2022年廣東省梅州市東石中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

2022年廣東省梅州市東石中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，，，，則a、b、c的大小關系為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質得到，，，即可得解；【詳解】解：因為，定義域為，故函數(shù)是奇函數(shù)，又在定義域上單調遞增，在定義域上單調遞減，所以在定義域上單調遞增，由，，所以即故選：A【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質的應用，屬于基礎題.2.若將函數(shù)f（x）=x5表示為f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則a3=（）A．15 B．5 C．10 D．20參考答案：C【考點】二項式系數(shù)的性質．【專題】二項式定理．【分析】由題意可得[﹣1+（x+1）]5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，故有a3=（﹣1）2?，計算可得結果．【解答】解：由題意可得f（x）=[﹣1+（x+1）]5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，∴a3=（﹣1）2?=10，故選：C．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎題．3.若，是兩個非零向量，則“”是“”的（

）（A）充分不必要條件

（B）充要條件

（C）必要不充分條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：B略4.已知，，，則以下結論正確的是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．，大小不定

參考答案：Ｂ5.圓與直線有公共點的充分不必要條件是

（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B6.i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（1+i）=i，則|z|=（）A. B. C.1 D.參考答案：B試題分析：由得，所以，故答案為B．考點：復數(shù)的運算．7.已知函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x﹣2），y=f（x﹣2）關于y軸對稱，當x∈（0，2）時，f（x）=log2x2，則下列結論中正確的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5） B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5） C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5） D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）參考答案：A【考點】抽象函數(shù)及其應用．【分析】求解本題需要先把函數(shù)的性質研究清楚，由三個條件知函數(shù)周期為4，其對稱軸方程為x=2，在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，觀察四個選項發(fā)現(xiàn)自變量都不在已知的單調區(qū)間內(nèi)故應用相關的性質將其值用區(qū)間[0，2]上的函數(shù)值表示出，以方便利用單調性比較大小【解答】解：∵f（x+2）=f（x﹣2），y=f（x﹣2）關于y軸對稱，∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，其圖象的對稱軸為x=2，∵當x∈（0，2）時，f（x）=log2x2，∴f（x）在區(qū)間（0，2）是增函數(shù)；∴f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2﹣0.5）=f（1.5），∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），故選：A．8.若事件與相互獨立，且，則的值等于（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B解析：＝＝9.下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關于原點對稱的函數(shù)是（）A．y=cos（2x+） B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx參考答案：A【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質．【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可．【解答】解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確y=sin（2x+）=cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；y=sinx+cosx=sin（x+），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；故選：A．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的奇偶性以及紅絲帶周期的求法，考查計算能力．10.（04年全國卷IV理）設函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）

A．0

B．1

C．

D．5參考答案：

答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

在三棱錐V-ABC中，底面，若VA=1，AB=2，BC=3，則三棱錐外接球的表面積為___________________。參考答案：答案：（面積單位）；12.已知一個奇函數(shù)的定義域為則=__________.參考答案：-1略13.設正數(shù)滿足，則

.參考答案：【知識點】基本不等式E6：∵正數(shù)a，b，c滿足，

∴（a+b+c）(++)=14+++++++2+236當且僅當2c=3b=6a時取等號．∴=．【思路點撥】由于正數(shù)a，b，c滿足，可得（a+b+c）(++)=14++++++，再利用基本不等式的性質即可得出．14.不等式的解集為

．參考答案：15.如圖，有一塊半徑為20米，圓心角的扇形展示臺，展示臺分成兩個區(qū)域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD（其中）.某次菊花展分別在這四個區(qū)域擺放：泥金香紫龍臥雪、朱砂紅霜，預計這三種菊花展示帶來的日效益分別是：50元/米2,，30元/米2,，40元/米2,，為使預計日總效益最大，的余弦值應等于

.參考答案：設日總效益設為，則,又由，可得，解得，由，函數(shù)遞增，，函數(shù)遞減，既有，即由時，預計日收益最大，所以的余弦值為．

16.記，設，若對一切實數(shù)，，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：.17.某工程的橫道圖如圖：則該工程的總工期為天．參考答案：47【考點】流程圖的作用．【專題】計算題；圖表型；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；算法和程序框圖．【分析】本題考查的是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型的問題．在解答時，應結合所給表格分析好可以合并的工序，注意利用優(yōu)選法對重復的供需選擇用時較多的．進而問題即可獲得解答．【解答】解：7+5+20+10+2+3=47，可得完成這項工程的總工期為47天．故答案為：47．【點評】本題考查的是流程圖，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了優(yōu)選法的利用、讀圖表審圖表的能力以及問題的轉化和分析能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，是的等差中項，數(shù)列{an+bn}??的前n項和為Sn＝n2+n.（1）求數(shù)列{an}的通項公式;（2）求數(shù)列{bn}的通項公式.參考答案：（1）由題可知，，又，即，或（舍去）.（2）數(shù)列的前項和為，當時，當時，.，經(jīng)檢驗，滿足上式，.

19.已知函數(shù)f（x）=ex（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表達式；（Ⅱ）若n=4時方程f（x）=g（x）在上恰有兩個相異實根，求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數(shù)n．參考答案：考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（1）T（x）=ex（x+1﹣），求導T′（x）=ex（x+1）；從而確定函數(shù)的最大值；（2）n=4時，方程f（x）=g（x）可化為m=ex﹣2x；求導m′=ex﹣2，從而得到函數(shù)的單調性及取值，從而求m的取值范圍；（3）由題意，p（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x+，故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為p（x）＞0恒成立；從而化為最值問題．解答： 解：（Ⅰ）m=1﹣時，T（x）=ex（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=ex（x+1），①當n=0時，T′（x）=ex＞0，T（x）在上為增函數(shù)，則此時φ（n）=T（1）=e；②當n＞0時，T′（x）=ex（x+）在（﹣，+∞）上為增函數(shù)，故T（x）在上為增函數(shù)，此時φ（n）=T（1）=e；

③當n＜0時，T′（x）=ex（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上為增函數(shù)，在（﹣，+∞）上為減函數(shù)，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2時，故T（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，此時φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣?，若﹣≥1﹣2≤n＜0時，T（x）在上為增函數(shù)，則此時φ（n）=T（1）=e；∴綜上所述：φ（n）=；

（Ⅱ）設F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣2x﹣m，∴F′（x）=ex﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上單調遞減；在（ln2，+∞）上單調遞增；

∴F（x）=ex﹣2x﹣m在上恰有兩個相異實根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴實數(shù)m的取值范圍是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由題設：?x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=ex﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上單調遞減；在（ln，+∞）上單調遞增，∴（*）?p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，設h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，則h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上單調遞增；在（2，+∞）上單調遞減，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈20.如圖5，已知拋物線C:和圓M：，過拋物線C上一點H作兩條直線與圓M相切于A,B兩點，圓心M到拋物線準線的距離為.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值.

參考答案：(1)(2)解析：（1）∵點到拋物線準線的距離為，∴，即拋物線的方程為．（2）方法一：設，∵，∴，可得，直線的方程為，同理，直線的方程為，∴，，∴直線的方程為，令，可得，∵關于的函數(shù)在上單調遞增，∴．方法二：設點，，．以為圓心，為半徑的圓方程為，①⊙M方程為．②①②整理得直線的方程為：．當時，直線在軸上的截距，∵關于的函數(shù)在上單調遞增，∴．

略21.已知函數(shù)，.（1）求過點的f(x)的切線方程；（2）當時，求函數(shù)在(0,a]的最大值；（3）證明：當時，不等式對任意均成立（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.718…）.參考答案：解：（1）設切點坐標為，則切線方程為，將代入上式，得，，∴切線方程為；（2）當時，，，∴，，當時，，當時，，∴在遞增，在遞減，∴當時，的最大值為；當時，的最大值為；（3）可化為，設，，要證時對任意均成立，只要證，下證此結論成立.∵，∴當時，，設，則，∴在遞增，又∵在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，且，，∴使得，即，，當時，；當時，，；∴函