2020年人教版A版數(shù)學選修2-3全冊講義學案

第一章計數(shù)原理(1)

§1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(1)

§1.2排列與組合(5)

§1.2.1排列⑸

第1課時排列的概念及簡單排列問題(5)

第2課時排列與排列數(shù)公式(9)

第3課時排列的綜合應用(13)

§1.2.2組合(16)

第1課時組合與組合數(shù)公式(16)

第2課時組合的綜合應用(19)

§1.3二項式定理(23)

§1.3.1二項式定理(23)

§1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)(27)

章末整合提升(32)

章末達標測試(34)

第二章隨機變量及其分布(37)

§2.1離散型隨機變量及其分布列(37)

§2.2二項分布及其應用(44)

§2.2.1條件概率(44)

§2.2.2事件的相互獨立性(48)

§2.2.3獨立重復試驗與二項分布(53)

§2.3離散型隨機變量的均值與方差(58)

§2.3.1離散型隨機變量的均值(58)

§2.3.2離散型隨機變量的方差(64)

§2.4正態(tài)分布(69)

章末整合提升(73)

章末達標測試(76)

第三章統(tǒng)計案例(80)

§3.1回歸分析的基本思想及初步應用(80)

§3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用(86)

章末整合提升(92)

章末達標測試(94)

綜合質(zhì)量評估(99)

第一章

計數(shù)原理

§1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

［課標解讀］

1.通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理.

2.理解并掌握兩個計數(shù)原理，并會利用這兩個原理分析和解決一些簡單的問題.(重點)

■僦髓眼■?新知探究通教材/理知識/素養(yǎng)初成

口基礎知識整合

1.分類加法計數(shù)原理

匿T完成一件事)

/有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同'

節(jié)葉飛的方法，在第2奏標中布麗不同的方法

完成這件事共種不同的方法)

2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事)

需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，'

做第2步有俐不高的方法.

完成這件事共有N=mx”種不同的方法)

3.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

(1)聯(lián)系：都是涉及做一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任

何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方

法互相依存,只有各個步驟都完成才算做完這件事.

「核心要點探究

知識點一分類加法計數(shù)原理

探究1:已知某校學生會由高一年級2人，高二年級3人，高三年級2人組成，若想選

其中1人為學生會主席，試探究以下問題:

(1)如果只從高一年級成員中選1人為學生會主席，有幾種不同的選法？

提示2種.

(2)如果只從高二年級成員中選1人為學生會主席，有幾種不同的選法？只從高三年級成

員中選取呢？

提示只從高二年級成員中選取有3種不同選法；只從高三年級成員中選取有2種不同

選法.

(3)若不論哪個年級，都可以選取，則共有幾種不同選法？

提示共有2+3+2=7(種)不同選法.

探究2：根據(jù)分類加法計數(shù)原理考慮完成一件事的第1類方案與第2類方案中的每一種

方法有沒有重復或遺漏？

提示每種方法都可以獨立地完成這件事，它們之間沒有重復或遺漏.

知識點二分步乘法計數(shù)原理

探究1：根據(jù)分類加法計數(shù)原理的探究1的材料回答下列問題：

(1)若想從每年級學生會成員中各選1人為學生會常委，則有多少種不同的選法？

提示不妨設高一年級成員為Ai,A2,高二年級成員為Bi,Bi,Bit高三年級成員為

Ci,Ci.

此處需要從各年級分別選出1人來，用列舉法為AiB.Ci,AMi,AxBzCi,4132c2,

AiB3ClfA13c2,AzBxCx,A2B1C2,A282G,4282c2,A2B3C1,A233c2共有12種.

(2)觀察此處的結(jié)果與各年級人數(shù)間的關系是什么？

提示2X3X2=12,即年級人數(shù)之積為本問題中不同的選法種數(shù).

探究2：如何理解“完成一件事”的過程中的各步之間關系？

提示各步之間是關聯(lián)的、獨立的，“關聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復.

一側(cè)副標，方法總結(jié)析典例/悟規(guī)律/素養(yǎng)培優(yōu)

題型一分類加法計數(shù)原理的應再

[例1]⑴若x,yCN*,且x+y/6,則有序自然數(shù)對(x,y)共有個.

(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為.

【自主解答】(1)將滿足條件x,yWN*,且x+y<6的x的值進行分類：

當x=l時，y可取的值為5,4,3,2,1,共5個；

當x=2時，y可取的值為4,3,2,1,共4個；

當x=3時，y可取的值為3,2,1,共3個；

當x=4時，y可取的值為2,1,共2個；

當x=5時，j可取的值為1,共1個.

即當x=l,2,3,4,5時，y的值依次有5,4,3,2,1個，

由分類加法計數(shù)原理得，不同的數(shù)對(x,y)共有5+4+3+2+1=15(個).

(2)解法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，

在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由

分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).故共有36

個.

解法二分析個位數(shù)字，可分以下幾類：

個位是9,則十位可以是1,2,3,…，8中的一個，故共有8個；

個位是8,則十位可以是1,2,3,…，7中的一個，故共有7個；

同理個位是7的有6個；

個位是2的有1個.

由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).故

共有36個.

【答案】(1)15(2)36

?規(guī)律總結(jié)

1.使用分類加法計數(shù)原理計數(shù)的兩個條件

(1)根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類.

(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同

的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理.

2.利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程

｛將完成這件事的方法分成若干類)

<S>~~求出每一類的方法數(shù))

<^>~~(將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)可

。變式訓練

1.(1)足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負一場，得0分.一

球隊打完15場，積33分.若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況共有種.

(2)三邊長為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形有多少個？

解析(1)運用分類加法計數(shù)原理

勝負平積分

114033

102330+3

90627+6

由上述分類可得,該隊勝、負、平的情況共有3種.

(2)另兩邊長用x、y表示，且不妨設iWxWyWU.要構成三角形，必須x+y，12.①當y

取11時，x=l,2,3,…，11,可有11個；②當y取1()時，x=2,3,4,…，1(),可有9

個；…；③當y取6時，x=6,只有1個.由分類計數(shù)原理，所求三角形個數(shù)為11+9+7

+5+3+1=36(個).

答案(1)3⑵36

|題型二分步乘法計數(shù)原理的應再

[例2](1)4張卡片的正、反面分別有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片

排放在一起，可組成個不同的三位數(shù).

(2)已知flS{3,4,6),&G{1,2,7,8),rS{8,9},則方程(萬一研+述一杼=戶可表

示多少個不同的圓？

【自主解答】⑴分三個步驟：

第一步：百位可放8—1=7(個)數(shù)；

第二步：十位可放6個數(shù)；

第三步：個住可放4個數(shù).

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可以組成N=7X6X4=168(個)不同的三住數(shù).

(2)按a,b,r取值順序分步考慮：

第一步：a從3,4,6中任取一個數(shù)，有3種取法；

第二步：6從1,2,7,8中任取一個數(shù)，有4種取法；

第三步：r從8,9中任取一個數(shù)，有2種取法.

由分步乘法計數(shù)原理知，表示的不同圓有N=3X4X2=24(個).

【答案】⑴168(2)24

?規(guī)律總結(jié)

1.使用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)的兩個注意點

(1)要按照事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個步驟都完成才算完成這件事.

2.利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程

------{將完成這件事的過程分成若干步）

<#?>------{求出每一步中的方法數(shù)）

------］將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果）

O變式訓練

2.在2012年倫敦奧運選手選拔賽上，8名男運動員參加100米決賽.其中甲、乙、丙

三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽

的方式共有種.

解析第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以安排方

式有4X3X2=24（種）.

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，所以安排方

式有5X4X3X2X1=120（種）.

所以安排這8人的方式有24X120=2880（種）.

答案2880

題型三兩個計數(shù)原理的綜合應甬'

［例3］（1）高艷有4件不同顏色的襯衣、3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連

衣裙.“五一”勞動節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則高艷不同的穿衣服的方式有

A.24種B.14種C.10種D.9種

（2）某校數(shù)學課外活動小組有高一學生1（）人，高二學生8人，高三學生7人.

①選其中1人為總負責人，有多少種不同的選法？

②每一年級各選1名組長，有多少種不同的選法？

③推選出其中2人去外校參觀學習，要求這2人來自不同年級，有多少種不同的選法？

【解析】（1）其穿衣方式分兩類：

第一類：不選連衣裙有4X3=12（種）方法；

第二類：選連衣裙有2種方法，

由分類加法計數(shù)原理知，共有12+2=14種方法.

（2）①若從高一學生中選，則有10種不同的選法；

若從高二學生中選，則有8種不同的選法；

若從高三學生中選，則有7種不同的選法；

所以由分類加法計數(shù)原理知，共有10+8+7=25（種）不同的選法.

②三個年級分別有10種，8種，7種不同選法，

由分步乘法計數(shù)原理知，共有10X8X7=560(種)不同選法.

③選法可分三類：一類是1人選自高一，1人選自高二，有10X8=80(種)選法；

第二類是1人選自高一，1人選自高三，有10X7=70(種)選法；

第三類是1人選自高二，1人選自高三，有8X7=56(種)選法，

所以共有80+70+56=206(種)不同選法.

【答案】(1)B⑵①25②560③206

?規(guī)律總結(jié)

1.“分類”與“分步”

(1)應用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理首先要分清“分類”與“分步”.

(2)應用分類加法計數(shù)原理，必須要各類的每一種方法都保證事件的完成.

(3)“分步”應滿足，完成一件事必須且只需連續(xù)完成若干步，即應用分步乘法計數(shù)原理

時各步均是完成事件必須經(jīng)過的各個彼此獨立的“步”.

2.兩個計數(shù)原理綜合應用的技巧

對于復雜問題，不能只用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決時，可以綜合應用

兩個原理，可以先分類，在某一類中再分步，也可先分步，在某一步中再分類.

O變式訓練

3.王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學書，3本

不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.

(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有多少種不同的帶法？

(2)若帶外語、數(shù)學、物理參考書各1本，則有多少種不同的帶法？

(3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，則有多少種不同的帶法？

解析(1)完成的事情是帶一本書，無論帶外語書，還是數(shù)學書、物理書，事情都已完成，

從而確定應用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為5+4+3=12(種).

(2)完成的事件是帶3本不同學科的參考書，只有從外語、數(shù)學、物理書中各選1本后，

才能完成這件事，因此應用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)果為5X4X3=60(種).

(3)選1本外語書和選1本數(shù)學書應用分步乘法計數(shù)原理，有5X4=20種選法；同樣，

選外語書、物理書各1本，有5X3=15種選法；選數(shù)學書、物理書各1本，有4X3=12種

選法.即有三類情況，應用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為20+15+12=47(種).

答案(1)12(2)60(3)47

穗^粉敷，優(yōu)化探究練規(guī)范/套模板/素養(yǎng)提升

易錯誤區(qū)（一）分不清是分類還是分步而導致錯誤

O典題示例

［典例］體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某人到該體育場晨練，則他進、出

門的方案有

A.12種B.7種C.14種D.49種

【解析】要完成進、出門這件事，需要分兩步.

第一步進體育場，第二步出體育場，

第一步進門有4+3=7種方法，

第二步出門也有4+3=7種方法，

由分步乘法計數(shù)原理知進、出門的方案有7X7=49種.

【答案】D

［易錯防范］

1.把進、出門理解為一邊進一邊出，錯選A,或者把分步錯認為分類，而錯選C.

2.明確“分類”與“分步”

“分類”是其中任何一類中的任何一種方法均可獨立完成所給事情，而“分步”必須是

把各個步驟均完成才能完成所給事情.在解題過程中要能高效地得到正確結(jié)論必須將要計的

數(shù)準確進行“分類”或是“分步”，如本例是“分步"，而非"分類”問題.

O典題試解

某小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不

能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有種.

解析按題意，對節(jié)目甲是否為第一位分類：

①節(jié)目甲在第一位，乙有4種排法，丙有一種排法，共有4X1X3X2X1=24（種）.

②節(jié)目甲在第二位，乙不排在第一位，還有3種排法，丙一種排法，共有3X1X3X2X1

=18（種）.

共有方案24+18=42（種）.

答案42

繚含鋤繚，能力提升..礎/提技能/素養(yǎng)達成

［限時50分鐘，滿分80分］

一'選擇題（每小題5分，共30分）

1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一

套，則不同的配法種數(shù)為

A.7B.12C.64D.81

解析要完成長褲與上衣配成一套，分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，

有4種不同選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法.故共有4X3

=12種不同的配法.

答案B

2.某乒乓球隊里有男隊員6人，女隊員5人，從中選取男、女隊員各一人組成混合雙

打隊，不同的組隊方法有

A.11種B.30種C.56種D.6$種

解析先選1男有6種方法，再選1女有5種方法，故共有6X5=30種不同的組隊方

法.

答案B

3.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,7）,從兩個集合中各取一個元素作為

點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是

A.18B.17C.16D.10

解析分兩類：第1類，M中的元素作橫坐標，N中的元素作縱坐標，則有3X3=9個

在第一、二象限內(nèi)的點；第2類，N中的元素作橫坐標，M中的元素作縱坐標，則有4X2

=8個在第一、二象限內(nèi)的點.由分類加法計數(shù)原理，共有9+8=17個點在第一、二象限內(nèi).

答案B

4.某電子元件是由3個電阻組成的回路，其中有4個焊點A,B,C,D,若某個焊點

脫落，整個電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊點脫落的可能情況種數(shù)為

A.16B.15C.9D.8

解析①1個焊點脫落有4種情況；②2個焊點脫落有6種情況；③3個焊點脫落有4

種情況；④4個焊點脫落有1種情況，共有4+6+4+1=15（種）情況，故選B.

答案B

5.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土

地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法有

A.24種B.18種C.12種D.6種

解析解法一（直接法）若黃瓜種在第一塊土地上，則有3X2X1=6種不同的種植方

法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上均有3X2X1=6種不同的種植方法.故共有6X3

=18種不同的種植方法.

解法二（間接法）從4種蔬菜中選出3種種在三塊地上，有4X3X2=24種方法，其中

不種黃瓜有3X2X1=6種方法，故共有24-6=18種不同的種植方法.

答案B

6.用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不

能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有

A.36個B.18個C.9個D.6個

解析分3步完成，1,2,3這三個數(shù)中必有某一個數(shù)字被重復使用2次.

第1步，確定哪一個數(shù)字被重復使用2次，有3種方法；

第2步，把這2個相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個位置上有3種方法；

第3步，將余下的2個數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個位置上，有2種方法.

故有3X3X2=18個不同的四位數(shù).

答案B

二'填空題（每小題5分，共15分）

7.設集合A={1,2,3,4},m,n^A,則方程\+9=1表示焦點位于x軸上的橢圓

有個.

解析由題意知當，"=2時，n=l;當m=3時，"=1,2;當/n=4時，n=l,

2,3.故共有1+2+3=6（個）滿足題意的橢圓.

答案6

8.如圖，在由電鍵組A與8所組成的并聯(lián)電路中，要接通電源，使電燈發(fā)光的方法種

數(shù)是.

解析在電鍵組A中有2個電鍵，電鍵組5中有3個電鍵，應用分類加法計數(shù)原理，共

有2+3=5種接通電源使電燈發(fā)光的方法.

答案5

9.將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每

個方格的標號與所填的數(shù)字均不同的填法有種.

解析將數(shù)字1填入第2方格,則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種,

即2143,3142,4123;同樣將數(shù)字I填入第3方格，也對應著3種填法；將數(shù)字1填入第4

方格，也對應著3種填法，因此共有填法為3X3=9(種).

答案9

三'解答題(本大題共3小題，共35分)

1().(1()分)若直線方程Ax+8y=()中的A,8可以從()，1,2,3,5這五個數(shù)字中任取

兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？

解析分兩類完成：

第1類，將A或8中有一個為()時，表示的直線為x=()或y=0,共2條.

第2類，當A,B不為0時，直線Ax+By=O被確定需分兩步完成：

第1步，確定A的值，有4種不同的方法；

第2步，確定8的值，有3種不同的方法.

由分步乘法計數(shù)原理知，共可確定4X3=12條直線.

由分類加法計數(shù)原理知，方程所表示的不同直線的條數(shù)共有2+12=14.

答案14

11.(12分)某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排

版又會印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法？

解析第一類：既會排版又會印刷的2人全不被選出，即從只會排版的3人中選2人，

有3種選法；只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有3X1=3

種選法.

第二類：既會排版又會印刷的2人中被選出1人，有2種選法.若此人去排版，則再從

會排版的3人中選1人，有3種選法，只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步乘法

計數(shù)原理知共有2X3X1=6種選法；若此人去印刷，則再從會印刷的2人中選1人，有2

種選法，從會排版的3人中選2人，有3種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有2X3X2=12

種選法；再由分類加法計數(shù)原理知共有6+12=18種選法.

第三類：既會排版又會印刷的2人全被選出，同理共有16種選法.

所以共有3+18+16=37種選法.

答案37

12.(13分)有一項活動，需在3名老師、8名男同學和5名女同學中選部分人員參加.

(1)若只需一人參加，有多少種不同的選法？

(2)若需老師、男同學、女同學各一人參加，有多少種不同的選法？

(3)若需一名老師、一名同學參加，有多少種不同的選法？

解析(1)有三類：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學中選一人，有8種方法；

5名女同學中選一人，有5種方法.

由分類加法計數(shù)原理知，有3+8+5=16種選法.

(2)分三步：第1步選老師，有3種方法；第2步選男同學，有8種方法；第3步選女同

學，有5種方法.

由分步乘法計數(shù)原理知，共有3X8X5=120種選法.

(3)可分兩類，每一類又分兩步.

第1類，選一名老師再選一名男同學，有3X8=24種選法；

第2類，選一名老師再選一名女同學，共有3X5=15種選法.

由分類加法計數(shù)原理知，共有24+15=39種選法.

答案(1)16(2)120⑶39

§1.2排列與組合

§1.2.14E列

第1課時排列的概念及簡單排列問題

［課標解讀］

i.理解并掌握排列的概念.(重點)

2.理解并掌握樹形圖的應用，會用樹形圖解決簡單的排列問題.(難點)

一僦前眼，新知探究通教材/理知識/素養(yǎng)初成

D基礎知識整合

1.排列的概念

(1)元素：問題中被取的對象.

(2)排列：從“個不同元素中取出儂，個元素，按照一定的順序排成一列,叫做從“

個不同元素中取出m個元素的一個排列.

2.相同排列的兩個條件

(1)元素相同.

(2)順序相同.

「核心要點探究

知識點排列的概念

探究1：判斷一個計數(shù)問題是否為排列問題的關鍵是什么？

提示判斷一個計數(shù)問題是不是排列問題，關鍵看在安排取出的元素時是有序還是無

序，有序就是排列問題，無序就不是排列問題.

探究2：元素相同的兩個排列是否相同？兩個排列相同的充要條件是什么？

提示元素相同的兩個排列不一定相同.兩個排列相同的充要條件是元素完全相同，且

元素的排列順序也相同.

探究3:從1,2,3三個數(shù)中任取兩個數(shù)相除所得的商的個數(shù)與任取兩個數(shù)相乘所得的

積的個數(shù)相等嗎？二者有什么區(qū)別？

提示不相等.取兩數(shù)相除所得商共有6種；取兩數(shù)相乘所得的積共有3種，兩者的區(qū)

別在于有無順序，如取1,2兩數(shù)作商可得“2”和兩個結(jié)果，而相乘的積卻只有“2”一個

結(jié)果.

典例)副痂"?方法總結(jié)析典例/悟規(guī)律/素養(yǎng)培優(yōu)

I題型一排列曲蕊

[例1](1)下列問題是排列問題的為.

①選2個小組分別去植樹和種菜；

②選2個小組分別去種菜；

③某班40名同學在假期互發(fā)短信.

(2)給出以下問題：

①由1,2,3三個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？

②從40人中選5人組成籃球隊，有多少種不同的選法？

③從1,2,3,4中取兩個數(shù)可以組成多少個不同的集合？其中是排列問題的是

(只填序號).

【自主解答】(1)①是.植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.

②不是.選2個小組分別去種菜，不存在順序問題，不是排列問題.

③是.A給8發(fā)短信與3給A發(fā)短信是不同的，所以存在順序問題，是排列問題.

(2)①由1,2,3組成的三位數(shù)與順序有關，是排列問題；

②，③不存在順序問題，不是排列問題.

【答案】⑴①③⑵①

?規(guī)律總結(jié)

1.判斷一個具體問題是否為排列問題的兩個條件

(1)元素的無重復性：即從n個不同元素中取出皿mW")個不同元素.

(2)元素的有序性：即安排這個元素是有順序的，有順序的就是排列，否則就不是排

列.

O變式訓練

1.下列問題是排列問題嗎？并說明理由.

(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？

(2)從1,2,3,5四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？

(3)設m,”G{1,2,3,4,5,6},則可以構成多少個焦點在x軸上的橢圓￡+^=1?

解析(1)不是.如1+2與2+1結(jié)果一樣，即取出的這兩個元素相加結(jié)果一樣，所取元

素沒有順序性.

(2)是.從1,2,3,5四個數(shù)字中任取兩個做除法，有順序，符合排列的特點.

(3)不是.焦點在x軸上的橢圓，方程中的〃?，"必有,">〃，"?，〃的大小一定.

答案⑴不是(2)是(3)不是理由略

題型二排列的親法

［例2］寫出下列問題的所有排列：

(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？

(2)由1,2,3,4四個數(shù)字組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.

【自主解答】(1)所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,

共有12個不同的兩位數(shù).

(2)畫出樹形圖，如圖所示.

由上面的樹形圖知，所有的四位數(shù)為：

1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,

3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共

24個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).

【答案】（1）12個⑵24個列出略

?規(guī)律總結(jié)

在排列個數(shù)不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一

定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，在每一類中再按余下的元素在前

面元素不變的情況下確定第二個元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這

樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列.

O變式訓練

2.將玫瑰花、月季花、蓮花各一束分別送給甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少種

不同的分法？請將它們列出來.

解析按分步乘法計數(shù)原理的步驟：

第一步，分給甲，有3種分法；

第二步，分給乙，有2種分法；

第三步，分給丙，有1種分法.

故共有3X2X1=6種不同的分法.

列出這6種分法，如下：

甲乙丙

玫瑰花月季花蓮花

玫瑰花蓮花月季花

月季花玫瑰花蓮花

月季花蓮花玫瑰花

蓮花玫瑰花月季花

蓮花月季花玫瑰花

答案6種列出略

偏叔雄越，優(yōu)化探究練規(guī)范/套模板/素養(yǎng)提升

易錯誤區(qū)（二）忽視排列問題中的限制條件而致錯

O典題示例

［典例］在1,2,3,4的排列sa2a3a4中，滿足a\＞ai,ai＞ai,03X14的排列個數(shù)是.

【解析】首先注意住置的數(shù)比及位置的數(shù)大，可以借助樹形圖進行篩選.滿足。|＞。2

的樹形圖是：

其次滿足a3＞a2的樹形圖是:

X2-3-l

再滿足。3＞出的排列有：2143,3142,3241,4132,4231,共5個.

【答案】5

［易錯防范］

1.忽視。3＞。2及〃3＞。4的限制條件，導致錯填12或8.

2.兩個注意

解答有限制條件的簡單的排列問題時首先應注意限制條件是“位置”還是“元素”，其

次解決這類問題時應注意特殊位置、特殊元素優(yōu)先考慮的原則，做到不重不漏，如本例如＞。2,

。3＞。2,等特殊位置的處理.

3.轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合意識

有些非數(shù)學化的排列問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題后再求解，為了形象直觀，可借助樹形圖，

如本例中借助樹形圖使求解更加形象直觀，不重不漏.

O典題試解

某藥品研究所研制了5種消炎藥“1,（12,ai,44,as,4種退熱藥Zh,岳，加，Zu,現(xiàn)從

中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時進行療效試驗，但用，做兩種藥或同時用或同時不用，的，

仇兩種藥不能同時使用，試寫出所有不同試驗方法.

解析如圖,

同時用同時不用

（4種）

%用。3不用

（2x3種）（1x4種）

由樹形圖可寫出所有不同試驗方法如下：

a\aib\,用做岳，〃1。2岳，勿念仇，。3。4仇，a3a力2,。3。4岳，。3恁仇，。刈5岳，a3a5b3,gasbi,

44a5岳，a4a5b3,5b4,共14種.

答案略

繚含硼繚■?能力提升券基礎/提技能/素養(yǎng)達成

［限時50分鐘，滿分80分］

一'選擇題（每小題5分，共30分）

1.已知下列問題：

①從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學和物理學習小組；

②從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加一項活動；

③從a,b,c,d四個字母中取出2個字母；

④從1,2,3,4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù).

其中是排列問題的有

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析①是排列問題，因為兩名同學參加的活動與順序有關；②不是排列問題，因為兩

名同學參加的活動與順序無關；③不是排列問題，因為取出的兩個字母與順序無關；④是排

列問題，因為取出的兩個數(shù)字還需要按順序排成一列.

答案B

2.從甲、乙、丙三幅標語中選出兩幅，掛在教室南北兩面墻上，則不同的掛法種數(shù)共

解析樹形圖如下.

南墻北墻

共6種.

答案C

3.A,B,C三名同學照相留念，呈"一'’字形排隊，所有排列的方法種數(shù)為

A.3B.4C.6D.12

解析列舉如下：A—B—C,A—C—B,B—A—C,B—C—A,C~A—B,C—B—A.

答案C

4.用0,1,2組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，共有幾種不同的組法

A.3種B.4種C.5種D.6種

解析列舉如下：102,120,201,21()共4種.

答案B

5.同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，

則四張賀年卡不同的分配方式有

A.6種B.9種C.11種D.23種

解析解法一設四張賀年卡分別為A,B,C,0.由題意知，某人(不妨設為A卡的供

卡人)取卡的情況有3種，據(jù)此將卡的不同分配方式分為三類，對于每一類，其他人依次取卡

分步進行.

用樹狀圖表示，如圖.

^A—D—B

B—C—D—AC—D—A—B

^—D—A—C

y-A—B—C

D—C—A—B

C—B—A

共有9種不同的分配方式.

解法二讓A,B,C,。四人依次拿一張別人送出的賀年卡，則可以分三步：第1步,

A先拿，有3種不同的方法；第2步，讓被A拿走的那張賀年卡的主人拿，共有3種不同的

取法；第3步，剩下的兩個人都各有1種取法.由分步乘法計數(shù)原理知，四張賀年卡有

3X3XIX1=9種不同的分配方式.

答案B

6.用1,2,3,4,5這5個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為

A.24B.30C.4（）D.6（）

解析先排個位，有2種排法（即排2或4）;排十位，有4種排法；再排百位，有3種

排法.應用分步乘法計數(shù)原理，得符合題意的三位數(shù)個數(shù)為2X4X3=24.

答案A

二'填空題（每小題5分，共15分）

7.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為一.（把代號填上）

①甲乙、乙甲、甲丙，丙甲；

②甲乙，丙乙，丙甲；

③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；

④甲乙，甲丙，乙丙.

解析這是一個排列問題，與順序有關，任意兩人對應兩種站法，故③正確.

答案③

8.從2,3,5,7中每次選出兩個不同的數(shù)作為分數(shù)的分子、分母，則可產(chǎn)生不同的分

數(shù)的個數(shù)是,其中真分數(shù)的個數(shù)是.

解析第一步：選分子，可從4個數(shù)字中任選一個作分子，共有4種不同選法；第二步：

選分母，從剩下的3個數(shù)字中任選一個作分母，有3種不同選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共

22233G

有4X3=12種不同選法，其中真分數(shù)有^亍,,共6個.

答案126

9.從0,2,3,5這4個數(shù)字中選出2個不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，并按從小到大的順序

把這些兩位數(shù)排列起來，則52是第個數(shù).

解析組成一個兩位數(shù)分兩步，第一步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的選法，第二步：

選個位上的數(shù)字，有3種不同的選法，共有3X3=9個不同的兩位數(shù).于是52是第8個兩

位數(shù).

答案8

三、解答題（本大題共3小題，共35分）

10.（10分）寫出從a,h,c,d這4個字母中，每次取出2個字母的所有排列.

解析畫出樹形圖如圖所示.

因此，共計有12個不同的排列，它們是ab,ac,ad,ba,be,bd,ca,cb,cd,da,

db,de.

答案ab,ac,ad,ba,be,bd,ca,cb,cd,da,db,de

11.(12分)從0,1,2,3這四個數(shù)字中，每次取出3個不同數(shù)字排成一個三位數(shù).

(1)共能組成多少個不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù)；

(2)若組成的這樣的三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的

三位數(shù)共有多少個，并寫出這些三位數(shù).

解析(1)組成一個三位數(shù)分三個步驟.

第一步：選百位上的數(shù)字，考慮0不能排首位，故有3種不同選法.

第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同選法.

第三步：選個位上的數(shù)字，有2種不同選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有3義3義2=18個不同的三位?數(shù).

畫出下列樹形圖：

13

01301

A/\AAA

23030213030112020I

由樹形圖知，所有三位數(shù)為102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,

231,301,302,310,312,320,321.

(2)直接畫出樹形圖：

/0—1

2七8

共有8個三位數(shù)，它們是201,210,230,231,301,302,310,312.

答案(1)18個102,103,12(),123,130,132,201,203,210,213,23(),231,301,

302,310,312,320,321

(2)8個201,210,230,231,301,302,310,312

12.(13分)為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈

有紅、黃、藍共三種顏色，在安裝時要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至

少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？

解析由題意知，每種顏色的路燈至少要有2盞，這說明有三種顏色的路燈的分配情況

只能是2,2,3的形式.

不妨設紅的3個，七個位置分別用1,2,3,4,5,6,7表示，那么紅的可以排135,

136,137,146,147,157,246,247,257,357,共10種，其中135,136,146,247,257,

357會留下4個空，兩個不相鄰，兩個相鄰，連續(xù)的不能放一樣的顏色，那么就必須一藍一

黃，剩下兩個一黃一藍放到剩下的兩個不相鄰的空里，各4種，147留4個空，兩個兩個相

鄰，共4種放法.

137,157,四個空中3個相鄰，一個分開，各2種放法.

246,四個空都分開，有6種放法.

所以共有6X4+1X4+2X2+1X6=38（種），

當黃或藍有3個時，種數(shù)一樣，故一共有3X38=114種不同的放法.

答案U4種

第2課時排列與排列數(shù)公式

［課標解讀］

1.理解排列、排列數(shù)的概念.

2.了解排列數(shù)公式的推導，培養(yǎng)學生化歸的數(shù)學思想方法.

3.能用排列數(shù)公式計算排列數(shù).

■僦髓眼■?新知探究通教材/理知識/素養(yǎng)初成

D基礎知識整合

排列數(shù)及排列數(shù)公式

從n個不同元素中取出個元素的所有丕醛列的個數(shù)叫做從〃個

排列數(shù)定義

不同元素中取出m個元素的排列數(shù)

排列數(shù)表示法

排列乘積式人第=加〃-1)5-2)???(〃一，"+1)

數(shù)公n\

階乘式A片一/、.

式

招E質(zhì)A；；=/H,0!=1

備注n,小m^n

E3核心要點探究

知識點排列數(shù)的定義與排列數(shù)公式

探究1：閱讀排列數(shù)的定義，思考下列問題：

（1）把n個不同元素全部取出得到的排列數(shù)如何表示？

提示A；；

（2）一個排列與排列數(shù)有哪些不同？

提示“一個排列”是指：從“個不同元素中，任取，個元素按照一定的順序排

成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從“個不同元素中，任取皿mW")個元素的所有不同排列

的個數(shù)，是一個數(shù).

探究2：觀察排列數(shù)的兩個公式，思考下列問題：

(1)據(jù)排列數(shù)公式思考，對于式子Ag中的x有什么條件限制？

提示x<5,xGN*.

(2)在排列數(shù)公式的乘積式的右邊是多少個連續(xù)的自然數(shù)的乘積？

提示m個.

一例J副叫，方法總結(jié)析典例/悟規(guī)律/素養(yǎng)培優(yōu)

題型一排列數(shù)的計算問題

［例1］計算下列各題：

⑴AR；⑵錯誤!.

【自主解答】⑴A2=6!=6X5X4X3X2X1=720.

⑵錯誤！

_2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5

=8X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X5=1"

【答案】⑴720(2)1

?規(guī)律總結(jié)

排列數(shù)的計算方法

(