北師大版2022高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理考點(diǎn)演練正弦余弦定理的應(yīng)用舉例

第八節(jié)正弦、余弦定理的應(yīng)用舉例1.(2022·安徽合肥模擬)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且面積S△ABC＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，則A等于()A.45°B.30°C.120°D.15°2.(2022·濰坊四縣聯(lián)考)如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，可以計(jì)算出A、BA.50eq\r(2)mB.50eq\r(3)mC.25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m3.(2022·山東德州模擬)在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是()A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形4.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°5.一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這只船的速度是每小時(shí)()A.5海里B.5eq\r(3)海里C.10海里D.10eq\r(3)海里6.(2022·課標(biāo)全國(guó)卷)在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC＝3BD，AD＝eq\r(2)，∠ADB＝135°.若AC＝eq\r(2)AB，則BD＝______.7.如圖，為了開(kāi)鑿隧道，要測(cè)量隧道上D、E間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)點(diǎn)C，測(cè)得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，又測(cè)得A、B兩點(diǎn)到隧道口的距離AD＝80m，BE＝40m(A、D、E、8.(改編題)在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，則△ABC的面積S＝________.9.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處．小區(qū)里有兩條筆直的小路AD、DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)(精確到1米)．10.(2022·山東東營(yíng)模擬)現(xiàn)有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A，某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40eq\r(2)海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°＋θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinθ＝\f(\r(26),26)，0°<θ<90°))且與點(diǎn)A相距10eq\r(13)海里的位置C.求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí))．

第八節(jié)正弦、余弦定理的應(yīng)用舉例1．解析：∵S△ABC＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)＝eq\f(1,2)bcsinA，∴sinA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝cosA，∴A＝45°，故選A.答案：A2．解析：在△ABC中，∠B＝30°，由eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，得AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．答案：A3．解析：∵C＝π－(A＋B)，∴由2cosBsinA＝sinC，得2cosBsinA＝sin(A＋B)，即2cosBsinA＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，∴△ABC為等腰三角形，故選B.答案：B4．解析：由圖可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°.∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°.∵CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°，∴∠ABD＝60°－50°＝10°，∴燈塔A在燈塔B的北偏西10°.答案：B5．解析：如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度是eq\f(5,＝10(海里/小時(shí))．答案：C解得r＝eq\f(4900,11)≈445(米)．方法二：如圖，連接AC，作OH⊥AC，交AC于H.由題意得CD＝500(米)，AD＝300(米)，∠CDA＝120°，△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos120°＝5002＋3002＋2×500×300×eq\f(1,2)＝7002，∴AC＝700(米)，cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2·AC·AD)＝eq\f(11,14).在Rt△HAO中，AH＝350(米)，cos∠HAO＝eq\f(11,14)，∴OA＝eq\f(AH,cos∠HAO)＝eq\f(4900,11)≈445(米)．10．解析：如圖所示，AB＝40eq\r(2)，AC＝10eq\r(13)，∠BAC＝θ，sinθ＝eq\f(\r(26),26).由于0°<θ<90°，所以cosθ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2