北師大九下數(shù)學(xué)何時獲得最大利潤導(dǎo)學(xué)案

何時獲得最大利潤學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點【學(xué)習(xí)目標(biāo)】體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。掌握實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大值、最小值。【重點難點】1.應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題中的最值。2.能正確理解題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系。知識概覽圖新課導(dǎo)引【生活鏈接】某商店經(jīng)營T恤衫，已知成批購進時單價是元．根據(jù)市場調(diào)查，月銷售量與銷售單價之間滿足如下關(guān)系：在―段時間內(nèi)，單價是元時，月銷售量是500件，而單價每降低1元，就可以多售出200件．【問題探究】請你幫助分析一下，當(dāng)銷售單價是多少時，獲利最多?教材精華知識點1二次函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用求實際問題中二次函數(shù)的最值時，一般是求二次函數(shù)的條件最值，這就要求在列函數(shù)解析式的同時，應(yīng)求出自變量x的取值范圍．下面我們來研究“生活鏈接”中的實際問題．設(shè)銷售單價為x(0＜x≤元，則：月銷售量為500＋200－x)＝3200－200x，銷售額為x(3200－200x)=3200x－200x2，所獲利潤為(x－(3200－200x)＝－200x2＋3700x－8000．當(dāng)銷售單價是元時(x＝－)，可以獲得最大利潤，最大利潤是元(y＝)．拓展函數(shù)應(yīng)用題主要考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，把實際問題轉(zhuǎn)化成“函數(shù)模型”是解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵．知識點2求二次函數(shù)最值的方法對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)自變量x為全體實數(shù)時，求它的最大值和最小值常用的方法有三種．(1)配方法．y=ax2＋bx＋c=a(x2＋x＋)=a=a若a＞0，則當(dāng)x＝－時，y最小值=;若a＜0，則當(dāng)x＝－時，y最大值=．(2)公式法．直接使用上述由配方法得到的結(jié)論．(3)判別式法．在y=ax2＋bx＋c(a≠0)中，把y看做已知數(shù)，得到關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋(c－y)＝0．若x是任意實數(shù)，則應(yīng)有△=b2－4a(c－y)≥0，∴4ay≥4ac－b當(dāng)a＞0時，y≥，此時y最小值=；當(dāng)a＜0時，y≤，此時y最大值=．若需要求出x的值，則將y＝代入ax2＋bx＋(c－y)＝0，就可以求出x的值．例如：求二次函數(shù)y=x2＋3x＋的最小值．解法1：(公式法)∵a＝＞0,∴當(dāng)x=－＝－＝－3時，y最小值===－4．解法2：(配方法)∵y＝x2＋3x＋=(x2＋6x＋1)=(x2＋6x＋9－9＋1)=[(x＋3)2－8]=(x＋3)2－4，當(dāng)x=－3時，y有最小值－4．解法3：(判別式法)∵y=x2＋3x＋，∴x2＋6x＋(1－2y)=0．∴x是任意實數(shù)，∴△＝36－4(1－2y)≥0，∴y≥－4，即y有最小值－4．此時x2＋6x＋9=0，即x＝－3．┃規(guī)律方法小結(jié)┃在求二次函數(shù)的最值時，要注意比較利用哪種方法求解更簡捷．在解題過程中，通過類比的方法，學(xué)會一題多解，選準(zhǔn)問題的突破口，尋求最合理的解題方法．求實際問題中的二次函數(shù)最值問題時，設(shè)法把關(guān)于最值的實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，然后按二次函數(shù)最值的求法求解．步驟如下：①利用題中的已知條件和學(xué)過的有關(guān)數(shù)學(xué)公式列出關(guān)系式；②把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的解析式；③求二次函數(shù)的最大值或最小值．課堂檢測基礎(chǔ)知識應(yīng)用題1、求二次函數(shù)y＝x2－2x－3的最大值或最小值．2、求函數(shù)y＝2x2－3x－2的最大值或最小值．3、某商場購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元售出，那么每月可售出500個．根據(jù)銷售經(jīng)驗，售價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10個．(1)假設(shè)銷售單價提高x元，那么銷售每個籃球所獲得的利潤是元，這種籃球每月的銷售量是個；(用含x的代數(shù)式表示)(2)判斷8000元是否為每月銷售這種籃球的最大利潤．如果是，請說明理由；如果不是，求出最大利潤，此時籃球的銷售單價為多少元?綜合應(yīng)用題4、某機械租賃公司有同一型號的機械設(shè)備40套．經(jīng)過一段時間的經(jīng)營發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每套機械設(shè)備的月租金為270元時，恰好全部租出．在此基礎(chǔ)上，當(dāng)每套設(shè)備的月租金每提高10元時，這種設(shè)備就少租出一套，且未租出的一套設(shè)備每月需要支出費用(維護費、管理費等)20元．設(shè)每套設(shè)備的月租金為x(元)，租賃公司出租該型號設(shè)備的月收益(收益=租金收入一支出費用)為y(元)．(1)用含x的代數(shù)式表示未租出的設(shè)備數(shù)(套)以及所有未租出的設(shè)備數(shù)(套)的支出費用；(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)月租金分別為300元和350元時，租賃公司的月收益分別是多少元?此時應(yīng)該出租多少套機械設(shè)備?請簡要說明理由；(4)請把(2)中所求的二次函數(shù)配方成y=a＋的形式，并據(jù)此說明，當(dāng)x為何值時，租賃公司出租該型號設(shè)備的月收益最大?最大月收益是多少?探索與創(chuàng)新題5、某通訊器材公司銷售一種市場需求量較大的新型通訊產(chǎn)品．已知每件產(chǎn)品的進價為40元，每年銷售該種產(chǎn)品的總開支(不含進價)總計120萬元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間存在著如圖2－84所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品的年獲利z(萬元)與銷售單價x(元)的函數(shù)關(guān)系式(年獲利＝年銷售額一年銷售產(chǎn)品總進價一年總開支)．當(dāng)銷售單價x為何值時，年獲利最大?并求這個最大值；(3)若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于40萬元，試畫出函數(shù)圖象，并幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產(chǎn)品銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價應(yīng)定為多少元?6、A，B兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模(產(chǎn)量)進行調(diào)查，提供了兩個方面的信息，如圖2－86所示，A調(diào)查表明：每個甲魚池平均年產(chǎn)量由第1年的l萬只甲魚上升到第6年的2萬只；B調(diào)查表明：甲魚池個數(shù)由第1年的30個減少到第6年的10個．(1)求第2年甲魚池的個數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚的總數(shù)；(2)到第6年這個縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第1年擴大了還是縮小了?請說明理由；(3)哪一年的規(guī)模最大?請說明理由．體驗中考1、某商品的進價為每件30元，現(xiàn)在的售價為每件40元，每星期可賣出150件，市場調(diào)查反映：如果每件的售價每漲1元(售價每件不能高于45元)，那么每星期少賣10件．設(shè)每件漲價x元(x為非負(fù)整數(shù))，每星期的銷量為y件．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；(2)如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大?每星期的最大利潤是多少?2、隨著南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖2－88所示；種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖2－89所示．(注：利潤與投資量的單位：萬元)(1)分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤?他能獲取的最大利潤是多少?學(xué)后反思 附：課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、┃分析┃求最值的方法很多，根據(jù)需要靈活選用．解法1：由a＝1＞0，知拋物線開口向上，∴當(dāng)x=－＝=1時，y最小值＝＝＝－4．解法2：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∵a＞0，∴當(dāng)x＝1時，y最小值=－4．【解題策略】求二次函數(shù)的最值時，應(yīng)根據(jù)具體情況選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ诒纠校夥?應(yīng)用了公式法，而解法2應(yīng)用了配方法．2、┃分析┃本題可以用判別式法來解．解：把函數(shù)y＝2x2－3x－2變形為2x2－3x－(2＋y)＝0．∵x為任意實數(shù)，∴△=b2－4ac≥0，即(－3)2＋4×2×(y＋2)≥解得y≥－，∴函數(shù)y=2x2－3x－2的最小值為－．【解題策略】用判別式法求二次函數(shù)的最大值或最小值，有時比公式法和配方法更簡捷．3、┃分析┃明確題目中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解：(1)(10＋x)(500－l0x)．(2)設(shè)月銷售利潤為y元，由題意得y=(10＋x)(500－l0x)，整理得y=－l0(x－20)2＋9000．當(dāng)x＝20時，y的最大值為9000，20＋50＝70．答：8000元不是最大利潤，最大利潤為9000元，此時籃球的銷售單價為70元．【解題策略】月銷售利潤＝每個籃球的銷售利潤×每月籃球的銷售量，明確這一關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．4、┃分析┃解決此題的關(guān)鍵是求函數(shù)關(guān)系式，難點是第(3)問，第(4)問計算比較復(fù)雜．解：(1)未租出的設(shè)備為套，所有未租出的設(shè)備的支出費用為(2x－540)元．(2)y=(40－)x－(2x－540)=x2＋65x＋540．即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=x2＋65x＋540．(3)當(dāng)月租金為300元時，租賃公司的月收益為11040元，此時租出37套機械設(shè)備；當(dāng)月租金為350元時，租賃公司的月收益為11040元，此時租出32套設(shè)備．因為出租37套和32套機械設(shè)備獲得同樣的收益，如果考慮減少機械設(shè)備的磨損，應(yīng)該選擇出租32套；如果考慮市場的占有率，應(yīng)該選擇出租37套．(4)y＝x2＋65x＋540=(x2－2×325x＋3252)＋540＋×3252=(x－325)2＋，∴當(dāng)x＝325時，y有最大值．但是，當(dāng)月租金為325元時，租出機械設(shè)備套數(shù)為，而不是整數(shù)，故租出設(shè)備應(yīng)為34(套)或35(套)．即當(dāng)月租金為330元(租出34套)或月租金為320元(租出35套)時，租賃公司的月收益最大，最大月收益均為11100元．【解題策略】認(rèn)真審題、全面考慮、準(zhǔn)確計算．5、┃分析┃(1)一次函數(shù)解析式易求得．(2)銷售額等于銷售單價乘以銷售量．(3)結(jié)合圖象說明．解：(1)設(shè)y＝kx＋b，由圖象知一次函數(shù)圖象過點(60，5)，(80，4)，∴解得＋8．(2)z=yx－40y－120=(－x＋8)(x－40)－120=x2＋10x－440=(x－100)2＋60，∴當(dāng)x＝100時，即銷售單價為100元時，年獲利最大，最大值為60萬元．(3)令z=40，得40=x2＋10x－440，即x2－200x＋9600=0，解得xl=80，x2＝120．畫出圖象如圖2－85所示，由圖象可知，要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應(yīng)在80元到120元之間．又因為銷售價越低，銷售量越大，所以要使銷售量最大，又要使年獲利不低于40萬元，銷售單價應(yīng)定為80元．【解題策略】認(rèn)真觀察圖象獲取有用信息．能夠在閱讀文字，觀察圖形的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)圖象求點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解析式，再列出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題中的最值問題．6、┃分析┃(1)由圖象可知，第2年的甲魚池個數(shù)為26，每個甲魚池平均年產(chǎn)量為萬只，出產(chǎn)甲魚總數(shù)為×26=(萬只)．(2)規(guī)模縮小了，因為第1年出產(chǎn)甲魚30×l=30(萬只)，第6年出產(chǎn)甲魚2×10=20(萬只)．(3)列出yA，yB，總產(chǎn)值是yA·yB，求其最大值即可．解：(1)由圖2－86(2)知，第2年甲魚池個數(shù)為26，由圖2－86(1)知，第2年每個甲魚池平均年產(chǎn)量為萬只，∴全縣出產(chǎn)甲魚的總數(shù)為×26＝(萬只)．(2)規(guī)模縮小了．因為第一年出產(chǎn)甲魚30×1＝30(萬只)，而第6年出產(chǎn)甲魚2×10＝20(萬只)．(3)由圖2－86(1)知，直線yA=kx＋b經(jīng)過點(1，1)和點(6，2)，將這兩點坐標(biāo)代入，得解得∴yA=＋．同理，由圖2－86(2)得yB＝－4x＋34．設(shè)第x年規(guī)模最大，則yA·yB=＋·(－4x＋34)＝－＋＋．∵a=－＜0，∴當(dāng)x=－=－＝≈2時，yA·yB有最大值，且最大值是．即第2年規(guī)模最大，出產(chǎn)甲魚萬只．【解題策略】此題把圖象信息、閱讀理解、探索性問題巧妙地綜合在一起，要求學(xué)生在讀懂文字、圖形的基礎(chǔ)上，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)圖象求點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．體驗中考1、┃分析┃本題考查二次函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用．解：(1)y＝150－10x，0≤x≤5，且x為整數(shù)．(2)W＝(10＋x)(150－10x)＝－10(x－2＋，當(dāng)x＝2或3時，W取最大值．當(dāng)x=2時，y＝130，當(dāng)x＝3時，y=120．因此，為使利潤最大且銷量較大，應(yīng)定價為42元，此時最大利潤為1560元．2、┃分析┃本題考查利用二次函數(shù)解決實際問題中的最大利潤問題．解：(1)設(shè)y1＝kx，y2=ax2，由圖可知2=k·1，2=a·22，解得k＝2，a=.∴y1＝2