翻折與平移類幾何變換.學案.學生版

翻折與平移類幾何變換內(nèi)基本要求 略高要求 較高要求容了解全等三角形的概掌握兩個三角形全等的條件和全等會運用全等三角形的念，了解相似三角形全等三角形三角形的性質(zhì)；會應用全等三角形知識和方法解決有關與全等三角形之間的的性質(zhì)與判定解決有關問題問題關系一幾何變換之翻折常用輔助線：作垂線、連接對應頂點（構(gòu)造對稱三角形）技巧提煉：1．翻折之后會出現(xiàn)全等三角形，2．對稱軸是翻折對應點連線的中垂線．二幾何變換之平移常用輔助線：作平行線，（構(gòu)造平移三角形）技巧提煉：1．圖形平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等（或在同一直線上），即對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等．3．常見的構(gòu)造平移的方式：構(gòu)造平行線——平移線段構(gòu)造平行四邊形或者等邊三角形——平移圖形．考點一翻折模型考點說明：利用翻折構(gòu)造全等三角形，設未知量利用勾股解題F【例1】如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AD∥BC，AB＝DC．翻折紙片ABCD，使點B與點D重合，折痕為EF．已知DF⊥BC．（1）求證：EF∥AC；（2）若AD＝3，BC＝7，求折痕EF的長．【例2】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－(x－6與x軸、y軸分別相交于A、D兩點，點B在y軸上，現(xiàn)將△AOB沿AB翻折180°，使點O剛好落在直線AD的點C處．1）求BD的長．2）設點N是線段AD上的一個動點（與點A、D不重合），S△NBD＝S1，S△NOA＝S2，當點N運動到什么位置時，S1·S2的值最大，并求出此時點N的坐標．D3）在y軸上是否存在點M，使△MAC為直角三角形？若存在，請寫出所有符合條件的點M的坐標，并選擇一個寫出其求解過程；若不存在，簡述理由．【例3】如圖，平面直角坐標系中有一矩形紙片 OABC，O為原點，點A、C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為( ，1，在BC邊上選取適當?shù)狞c D，將△OCD沿OD翻折，點C落在點E處，得到△OED．1）若點E在一次函數(shù)y＝2x－1的圖象上（如圖1），求點D、點E的坐標；2）若點E在拋物線y＝ax2的圖象上，且△EAB是等腰三角形，求該拋物線的解析式；3）當線段OD與直線EA垂直時，在直線EA上是否存在點P，使得PB＋PD最小？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．ED(備用圖【例4】在平面直角坐標系中，Rt△AOB的直角頂點O在坐標原點，直角邊OA、OB分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，且OA＝4，OB＝3．動點P、Q分別從O、A同時出發(fā)，其中點P以每秒1個單位長度的速度沿OA方向向A點勻速運動，到達A點后立即以原速沿AO返回；點Q以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點勻速運動．當Q到達B時，、Q兩點同時停止運動．設運動時間為t（秒）．P1）求△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關系式；2）如圖1，在某一時刻將△APQ沿PQ翻折，使點A恰好落在AB邊的點C處，求此時△APQ的面積；3）在點P從O向A運動的過程中，在y軸上是否存在點D，使四邊形PQBD為等腰梯形？若存在，求點D的坐標；若不存在，請說明理由；4）如圖2，在P、Q兩點運動過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點E，交折線QB－BO－OP于點F．問：是否存在某一時刻t，使EF恰好經(jīng)過原點O，若存在，求相應的t值；若不存在，請說明理由．E備用圖圖1【例5】已知△ABC中，∠ACB＝2∠BAC，點E在邊AC上，且AE＝BE，CD平分∠ACB交AB于點D，連接DE．（1）如圖1，求證：BD＝ED；圖22）設線段CD、BE相交于點P，將∠BAC沿直線AC翻折得到∠B′AC（如圖2），射線AB′交BE延長線于點Q，連接CQ．若DE:BC＝2:3，求∠ACQ的正切值．圖1考點二 平移模型【例1】閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖，在梯形

中，

，對角線

、 相交于點

。若梯形

的面積為

，試求以

、 、

的長度為三邊長的三角形的面積。A DOB C小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計算其面積即可。他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題。他的方法是過點 作 的平行線交 的延長線于點，得到的 即是以 、 、 的長度為三邊長的三角形如圖，請你回答圖中 的面積等于__________參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：如圖， 的三條中線分別為 、 、AFB D⑴在圖中利用圖形變換畫出并指明以(保留畫圖痕跡

、 、 的長度為三邊長的一個三角形⑵若 的面積為 ，則以 、 、 的長度為三邊長的三角形的面積等于___________【例2】如圖，在

中，

，且

，以

為腰作等腰直角三角形

,以 為斜邊作等腰直角三角形

，連接

交于點

，求

的度數(shù)．DAEFBDC是的中線，是的中點，的延長線【例3】交于．求證：．【例4】如圖，已知⑴請你在邊上分別取兩點、(的中點除外，連結(jié)、，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；⑵請你根據(jù)使⑴成立的相應條件，證明．AABDECBC⑴【例

5】如圖所示，兩條長度為．

的線段

和 相交于

點，且

，求證：A

AC

CO

OB

BD

B‘

D【例

6】已知線段

、 、

、

、 、．

．且

．求證：．BAC OFED【例7】已知：矩形 內(nèi)有定點 ，試證： ．A DMB C【例

8】如圖所示，在六邊形

中，

，

，

，，

，

．又知對角線

，

厘米，

厘米．請你回答：六邊形

的面積是多少平方厘米？BAF

CDE【例9】如圖所示，在長方形 中，點 是邊 的中點，點 是邊 的中點， 與交于點 ．若 ，求 的度數(shù)．D N CM PA B【例10】如圖所示，在中，，為上的一點，且；為上的一點，且．連接、交于