那么,121212當(dāng)有向線段與坐標(biāo)軸不平行時(shí)，能否通過(guò)端點(diǎn)的坐標(biāo)求出線段的長(zhǎng)，即兩端點(diǎn)間的距離呢？我們可以通過(guò)作有向線段在X軸，y軸上的投影（射影），利用勾股定理即可求出線段的長(zhǎng)，即兩端點(diǎn)間的距離。如圖1，設(shè)卩1（?）,?！?）兩點(diǎn)。從P1，P分別向即可求出線段的長(zhǎng)，即兩端點(diǎn)間的距離。如圖1，設(shè)卩1（?）,?！?）兩點(diǎn)。從P1，P分別向x軸和y軸作垂線PM,PN,PM,PN，相交于點(diǎn)Q。11112222在RtPPQ中IPPI1212|P1Q卩|P2QI2因?yàn)镻Q1MM XX1221所以|P]QX X21同樣PQ2NNyy2112所以P2Q—12所以PPI2XXI2 yyI2122112(X X)221(y1y2)2于是，我們得到平面上兩點(diǎn)間的距離公式：PP（xx）2（yy）2122112下面我們來(lái)看看這個(gè)公式的應(yīng)用例1求下列A,B兩點(diǎn)間的距離：A(2,1),B(5,1)；A(ab2,2abc),B(ac2,0)。解（1）（2）AB| v；'(52)2__(11)解（1）（2）|AB(ac2ab2)2 (02abc)2 a2(c2b2)2 4a2b2c2a1(c2b2)2 |a|(c2b2)例2 ABC中，AO是BC邊上的中線，求證：|AB|2|AC|22(AO|2|0C|2)。解建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，設(shè)點(diǎn)O,A,B,C的坐標(biāo)分別為O(0，0),A(b,c),B(a,0),C(a,0)利用平面上兩點(diǎn)間距離公式有|AB|2 |AC2 (ba)2c2c2(ba)O(0，0),A(b,c),B(a,0),C(a,0)利用平面上兩點(diǎn)間距離公式有|AB|2 |AC2 (ba)2c2c2(ba)22a22b22c2又有|ao|2 |0C I2 a2b2 c2，從而|AB|2 IAC 2 2(A0|2 |0CI2)。師：看過(guò)上述例題后，你知道了一些什么？啟發(fā)1：若不按例2的方法建立平面直角坐標(biāo)系能否證明上述結(jié)論？例如，方法1：見(jiàn)圖3，設(shè)O(a,O),Abc),B(O,0),C(2a,0)，證明從略。方法2：見(jiàn)圖4，設(shè)A(x，y),B(x,y),C(x,y)，112233因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以D(X22X3,y22y3)oL-i L-i由此可見(jiàn)，解答例2，建立坐標(biāo)系的方法是最簡(jiǎn)單的。啟發(fā)2：通過(guò)本題，我們體會(huì)到解析幾何的一種基本思想方法就是建立坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)計(jì)算的方法加以解決。試想，此題若不通過(guò)建立坐標(biāo)系，而是用純平面幾何的辦法來(lái)解決，將怎樣添輔助線？啟發(fā)3：如果本題不是書(shū)上的例題，而是一道考試題比較簡(jiǎn)單地將其解決呢？師：我們可以通過(guò)學(xué)過(guò)的余弦定理來(lái)解。誰(shuí)能用學(xué)過(guò)的辦法設(shè)AOC,|AO|m,0C|n|AB|2m2n22mncos()m2n設(shè)AOC,|AO|m,0C|n|AB|2m2n22mncos()m2n22mncos (1)|AC2m2n22mncos(2)(1)(2)得|AB|2 |AC|22(m2n2)2(AO|2 |OCI2)則這就是說(shuō)，我們要善于利用已知將為之轉(zhuǎn)化為已知，不斷地培養(yǎng)自己分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。啟發(fā)4：讀了本例題后，你們知道本例題的幾何意義是什么嗎？我們可以這樣想：將ABC沿邊作一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換(中心對(duì)稱(chēng))，得到A'BC，則由本題解決AB2AC22(AO2OC2)，可知平行四邊形四邊長(zhǎng)的平方和等于對(duì)角線的平方和。三、課堂練習(xí)為矩形ABC所在平面上任意一點(diǎn)求證|PA|2 |PC|2 |PB|2 |PD|2。方法1：建立如圖7所示坐標(biāo)系，設(shè)C(a，0),A(0,b),D(a,b),P(x,y)。因?yàn)閨PA|2因?yàn)閨PA|2|PC|2x2(yb)2(xa)2y22x22y2a2b22ax2by|PBI2 |PDI2x2y2(xa)2(yb)22x22y2a2b22ax2by所以|PA|2|PC|2 |PB|2|PD|2。方法2：以矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心0為原點(diǎn)，建立如圖8所示的坐標(biāo)系，設(shè)D(a,b),則人(a,b),B(a,b),C(a,b),P(x,y)。因?yàn)閨PA|2|PC|2 (x a)2 (yb)2 (x a)2 (yb)22x22y22a22b2|PB|2 |PD|29x a)2(y b)2(x a)2(y b)22x22y22a22b2請(qǐng)同學(xué)們比較，用哪一種方法建立坐標(biāo)系其計(jì)算量要小些四、課堂小結(jié)1、兩點(diǎn)間距離及應(yīng)用；2、解析法的主要思想方法；3、建立執(zhí)教坐標(biāo)系的一般原則。五、補(bǔ)充作業(yè)在x軸上求一點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A(0,3),B(4,5)距離的平方和最小。解設(shè)P(x,O)為所求的地啊，則由平面上兩點(diǎn)間距離公式得(x4)2(O5)24x4)5O8|PBI2的值為最小|PA|(x4)2(O5)24x4)5O8|PBI2的值為最小2x28x5O2(x22(x2)24242當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)|PA|2所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,O)反思本節(jié)課作為平面解析幾何的入門(mén)課，我的一個(gè)主導(dǎo)思想是，要通過(guò)本節(jié)課讓學(xué)生了解平面解析幾何的基本思想—坐標(biāo)的思想。通過(guò)平面直角坐標(biāo)系的建立，把“數(shù)”和“形”聯(lián)系起來(lái)，把“幾何問(wèn)題”和“代數(shù)方程”聯(lián)系起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題的目的。為了達(dá)到這個(gè)目的，我力求讓學(xué)生通過(guò)看書(shū)和課堂聯(lián)系去初步體會(huì)這種“坐標(biāo)法”的思想。在這里，我抓住目前中學(xué)生普遍存在的忽視數(shù)學(xué)閱讀的問(wèn)題，利用布置學(xué)生看書(shū)這一教學(xué)環(huán)節(jié)，促使學(xué)生逐漸養(yǎng)成讀數(shù)學(xué)課本的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)教會(huì)他們逐漸學(xué)會(huì)使用圖形語(yǔ)言。我們知道，在平面解析幾何里建立坐標(biāo)系是有技巧的。同樣的問(wèn)題，如果坐標(biāo)系建立得恰當(dāng)，解決起來(lái)就比較容易，相反則會(huì)比較麻煩。因此，在本課的課堂練習(xí)中，我通過(guò)課本例題的分析，告訴學(xué)生課本上的建立坐標(biāo)系的方法是最簡(jiǎn)單的方法，我們今后在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要打開(kāi)思路，根據(jù)具體問(wèn)題選擇最佳方法建立平面直角坐標(biāo)系，以便于問(wèn)題的解決。當(dāng)然，建立平面直角坐標(biāo)系的技巧還要在后面的教學(xué)中不斷引導(dǎo)，逐漸滲透，這不是通過(guò)一節(jié)課所能夠解決的問(wèn)題，這里不過(guò)是給學(xué)生“下點(diǎn)兒毛毛雨”罷了。另外