山東省煙臺市2021年中考：數(shù)學考試真題與答案解析

山東省煙臺市2021年中考：數(shù)學考試真題與答案解析一、選擇題本題共12個小題，每小題3分，滿分36分。每小題都給出標號為A,B,C,D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的1．若x的相反數(shù)是3，則x的值是（A）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±32．下列數(shù)學符號中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（D）A． B． C． D．3．下列計算正確的是（C）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．（a2）3＝a6 D．a(chǎn)2÷a3＝a4．一個正方體沿四條棱的中點切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（C）A． B． C． D．5．2021年5月15日，天問一號探測器成功著陸火星，邁出了我國星際探測征程的重要一步．已知火星與地球的近距離約為5500萬公里，5500萬用科學記數(shù)法表示為（B）A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×1036．一副三角板如圖放置，兩三角板的斜邊互相平行，每個三角板的直角頂點都在另一個三角板的斜邊上，圖中∠α的度數(shù)為（C）A．45° B．60° C．75° D．85°7．如圖，在直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點B的坐標為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點D的坐標為（D）A．（2，2） B．（，2） C．（3，） D．（2，）8．如圖所示，若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結(jié)果如下：按鍵的結(jié)果為m；按鍵的結(jié)果為n；按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（C）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k9．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在數(shù)軸上的對應點如圖所示，則這個方程的根的情況是（A）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定10．連接正六邊形不相鄰的兩個頂點，并將中間的六邊形涂成黑色，制成如圖所示的鏢盤，將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為（B）A． B． C． D．11．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．下列結(jié)論：①ac＞0；②當x＞0時，y隨x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正確的個數(shù)有（B）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，則OG的長為（A）A． B． C． D．二、填空題本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分13．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為x≤2．14．《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為3米．15．幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數(shù)字1～9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數(shù)字之和都是15，則a的值為2．16．數(shù)學興趣小組利用無人機測量學校旗桿高度，已知無人機的飛行高度為40米，當無人機與旗桿的水平距離是45米時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，則旗桿的高度約為14米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）17．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在網(wǎng)格線的交點上，則sin∠ACB的值是．18．綜合實踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經(jīng)過兩刀裁剪，拼成了一個無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長為22cm．三、解答題19．先化簡，再求值：，從﹣2＜x≤2中選出合適的x的整數(shù)值代入求值．【解答】解：＝[]?＝?＝＝，∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，∴x的整數(shù)值為﹣1，0，1，2且x≠±1，2，∴x＝0，當x＝0時，原式＝＝﹣1．20．2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年．為普及黨史知識，培養(yǎng)愛國主義精神，今年五月份，某市黨校舉行黨史知識競賽，每個班級各選派15名學員參加了網(wǎng)上測試，現(xiàn)對甲、乙兩班學員的分數(shù)進行整理分析如下：甲班15名學員測試成績（滿分100分）統(tǒng)計如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．乙班15名學員測試成績（滿分100分）統(tǒng)計如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89（1）按如表分數(shù)段整理兩班測試成績班級70.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.595.5～100.5甲12a512乙033621表中a＝4；（2）補全甲班15名學員測試成績的頻數(shù)分布直方圖；（3）兩班測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如表所示：班級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲86x8644.8乙8688y36.7表中x＝87，y＝86．（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關(guān)知識的整體水平較好的是乙班；（5）本次測試兩班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．現(xiàn)從以上三人中隨機抽取兩人代表黨校參加全市黨史知識競賽，利用樹狀圖或表格求出恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率．【解答】解：（1）由題意得：a＝4，故答案為：4；（2）補全甲班15名學員測試成績的頻數(shù)分布直方圖如下：（3）甲班15名學員測試成績中，87分出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴x＝87，由題意得：乙班15名學員測試成績的中位數(shù)為86，故答案為：87，86；（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關(guān)知識的整體水平較好的是乙班，理由如下：①甲、乙兩個班的平均數(shù)相等，但乙班的中位數(shù)大于甲班的中位數(shù)；②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成績更穩(wěn)定；故答案為：乙；（5）把甲班2人記為A、B，乙班1人記為C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結(jié)果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的結(jié)果有4種，∴恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率為＝．21．如圖，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A，過點A作AB⊥y軸于點B，OB＝4，點C在線段AB上，且AC＝OC．（1）求k的值及線段BC的長；（2）點P為B點上方y(tǒng)軸上一點，當△POC與△PAC的面積相等時，請求出點P的坐標．【解答】解：（1）∵點A在正比例函數(shù)y＝x上，AB⊥y軸，OB＝4，∵點B的坐標為（0，4），∴點A的縱坐標是4，代入y＝x，得x＝8，∴A（8，4），∵點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝4×8＝32，∵點C在線段AB上，且AC＝OC．設點C（c，4），∵OC＝＝，AC＝AB﹣BC＝8﹣c，∴＝8﹣c，解得：c＝3，∴點C（3，4），∴BC＝3，∴k＝32，BC＝3；（2）如圖，設點P（0，p），∵點P為B點上方y(tǒng)軸上一點，∴OP＝p，BP＝p﹣4，∵A（8，4），C（3，4），∴AC＝8﹣3＝5，BC＝3，∵△POC與△PAC的面積相等，∴×3p＝×5（p﹣4），解得：p＝10，∴P（0，10）．22．直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【解答】（1）解：設售價應定為x元，則每件的利潤為（x﹣40）元，日銷售量為20+＝（140﹣2x）件，依題意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．答：售價應定為50元；（2）該商品需要打a折銷售，由題意，得，62.5×≤50，解得：a≤8，答：該商品至少需打8折銷售．23．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請按如下要求完成尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．①作∠BAC的角平分線AD，交BC于點D；②作線段AD的垂直平分線EF與AB相交于點O；③以點O為圓心，以OD長為半徑畫圓，交邊AB于點M．（2）在（1）的條件下，求證：BC是⊙O的切線；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半徑．【解答】解：（1）如圖所示，①以A為圓心，以任意長度為半徑畫弧，與AC、AB相交，再以兩個交點為圓心，以大于兩點之間距離的一半為半徑畫弧相交于∠BAC內(nèi)部一點，將點A與它連接并延長，與BC交于點D，則AD為∠BAC的平分線；②分別以點A、點D為圓心，以大于AD長度為半徑畫圓，將兩圓交點連接，則EF為AD的垂直平分線，EF與AB交于點O；③如圖，⊙O與AB交于點M；（2）證明：∵EF是AD的垂直平分線，且點O在AD上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切線．（3）根據(jù)題意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴＝＝，由（2）可知Rt△BOD與Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得DO＝6，故⊙O的半徑為6．24．（11分）有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點，連接AM交DE于點N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM，位置關(guān)系是DE⊥AM；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，點G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中點，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∵AM＝FM，∴∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，即AN⊥DN；故答案為DE＝2AM，DE⊥AM．（2）仍然成立，證明如下：延長AM至點H，使得AM＝MH，連接FH，∵M是BF的中點，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE＝AH，又∵AM＝MH，∴DE＝AM+MH＝2AM，∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE＝∠FHA，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAM）＝90°，即AN⊥DN．故線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM．線段DE與AM之間的位置關(guān)系是DE⊥AM．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸正半軸交于點C，且OC＝2OA，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點．（1）求拋物線及直線BC的函數(shù)表達式；（2）點F是拋物線對稱軸上一點，當FA+FC的值最小時，求出點F的坐標及FA+FC的最小值；（3）連接AC，若點P是拋物線上對稱軸右側(cè)一點，點Q是直線BC上一點，試探究是否存在以點E為直角頂點的Rt△PEQ，且滿足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由點A的坐標知，OA＝2，∵OC＝2OA＝4，故點C的坐標為（0，4），將點A、B、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x+x+4；將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式得：，解得，故直線BC的表達式為y＝﹣x+4；（2）∵點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，設拋物線的對稱軸交BC于點F，則點F為所求點，此時，當FA+FC的值最小，理由：由函數(shù)的對稱性知，AF＝BF，則AF+FC＝BF+FC＝BC為最小，當x＝1時，y＝﹣x+4＝3，故點F（1，3），由點B、C的坐標知，OB＝OC＝4，則BC＝BO＝4，即點F的坐標為（1，3）、FA+FC的最小值為4；（3）存在，理由：設點P的坐標為（m，﹣m2+m+4）、點Q的坐標為（t，﹣t+4），①當點Q在點P的左側(cè)時，如圖2，過點P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為N、M，由題意得：∠PEQ＝90°，∴∠PEN+∠QE