《等比數(shù)列的概念》第1課時示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版】

《等比數(shù)列的概念》教學(xué)設(shè)計第1課時教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.理解等比數(shù)列及等比中項的概念．2.掌握等比數(shù)列的通項公式，能運用公式解決相關(guān)問題．教學(xué)重難點教學(xué)重難點教學(xué)重點：等比數(shù)列及等比中項的概念.教學(xué)難點：等比數(shù)列的函數(shù)特征及綜合運用.課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程【新課導(dǎo)入】問題1：閱讀課本，回答下列問題：（1）本節(jié)將要探究哪類問題？（2）本節(jié)探究的起點是什么？目標(biāo)是什么？師生活動：學(xué)生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應(yīng)問題．預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列的通項公式．（2）在已學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列，讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成、通項公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思，進一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式的能力．發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)．設(shè)計意圖：通過閱讀讀本，讓學(xué)生明晰本階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．問題2：我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)”．類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？師生活動：學(xué)生思考后回答，教師完善．并請學(xué)生觀察下列數(shù)列：1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:9，92，93，…，910①100，1002，1003，…，10010②5，52，53，…，510③2.《莊子·天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之錘”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，每天得到的“錘”的長度依次是…④3.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是2,4,8,16,32,64,…⑤4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a(1+r)，a(1+r)2，a(1+r)3，a(1+r)4，a(1+r)5⑥問題3：如果用{an}表示數(shù)列①，那么有．其余幾個數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律嗎？你能說出這些數(shù)列的一般規(guī)律嗎？師生活動：請學(xué)生試著寫一寫．教師與學(xué)生一起找規(guī)律．設(shè)計意圖：通過問題情境以及類比等差數(shù)列，引入等比數(shù)列的概念．【探究新知】知識點1等比數(shù)列的概念1.等差數(shù)列的概念文字語言如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示符號語言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*),或an－an-1＝d(d為常數(shù)，n∈N*且n2)類比等差數(shù)列的研究，我們可以通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律，進而得出等比數(shù)列的定義．2.等比數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q0)．符號語言：．3．類比等差數(shù)列中等差中項的概念，我們可以得到等比數(shù)列中相應(yīng)的等比中項．由三個數(shù)a，G，b組成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．此時，G2=ab．設(shè)計意圖：通過類比的方法，學(xué)習(xí)等比數(shù)列的定義和等比中項．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【練一練】下列數(shù)列為等比數(shù)列的是()A．m，m2，m3，m4，…B．22,42,62,82，…C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…D．師生活動：學(xué)生根據(jù)等比數(shù)列的定義作出判斷．預(yù)設(shè)的答案：當(dāng)m＝0，q＝1時，A，C均不是等比數(shù)列；，所以B不是等比數(shù)列．故選D．問題4：你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？回憶等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導(dǎo)通項公式？師生活動：學(xué)生分組討論，派代表說說小組的想法．教師總結(jié)．知識點2等比數(shù)列的通項公式設(shè)一個等比數(shù)列{an}的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得,所以……歸納可得又，這就是說，當(dāng)n=1時，上式也成立．因此，首項為a1,公比為q的等比數(shù)列{an}的通項公式為．設(shè)計意圖：通過與等差數(shù)列中求通項方法相類比，同樣用不完全歸納法獲得等比數(shù)列的通項公式．提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．追問：上述推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操作？師生活動：學(xué)生分組討論，派代表回答，教師總結(jié)．教師總結(jié)：還可以用迭乘法求通項，過程如下：設(shè)一個等比數(shù)列{an}的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得,…將上述(n－1)個式子相乘得(n≥2)，∴(n≥2)，又，這就是說，當(dāng)n=1時，上式也成立．因此，首項為a1,公比為q的等比數(shù)列{an}的通項公式為．設(shè)計意圖：讓學(xué)生理解不完全歸納法猜想等比數(shù)列的通項公式，而要求解或證明等比數(shù)列的通項公式需要迭乘法．通過等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．問題5：在等差數(shù)列中，公差d≠0的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對于等比數(shù)列，公比

師生活動：學(xué)生分組討論，派代表說說小組的想法．教師總結(jié)．知識點3等比數(shù)列的通項公式與函數(shù)關(guān)系當(dāng)q>0且q1時，當(dāng)x=n時，，即指數(shù)型函數(shù)（k,a為常數(shù)，且k0,a>0且a1）構(gòu)成一個等比數(shù)列{kan}，其首項為ka，公比為a．問題6：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你能說說公比q>0的等比數(shù)列的單調(diào)性嗎？師生活動：學(xué)生分組討論，派代表說說本小組的想法．教師完善．預(yù)設(shè)的答案：由可知單調(diào)性如下表：設(shè)計意圖：通過將等比數(shù)列通項與指數(shù)函數(shù)相比較可知等比數(shù)列的通項公式的函數(shù)特征．進一步提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【鞏固練習(xí)】例1若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12，求{an}的第5項.師生活動：學(xué)生分析可知：等比數(shù)列{an}由a1、q唯一確定，可利用條件列出關(guān)于a1、q的方程（組），進行求解．教師完善．預(yù)設(shè)的答案：法1：由a4=48，a6=12，得(2)的兩邊分別除以(1)的兩邊，得,解得或．把代入(1)，得a1=384，此時,把代入(1)，得a1=-384，此時,因此{an}的第5項是24或-24.解法2：因為a5是a4與a6的等比中項，所以a52=a4a6=4812=576，所以．因此，{an}的第5項是24或-24.設(shè)計意圖：通過該典型例題，加深學(xué)生對等比數(shù)列及其函數(shù)特征的理解．發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：(1)已知等比數(shù)列中的兩項，通過解方程組求得a1，q的值，再利用寫出通項公式，這是求解這類問題的基本方法．(2)抓住等比數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)特點，通過an是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)，列出方程組求解．例2已知等比數(shù)列{an}的公比為q,試用{an}的第m項am表示an.師生活動：學(xué)生思考后回答，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：由題意，得，①②②的兩邊分別除以①的兩邊，得所以.設(shè)計意圖：通過該題，進一步加深學(xué)生對等比數(shù)列通項公式的理解．總結(jié)：（1）在一個等比數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項．（2）等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.例3數(shù)列{an}共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132，求這個數(shù)列.師生活動：學(xué)生分組討論，派代表板演．教師完善規(guī)范解題過程．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)前三項的公比為q,后三項的公差為d，則數(shù)列的各項依次為,80,80+d,80+2d,于是得，解方程組，得或所以這個數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.設(shè)計意圖：通過該題，讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義設(shè)未知量，學(xué)會利用方程思想解決這類問題.發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：三個數(shù)成等差數(shù)列，常將三數(shù)設(shè)為a-d，a，a+d；三個數(shù)成等比數(shù)列，常將三數(shù)設(shè)為，a，aq；【課堂總結(jié)】1．板書設(shè)計：等比數(shù)列的概念（1）一、探索新知二、初步應(yīng)用1．等比數(shù)列的概念例1知識講解1：例22．等比數(shù)列的通項公式例3知識講解2：3．等比數(shù)列的通項公式與函數(shù)關(guān)系知識講解3：2．總結(jié)概括：師生活動：學(xué)生總結(jié)，老師適當(dāng)補充.設(shè)計意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力．3．課堂作業(yè)：【目標(biāo)檢測設(shè)計】1．設(shè)an＝(－1)n(n∈N*)，則數(shù)列{an}是()A．等比數(shù)列B．等差數(shù)列C．遞增數(shù)列D．遞減數(shù)列設(shè)計意圖：讓學(xué)生進一步鞏固等比數(shù)列的定義.2．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a3＝3a1＋2a2，則公比q＝()A．1B．2C．3D．4設(shè)計意圖：讓學(xué)生進一步鞏固等比數(shù)列的通項公式.3.若數(shù)列－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為()A．－3B．3C．±3D．不能確定設(shè)計意圖：讓學(xué)生進一步鞏固等比中項的概念.4.在等比數(shù)列{