2023年高考數(shù)學二輪復習試題（全國通用）專題03平面向量Word版含解析

專題03平面向量一、一、核心先導二、考點再現(xiàn)二、考點再現(xiàn)【考點1】平面向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫作a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0(1)結合律：λ(μa)＝λμa＝μ(λa)；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb【考點2】共線向量定理、平面向量基本定理及應用1．向量共線的判定定理和性質定理(1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ使得b＝λa，則向量b與a共線．(2)性質定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三點，且A與B不重合，P是平面內任意一點，若點C在直線AB上，則存在實數(shù)λ，使得________(如圖所示)．2．向量共線定理的應用(1)證明點共線；(2)證明兩直線平行；(3)已知向量共線求字母的值．3．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．【考點3】平面向量坐標運算的應用1．平面向量的坐標運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)．2．向量平行的坐標表示(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0.判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后再按兩向量共線進行判定．【考點4】平面向量的垂直與夾角1．平面向量數(shù)量積的有關概念(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角．(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：0·a＝0.(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．2．平面向量數(shù)量積的性質設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量數(shù)量積的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ，則(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(3)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．【考點5】平面向量的模及其應用求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).三、三、解法解密考向1平面向量在平面幾何中的應用向量在幾何中的應用(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)求夾角問題，常用公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)求線段的長度，可以用向量的線性運算，向量的模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2)或|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).考向2平面向量在三角函數(shù)中的應用與三角函數(shù)相結合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用是高考熱點問題．解此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式、向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識．四、四、考點解密題型一:平面向量的基礎應用例1．（1）、（2020·山西太原·模擬預測）已知平面向量，若與垂直，則λ＝（）A．-2B．2C．-1D．1【答案】C【分析】求出向量的模，根據(jù)數(shù)量積的運算可得關于的方程，求得答案【詳解】因為，故，由題意與垂直，∴，即，解得，故選：C【變式訓練1-1】、（2007·重慶·高考真題（理））與向量的夾角相等，且模為1的向量是（）A．B．或C．D．或【答案】B【分析】先設定所求向量的坐標，根據(jù)條件求解即可.【詳解】設所求向量為，依題意則有，又，即，，聯(lián)立方程，解得或；故選：B.題型二:平面向量的綜合應用例2．（1）、（2007·福建·高考真題（理））已知，點C在內，且.設，則等于（）A．B．3C．D．【答案】B【分析】由題意可得,建立坐標系，由已知條件可得，進而可得，即可得答案.【詳解】解：因為，所以,又因為點C在內，且，建立如圖所示的坐標系：則,,又因為，所以，所以，所以.故選：B.（2）、（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）已知平面向量，滿足，，則的取值范圍為________.【答案】【分析】利用向量的模的計算公式，化簡即可得到向量的終點的軌跡方程，進而利用數(shù)形結合，即可求解.【詳解】設，則，，即為，則在平面坐標系中向量的終點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，圓心到原點的距離為，則.故答案為：【變式訓練2-1】、（2022·浙江·模擬預測）已知平面向量滿足：，若對滿足條件的任意向量，恒成立，則的最小值是______________．【答案】【分析】建立直角坐標系，將向量用坐標表示，根據(jù)題意計算即可.【詳解】由題意設，，由，，化簡得恒成立，所以，，，，當且僅當且時取到等號；故答案為：.【變式訓練2-2】、（2022·吉林長春·模擬預測（理））已知中，，，，點P為邊AB上的動點，則的最小值為（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】A【分析】結合向量運算以及二次函數(shù)的性質求得正確答案.【詳解】設,,所以當時，取得最小值為.故選：A題型三:平面向量在平面幾何中的應用例3．（1）、（2022·江蘇常州·模擬預測）我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，則實數(shù)（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】依據(jù)題給條件利用列出關于的方程，解之即可求得實數(shù)的值【詳解】由，可得，又則又，，則即則即，整理得解之得，或（舍）故選：B（2）、（2022·全國·模擬預測）在中，已知，，，，，點在邊上，則的最大值為（）A．3B．2C．D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標系，將向量用坐標表示，又可將轉化為，即可求出的最大值【詳解】以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，.連接，設線段的中點為，連接，則，.連接，，因為點在線段上，所以，又，，所以，所以的最大值為.故選：C【變式訓練3-1】、（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D【變式訓練3-2】、（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預測（理））已知向量滿足，，若向量，且，則的最大值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】先判斷出，設，，，，得到.設，判斷出A，B，C三點共線，由等面積法得，利用基本不等式求出最大值.【詳解】由得，所以．如圖：設，，，，由可知，，所以，即，所以，則，當且僅當時取得等號.設，由，可知A，B，C三點共線，由可知，所以，由等面積法可得：，得，所以的最大值為．故選：B．題型四:平面向量在其他知識中的應用例4．（1）、（2022·江蘇無錫·模擬預測）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨紋樣．八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴張的感覺．八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是正方形且邊長為2，其中動點P在圓上，定點A、B所在位置如圖所示，則最大值為（）A．9B．10C．D．【答案】C【分析】由題意可得，，，，設的夾角為，的夾角為，則=-,分在所對的優(yōu)弧上和在所對的劣弧上兩種情況計算即可得答案.【詳解】解：如圖所示：連接，因為中間陰影部分是正方形且邊長為2，所以可得，，，所以，在中由余弦定理可得，所以，設的夾角為，的夾角為，==-,當在所對的優(yōu)弧上時，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值為；當在所對的劣弧上時，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值為；綜上所述：最大值為.故選：C.（2）、（2022·浙江嘉興·模擬預測）平面向量滿足，則的最小值為_________．【答案】【分析】設，利用平面向量的幾何意義及平面向量等和線定理進行求解.【詳解】解析：幾何意義+等和線由題記，則由，得，且．作圖，如右圖所示：為正三角形，，由，得C在直線上，又∵，∴，即點D在以點E為圓心，為半徑的圓上，∴．故答案為：．【變式訓練4-1】、（2022·湖南師大附中三模）藝術家們常用正多邊形來設計漂亮的圖案，我國國旗上五顆耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個不相鄰的頂點用線段連接，并去掉正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個正五邊形的中心.如圖，設O是正五邊形ABCDE的中心，則下列關系錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由平面向量的運算對選項逐一判斷【詳解】對于A，，故A正確，對于B：因為，，所以，故B正確，對于C：由題意是的外心，不是的重心設中點為，則，，故C錯誤，對于D：，故D正確．故選：C【變式訓練4-2】、（2022·全國·模擬預測）已知，滿足，，則的最大值為______．【答案】4【分析】，，得到，，從而畫圖，點A，B在以原點為圓心，以為半徑的圓上，作出平行四邊形，利用差向量與和向量分別為平行四邊形的兩條對角線向量，結合三角函數(shù)有關公式和性質求得結果.【詳解】因為，，如圖，圓O的半徑為，點A，B在圓上，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，設，，則，．設，則，當時，有最大值，最大值為4，此時，的最大值為4．故答案為：4.五、五、分層訓練A組基礎鞏固1．（2022·河南·模擬預測（理））如圖，在中，，，直線AM交BN于點Q，，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】把用表示，然后由三點共線可得．【詳解】由題意得，，因為Q，M，A三點共線，故，化簡整理得．故選：C．2．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預測（文））在中，，，為線段的中點，，為線段垂直平分線上任一異于的點，則（）A．B．4C．7D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意得為直角三角形，，進而得，再根據(jù)，，得.【詳解】解：因為在中，為線段的中點，所以，即，因為，，，所以，即，因為，所以，即，所以，，即，所以，因為，所以，即為直角三角形，所以因為為線段垂直平分線上任一異于的點，所以，，，所以故選：C3．（2022·四川雅安·模擬預測（理））如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點，且，則的最小值為（）A．B．C．4D．6【答案】B【分析】設，然后可得，然后根據(jù)二次函數(shù)的知識可得答案.【詳解】因為在等腰直角中，斜邊，所以，因為、，所以，設，則，所以當時，取得最小值，故選：B4．（2022·四川省綿陽南山中學模擬預測（理））如圖，在中，已知，，，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點P，則在上的投影為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】結合向量運算以及向量投影的計算公式計算出正確答案.【詳解】，由于是三角形的中線，所以是三角形的重心，所以,則，，，.所以在上的投影為.故選：A5．（2022·全國·大化瑤族自治縣高級中學模擬預測（文））已知點A?B在單位圓上，，若，則的最小值是（）A．2B．3C．D．4【答案】A【分析】由結合向量數(shù)量積運算可化為二次函數(shù)，即可求最小值.【詳解】，因此.故選：A.6．（2022·全國·清華附中朝陽學校模擬預測）已知平面向量，，滿足，且，，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】建立直角坐標系，由向量的坐標運算，得點的軌跡，進而根據(jù)相似以及三角形邊的關系即可結合圖形求解.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，設，則，故點在以為圓心，半徑為1的圓上，如圖：取點,則,且,因此,所以,故,由于,當三點共線且點在線段上時，等號取到，因此，故選：D7．（2021·江西·模擬預測（文））如圖，在中，，，P為上一點，且滿足，若，，則的值為（）A．-3B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)三點共線求出，然后把當基底表示出和，從而求的值.【詳解】因為，所以，所以，因為三點共線，所以，即，所以，又,所以.故選：C.8．（2022·四川·模擬預測（理））八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，其中，給出下列結論：①與的夾角為；②；③；④向量在向量上的投影向量為（其中是與同向的單位向量）.其中正確結論的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用正八邊形的特征，結合向量的線性運算及投影向量的定義逐一分析各個命題即可求解.【詳解】對于①，因為八邊形為正八邊形，所以，所以與的夾角為，①錯誤；對于②，，顯然不成立，②錯誤；對于③，，所以，，所以，③正確；對于④，，向量在向量上的投影向量為，④正確，故選：B.9．（2022·河南安陽·模擬預測（理））已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，AB為圓的直徑，P為圓上的點，則（）A．4B．C．8D．【答案】C【分析】利用圓柱的軸截面性質，求得圓柱的高與底面圓半徑，根據(jù)平面向量的線性性質，把所求數(shù)量積轉化為直角三角形中的兩個向量數(shù)量積，利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】解：設圓柱的高為，底面半徑為若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則：，因為AB為圓的直徑，P為圓上的點，所以在中，為AB中點又在中，，且，則如圖：為圓柱的一個軸截面所以故選：C.10．（2022·上海松江·二模）已知正方形的邊長為4，點、分別在邊、上，且，，若點在正方形的邊上，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標系，利用向量的數(shù)量積運算及二次函數(shù)求值域即可得解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，則，，當在上時，設，，，當時，，當時，，即，當在上時，設，則，，知，當在上時，設，，，當時，，當時，，即，當在上時，設，，，當時，，當時，，即.綜上可得，，故選：C11．（2022·江西·上饒市第一中學模擬預測（文））已知向量，，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由向量平行的坐標表示可得，再由數(shù)量積公式可得答案.【詳解】因為向量，，，所以，，所以.故選：C.12．（2022·浙江·樂清市知臨中學模擬預測）平面向量滿足，則與夾角最大值時為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)條件對兩邊平方即可得出,從而可求出,進而即可得出然后根據(jù)基本不等式即可得出求出向量夾角的最大值,判斷出，.【詳解】因為平面向量滿足，所以，所以，所以.由夾角公式，（當且僅當，即時等號成立）.因為，所以，即時最大.此時.故選：D13．（2022·安徽省舒城中學三模（理））已知平面向量，，，，若，，則的最小值是________.【答案】##【分析】令，，即可得到且，令，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及三角不等式計算可得；【詳解】解：令，，則，故，且，令，，，，所以根據(jù)已知條件有，所以，即，當且僅當，，時等號成立，所以的最小值是故答案為：14．（2022·全國·模擬預測（文））在中，為的中點，為線段上一點（異于端點），，則的最小值為______．【答案】##【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)三點共線得出，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】如圖，結合題意繪出圖象，因為，為邊的中點，所以，因為三點共線，所以，則，當且僅當，即、時取等號，故的最小值為，故答案為：.15．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）如圖，已知點O，A，B，C（順時針排列）在半徑為2的圓E上，將順時針旋轉，得到，則的最大值為_________．【答案】16【分析】根據(jù)向量的線性運算公式和數(shù)量積運算公式化簡，即可求其最大值.【詳解】如圖，作于G，于H，由題可得，∴．當且僅當且時等號成立，故答案為：16．16．（2022·海南省直轄縣級單位·三模）已知平面向量，滿足，且，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)已知結合數(shù)量積的運算法則求得，再利用向量模的計算求得答案.【詳解】由得：，故，故答案為：B組能力提升17．（2022·山東煙臺·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（）A．B．2C．D．1【答案】A【分析】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設，則，∵BC//EF，∴設，則∴，∴∴故選：A.18．（2022·安徽·合肥市第六中學模擬預測（理））如圖，在中，M，N分別是線段，上的點，且，，D，E是線段上的兩個動點，且，則的的最小值是（）A．4B．C．D．2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線定理可設，，，，再結合得，最后運用基本不等式可求解.【詳解】設，，，，則，，，，.所以，當且僅當，時等號成立.所以的的最小值是.故選：B19．（2022·廣西桂林·模擬預測（理））已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)，得到，不妨設，利用坐標法求解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，如圖所示：不妨設，則，所以，因為，所以，即，表示點C在以為圓心，以2為半徑的圓上，所以最小值為，故選：D20．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知向量，滿足，，則的最小值為（）A．1B．C．D．2【答案】D【分析】利用向量的數(shù)量積公式和余弦函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】∵，∴，其中為向量，的夾角，即，當時，有最小值，故選:．21．（2022·湖南懷化·一模）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】以，為鄰邊作平行四邊形，設，則，由題意，設，在中，根據(jù)正弦定理結合三角函數(shù)的性質即可得解.【詳解】解：以，為鄰邊作平行四邊形，設，，則，由題意，設，，在中，由正弦定理可得，，，即的最大值為6.故選：C．22．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測）在中，，分別是邊，上的點，且，，點是線段上異于端點的一點，且滿足，則_________．【答案】8【分析】用、表示出、，從而得到，再根據(jù)，，三點共線，得到，解得即可.【詳解】解：因為，，所以，，即，，因為，所以，即，即，因為，，三點共線，故，解得．故答案為：23．（2022·四川資陽·一模（理））已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為______．【答案】【分析】由，可求得，再求解，結合向量模長的三角不等式，即得解.【詳解】由題意，，又，故，故，由向量模長的三角不等式，，即，解得：，則的最大值為.故答案為：24．（2020·天津·二模）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.【答案】##【分析】法一，由由，得，借助于幾何作圖，作，確定點P的軌跡，結合圓的幾何性質，即可求得答案;法二，由題意建立平面直角坐標系，設，根據(jù)條件確定確定點C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上，結合圓的幾何性質，可求得答案.【詳解】法一由，得.如圖所示，分別作,作，由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以,作，則,所以點P在以C為圓心，1為半徑的圓上.由圖可知，當點O，C，P三點共線且點P在點P1處時，||取得最大值,故||的最大值是,故答案為：法二由，得，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，由，得，所以點C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.所以故答案為：25．（2022·北京市第十二中學三模）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.【答案】【分析】以點為坐標原點，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標系，設點，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因為是邊長為的等邊三角形，且，則為的中點，故，以點為坐標原點，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，設點，，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.26．（2022·四川涼山·三模（理））中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，點P是所在平面內的動點，滿足（）．射線BP與邊AC交于點D．若，，則面積的最小值為______．【答案】##【分析】根據(jù)向量數(shù)乘與加法法則得是的平分線，從而得，由正弦定理表示出，利用得出的面積，并化為的函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變換并利用換元法得出的函數(shù)，結合正弦函數(shù)性質、不等式的性質可得最小值．【詳解】是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，設，由向量加法的平行四邊形法則，知是的平分線，由得，所以與共線，即是中的平分線，，則，，由正弦定理得，即，所以，同理，記，則，，設，則，，．，即時等號成立．故答案為：．C組真題實戰(zhàn)練27．（2019·天津·高考真題（文））O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（）A．外心B．內心C．重心D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，令，則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內心，故選：B28．（2020·全國·高考真題）已知向量，滿足，，，則（）A．1B．C．D．【答案】D【分析】結合已知條件，首先對兩邊同時平方求出，然后利用求解即可.【詳解】因為，，所以，即，故.故選：D.29．（2017·全國·高考真題（理））已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標系，以中點為坐標原點，則，，，設，則，，，則當，時，取得最小值，故選：．30．（2018·天津·高考真題（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為A．B．C．D．【答案】A【詳解】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設，數(shù)量積轉化為關于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設=所以當時，上式取最小值，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數(shù)求最值。31．（2018·天津·高考真題（文））在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A．B．C．D．0【答案】C【詳解】分析：連結MN，結合幾何性質和平面向量的運算法則整理計算即可求得最終結果.詳解：如圖所示，連結MN，由可知點分別為線段上靠近點的三等分點，則，由題意可知：，，結合數(shù)量積的運算法則可得：.本題選擇C選項.點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．32．（2016·天津·高考真題（理））是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】試題分析：設，，∴，，，∴.【考點】向量數(shù)量積【名師點睛】研究向量的數(shù)量積問題，一般有兩個思路，一是建立直角坐標系，利用坐標研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實質相同，坐標法更易理解和化簡.平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質是將“形”化為“數(shù)”．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來．33．（2015·福建·高考真題（理））已知，，，若點是所在平面內一點，且，則的最大值等于（）.A．B．C．D．【答案】A【詳解】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因為，所以的最大值等于，當，即時取等號．考點：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．34．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記，，，則A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３【答案】C【詳解】因為，，，所以，故選C．【名師點睛】平面向量的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．本題通過所給條件結合數(shù)量積運算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，進而得到．35．（2011·全國·高考真題（理））設向量滿足，，，則的最大值等于A．4B．2C．D．1【答案】A【詳解】因為，，所以,.如圖所以，設，則,,.所以，所以，所以四點共圓.不妨設為圓M，因為,所以.所以,由正弦定理可得的外接圓即圓M的直徑為.所以當為圓M的直徑時，取得最大值4.故選A.點睛:平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決．36．（2008·山東·高考真題（文））知為