2022年福建省莆田市東嶠中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2022年福建省莆田市東嶠中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則其解析式可以是（

） A．

B． C．

D．

參考答案：B略2.若是互相垂直的單位向量且，則（

）A.3 B.-3 C.1 D.-1參考答案：B【分析】由向量垂直的數(shù)量積表示化簡(jiǎn)求解.【詳解】由題得故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量垂直的數(shù)量積表示，考查數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均數(shù)為a，x4，x5，x6，…，x10的平均數(shù)為b，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()參考答案：B略4.已知向量，的夾角為，且||=，||=4，則?的值是（）A．1 B．2 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知中向量，的夾角為，且，代入向量數(shù)量積公式，即可得到答案．【解答】解：∵向量，的夾角為，且∴?===1故選A5.在中,分別為角所對(duì)的邊,且，，，則邊的值為

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A6.等于(

)A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：兩角和的正弦公式7.如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B．16 C． D．48參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由題意，直觀圖是放倒的四棱錐，棱錐的高為4，底面為主視圖，是梯形，上底2，下底6，高為4，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，直觀圖是放倒的四棱錐，棱錐的高為4，底面為主視圖，是梯形，上底2，下底6，高為4，面積為=16，∴四棱錐的體積==，故選A．8.（5分）設(shè)α∈，則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有α的值為（） A． ﹣1，1，3 B． ，1 C． ﹣1，3 D． 1，3參考答案：D考點(diǎn)： 冪函數(shù)的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，我們分別討論a為﹣1，1，，3時(shí)，函數(shù)的定義域和奇偶性，然后分別和已知中的要求進(jìn)行比照，即可得到答案．解答： 當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，不滿足定義域?yàn)镽；當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，滿足要求；當(dāng)a=函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0}，不滿足定義域?yàn)镽；當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，滿足要求；故選：D點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域及其求法，其中熟練掌握冪函數(shù)的性質(zhì)，特別是定義域和奇偶性與指數(shù)a的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．9.已知，，，則三者的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B，，，又∴，即，故選B.

10.若則（

）.A．

B．

C．

D．參考答案：.D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列命題：①函數(shù)f(x)=|sin2x+|的周期為；②函數(shù)g(x)=sin在區(qū)間上單調(diào)遞增；③是函數(shù)h(x)=sin的圖象的一系對(duì)稱軸；④函數(shù)y=tanx與y=cotx的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)是

.參考答案：解析：①②④本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)等基本知識(shí).①f(x)=2|sin(2x+)|，T=；②g(x)=cosx在上遞增；③而h(x)=sin(2x+)=cosx顯然圖象不關(guān)于x=對(duì)稱；④顯然由基本圖象可知顯然正確.12.函數(shù)的值域是________________________.參考答案：13.已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為． 參考答案：15【考點(diǎn)】余弦定理；數(shù)列的應(yīng)用；正弦定理． 【分析】因?yàn)槿切稳厴?gòu)成公差為4的等差數(shù)列，設(shè)中間的一條邊為x，則最大的邊為x+4，最小的邊為x﹣4，根據(jù)余弦定理表示出cos120°的式子，將各自設(shè)出的值代入即可得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的邊長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積． 【解答】解：設(shè)三角形的三邊分別為x﹣4，x，x+4， 則cos120°==﹣， 化簡(jiǎn)得：x﹣16=4﹣x，解得x=10， 所以三角形的三邊分別為：6，10，14 則△ABC的面積S=×6×10sin120°=15． 故答案為：15 【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題． 14.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：15.（5分）已知直線+y﹣4=0與圓x2+y2=9相交于M，N兩點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度為

．參考答案：2考點(diǎn)： 直線與圓相交的性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；直線與圓．分析： 利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心（0，0）到直線+y﹣4=0的距離d，再由弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)．解答： 圓心（0，0）到直線+y﹣4=0的距離d==2，半徑r=3，故弦長(zhǎng)為2=2，故答案為：2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，求出圓心（0，0）到直線+y﹣4=0的距離d，是解題的關(guān)鍵．16.（5分）已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是40，則扇形面積的最大值為

．參考答案：100考點(diǎn)： 扇形面積公式．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，則l+2r=40，利用扇形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可求得扇形面積的最大值．解答： 設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，則l+2r=40，∴S==（40﹣2r）r=r≤=100，當(dāng)且僅當(dāng)20﹣r=r，即r=10時(shí)，扇形面積的最大值為100．故答案為：100．點(diǎn)評(píng)： 本題考查扇形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，確定扇形的面積是關(guān)鍵．17.如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸、y軸正半軸（含原點(diǎn)）滑動(dòng)，則的最大值為__________．參考答案：2【分析】設(shè),根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求得，，利用平面向量的數(shù)量積公式以及正弦函數(shù)的最值求解即可.詳解】設(shè)由于，故又因?yàn)?，，所以，則同理可得當(dāng)時(shí)，的最大值為2.故本題的正確答案為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積公式以及正弦型函數(shù)的最值，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）如圖，有一塊半徑為2的半圓形紙片，計(jì)劃剪裁成等腰梯形

的形狀，它的下底是⊙的直徑，上底的端點(diǎn)在圓周上，設(shè)，梯形的周長(zhǎng)為。（1）求出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）求的最大值，并指出相應(yīng)的值．

參考答案：（14分）

(1)作分別垂直交于，連結(jié)．……………2分由圓的性質(zhì)，是中點(diǎn)，設(shè)………4分又在中，

……………6分所以………7分其定義域是………………8分(2)令，則，且………10分所以………………12分當(dāng)時(shí)，的最大值是………略19.某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，愛我中華”的知識(shí)競(jìng)賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問題：

(1)求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分；(3)從成績(jī)是[40,50)和[90,100]的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．

參考答案：(1)因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，故第四組的頻率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.其頻率分布直方圖如圖所示．

(2)依題意，60分及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75.所以，估計(jì)這次考試的合格率是75%.利用組中值估算這次考試的平均分，可得：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估計(jì)這次考試的平均分是71分．(3)[40,50)與[90.100]的人數(shù)分別是6和3，所以從成績(jī)是[40,50)與[90,100]的學(xué)生中選兩人，將[40,50]分?jǐn)?shù)段的6人編號(hào)為A1，A2，…A6，將[90,100]分?jǐn)?shù)段的3人編號(hào)為B1，B2，B3，從中任取兩人，則基本事件構(gòu)成集合Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A6)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，A4)，…，(B2，B3)}共有36個(gè)，其中，在同一分?jǐn)?shù)段內(nèi)的事件所含基本事件為(A1，A2)，(A1，A3)…(A1，A6)，(A2，A3)…(A5，A6)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共18個(gè)，故概率P＝＝.

20.已知函數(shù)f（x）=﹣ax2，其中a∈R．（1）若a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣x2，令﹣x2=0，可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若x＞0，由函數(shù)f（x）=0得：ax2+2ax﹣1=0，進(jìn)而可證得f（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣x2，令﹣x2=0，可得可得x=0，或x2+2x﹣1=0，解得x=0，或x=﹣1﹣，或x=﹣1+．綜上可得，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x=0，或x=﹣1﹣，或x=﹣1+（2）證明：∵當(dāng)a＞0時(shí)，x＞0，由函數(shù)f（x）=0得：ax2+2ax﹣1=0，記g（x）=ax2+2ax﹣1，則g（x）的圖象是開口朝上的拋物線，由g（0）=﹣1＜0得：函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)21.已知函數(shù)f（x）=a﹣（a∈R）．（1）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）是奇函數(shù)？并說明理由；（2）在（1）的條件下，當(dāng)x＞0時(shí)，f（kx）+f（﹣2﹣x2）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解a的值即可；（2）判斷f（x）的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性脫去“f”，轉(zhuǎn)化為不等式問題求解實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=1函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．證明：由f（﹣x）=﹣f（x）得，，解得：a=1．（2）函數(shù)．任取x1，x2∈R，設(shè)x1＜x2，則，因?yàn)楹瘮?shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且x1＜x2，所以，又，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（kx）+f（﹣2﹣x2）＜0等價(jià)于f（kx）＜﹣f（﹣2﹣x2）=f（2+x2），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上是增函數(shù)，所以kx＜2+x2，所以當(dāng)x＞0時(shí)恒成立．設(shè)，任取x1，x2，且0＜x1＜x2，則，當(dāng)且x1＜x2時(shí)，x2﹣x1＞0，x1x2﹣2＜0，x1x2＞0，所以g（x2）＜g（x1），所以g（x）在上是減函數(shù)；當(dāng)且x1＜x2時(shí)，x2﹣x1＞0，x1x2﹣2＞0，x1x2＞0，所以g（x2）＞g（x1），所以g（x）在上是增函數(shù)，所以，即，另解：∵x＞0設(shè)=，（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)）∴k．所以k的取值范圍為．22.（10分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且滿足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由滿足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．整理得﹣=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由（1）知：cn==n?3n，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式