名師教案 人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊2.7.1拋物線的標準方程

課程基本信息課題2.7.1拋物線的標準方程教科書書名：普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊B版出版社：人民教育出版社出版日期：2020年8月教學目標教學目標：類比橢圓、雙曲線，理解拋物線的概念；會推導和應用拋物線的標準方程教學重點：拋物線的概念與標準方程教學難點：拋物線的標準方程的推導教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動2分情境與問題拋物線這個幾何對象，我們并不陌生.例如，從物理學中我們知道，一個向上斜拋的乒乓球，其運動軌跡是拋物線的一部分，如圖所示；二次函數(shù)的圖像是一條拋物線；等等.到底什么是拋物線呢？拋物線有沒有一個類似于圓、橢圓或雙曲線的定義呢？本節(jié)課我們要探討的就是拋物線的定義及其標準方程.5分拋物線的定義一般地，設F是平面內(nèi)的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線.另外，從本章導語中可以看出，拋物線也可以通過用平面截圓錐面得到，因此拋物線是一種圓錐曲線.10分拋物線的標準方程《嘗試與發(fā)現(xiàn)》怎樣從數(shù)學上證明滿足拋物線定義的點一定是存在的？這樣的點有多少個？你能想到什么辦法來解決這兩個問題？同橢圓、雙曲線的情形一樣，下面我們用坐標法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出拋物線的標準方程.《探究》為了方便，過拋物線的焦點F作準線l的垂線，記垂足為K，設KF=p（即F到準線l的距離為p），因為直線l不過點F，所以如圖，以直線KF為x軸，線段KF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.此時，拋物線的焦點為Fp2，0設M(x，y)是拋物線上一點，則M到F的距離為MF=x-p22+y2，M到F直線上式兩邊平方，整理可得y2=方程①就是拋物線的方程，通常稱為焦點在x軸正半軸上的拋物線的標準方程.顯然，滿足方程①的點的坐標有無窮多組，這無窮多組解對應的點組成的拋物線如圖所示.《嘗試與發(fā)現(xiàn)》如果建立的平面直角坐標系分別如圖（1）（2）（3）所示，其他不變，則拋物線的焦點坐標和準線方程有變化嗎？此時能夠通過①式得到拋物線的標準方程具有的形式呢？可以看出，如果按照圖（1）的方式建立平面直角坐標系，則拋物線的焦點為F-p2，0，準線為x=p2；只要將①中的通常稱②為焦點在x軸負半軸上的拋物線的標準方程.類似地，如果按照圖（2）的方式建立平面直角坐標系，則拋物線的焦點為F0，p2，準線為y=-p2；只要將①中的x通常稱③為焦點在y軸正半軸上的拋物線的標準方程.如果按照圖（3）的方式建立平面直角坐標系，則拋物線的焦點為F0，-p2，準線為y=p2；只要將①中的x變?yōu)椋瓂且y變?yōu)椋瓁即可得到拋物線的方程為x2=-由上可以看到，拋物線的標準方程是由焦點到準線的距離p以及焦點的位置確定的.如不特別聲明，以后總認為拋物線有相應的p（p>0）值，而且以后談到拋物線的標準方程時，總是指①②③④這四種形式之一，具體如下：y2=2px①；x2=2py③；6分拋物線的定義與標準方程的應用例1分別根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程和準線方程：（1）拋物線的焦點到準線的距離是3，而且焦點在x軸的正半軸上；解（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標準方程具有y2=2px的形式，而且p=3，因此所求標準方程為（2）拋物線的焦點是F-解（2）因為拋物線的焦點是F-3，0，所以拋物線的標準方程具有y2=-2px的形式，而且p準線方程為x=例2已知平面直角坐標系中，動點M到F0，-2的距離比M到x軸的距離大2，求M解設M坐標是x，x2+(y當y>0時，方程可變?yōu)閤=0，這表示的是端點在原點、方向為當y≤0時，方程可變?yōu)閤