雅禮中學2021屆高三上學期第五次月考 數(shù)學試題

tt雅中屆三期五考數(shù)試第Ⅰ卷一、單選擇題：本題共小題，每小題分，共40分．1．已知集合x4}

，3}

，則

（）A．{4}

B{2}

C{3}

D．{x2．設i1

，

zi2

，則

z1

2

在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．一限

B第二象限

C．三象限

．第四象限3名學中選若干名分別到書館食堂做志愿者地方至少去2名同安排方法共）A.20種

．種

C80種

D．種4．黨的十九大報告中指出：從2020年2035年在全面建成小康社會的基礎上，再奮斗年基本實現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化若到2035年我國人口數(shù)量增長至14.4億由年2019年統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得國內(nèi)生產(chǎn)總）（單位億于份代號的回歸方程為

y6.6050.36(x

，由回歸方程預測我國在2035年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬元）約為（）A．元

．元

C13.58萬

D．萬5．隨著網(wǎng)絡技術(shù)的發(fā)達，電子付變得愈發(fā)流行，若電子支付只包含微信支付和支付寶支付兩種．某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金付的概率為（）A．．．D．6．牛頓冷卻定律描述一個物體常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度T0

，則經(jīng)過一定時間

t

后的溫度將滿足a，中T是環(huán)境度，稱為半衰期．現(xiàn)有一杯℃熱茶，放置在℃房間中，如果熱茶降溫到

℃需要10分，則欲降溫到℃，大約需要多少分鐘？（

20.3010

，

1g0.4771

）A．B．C．D．7．直三角形

中，

90

，

AB

，

，

P

在

斜邊BC

的中線

AD

上，則

的最大值為（）A．

B．．428．已知

f(x)

是定義在上的函數(shù)，且對任意

x都有f(f(2f

，若函數(shù)1

y(

的圖象關于點1,0)對稱，

f(1)，）A．．．D．二、多選擇題：本題共4題．小題5，共20．在每小題出的四選項中，有多項符題目要求，部選對得5分有選錯得分，部分對的得3分．9.如果a

、

、c

滿足a

，且0

，那么下列選項成立的是（）A．a(chǎn)c

B

22

C

c(b)

．

ac()10．知方程

22

2

，若方程表示圓，則

的值可能為（）A．

B．D．．在棱長為1的方體D111

中，下列結(jié)論正確的是（）A．面線BD1

與

BC1

所成的角大小為90°B四面體DDBC1

的每個面都是直角三角形C二面角BC1

的大小為°D．方ABCDABCD11

的內(nèi)切球上一點與接球上一點的距離的最小值為

12現(xiàn)社會中處是非常關鍵的技術(shù)通過每天都在使用的電話或者互聯(lián)網(wǎng)就能感得到信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)．函數(shù)

fx)

i

sin[(2i]2i

的圖象就可以近似地模擬某種信號的波形，則（）A．數(shù)

fx)

為周期函數(shù)，且最小正周期為

B函數(shù)

f(x)

的圖象關于點,0)對稱C函數(shù)

fx)

的圖象關于直線

對稱

D．數(shù)

fx)

的導函數(shù)

f

的最大值為4第Ⅱ卷三、填題：本大題4小題每小題5分，共20分．13．知拋物線C:y

2

2px(0)，線l:y

經(jīng)過拋物線

的焦點，且與C

相交于、B

兩點．若

|，．14．列，

，，

，，

，，

，，

，，

，，

，，的項正負交替，且項的絕2

nn對值為的個，2的2個…，

的有n

個，則該數(shù)列第2021項________．15車我國古代發(fā)明的一種利灌溉工具因其經(jīng)濟又環(huán)保還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用下圖定在水流量穩(wěn)定的情況下，半徑為3的筒車上的每一個盛水桶都按逆時針方向作角速度

rad/min

的勻速圓周運動平示意圖如右圖已知筒車中心水面

的距距離為

初時刻其中一個盛水筒位于點

0

處，且

/)

，則8min

后該盛水筒到水面的距離_______

m

．16．方體11

的長為，，F(xiàn)分為，的點則平面AEF截方體所得的1截面面積為；點E為心

為半徑的球面與對角面

ACCA11

的交線長為．四、解題：共70．解答寫出文字說、證明程或演算步．17小滿分10分在①

sinB3cosB2cosB

222

3

這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答．問題已知ABC的三邊bc所的角分別為，C若a4c的面積．

________求18小滿分12分已知數(shù)列

a

aa

*

（）數(shù)列

n

公式；（）n

n

n

，求數(shù)列

n

2020項

2020

．19小滿分12分3

如圖棱錐ABCD中PA面ABCDPA

AB

BCD=2//

．（）證：

PD

AB

；（）直線與面PBC所成角的正弦值．20小滿分12分在年女排世界杯中，中國女子排球隊以連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績成功奪冠，為祖國母親七十華誕上了一份厚禮．排球比賽采用5局3勝，前4局比賽采用25分制，每個隊只有贏得至少25分并同時超過對方分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分，每個隊只有贏得至少15分，并領先對方分為勝，在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得分并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對方分．現(xiàn)有甲、乙兩隊進行排球比賽：（）前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局接下來兩隊贏得每局比賽的概率均為，甲隊最后贏得整場比賽的概率；（）前四局比賽中甲、乙兩隊已經(jīng)各贏兩局比賽．在決勝局（第五局）中，兩隊當前的得分甲、乙各14分，且甲已獲得下一發(fā)球權(quán)．若甲發(fā)球時甲贏1分概率為

，乙發(fā)球時甲贏1分概率為，得分者5獲得下一個球的發(fā)球權(quán)．設兩隊打了

x6)

個球后甲贏得整場比賽，求

的值及相應的概率

p()

．21小滿分12分4

如圖

A

為橢圓

C:x的頂點的直線l交拋物線:y2(p2

于

B

C點，點是的中點．（）點

A

在拋物線

C

2

的準線上，求拋物線

C

2

的標準方程；（）直線l過點C，且傾斜角和直線l的斜角互補，橢圓于M，兩點．21（）明：點C的坐標是定值，并求出該定值；（）

BMN

的面積最大時，求的值22小滿分12分已知函數(shù)

f()

中常數(shù)

，是自然對數(shù)的底數(shù)）（）論函數(shù)

fx)

的單調(diào)性；（）明：對任意的1，x0時

fx)(x)

．5

C種當去5個人時，安排方法有CC1C種當去5個人時，安排方法有CC1一、單選擇題：本題共小題，每小題分，共40分．題號答案

1C

2D

3B

4A

5B

6C

7B

8D1．【解析】因為集合A{x4}

，3}

，所以A3}

．故選C2．【析】由題zi1

，

zi2

，則

z1

，對應點為

(1,

．3【解析】當去4個時，安排方法有C

41552

種．綜上，不同的安排方法共有50種故．4．【析】到2035年對應的年份代號為23，由回歸方程

x50.36

得，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約為2350.36

（萬億元

14.4

14.04

，所以到年我國人均國生產(chǎn)總值約為14.04萬．故選．5為只用現(xiàn)金支付B為只用非現(xiàn)金支付

P()()()(AB)

為

PA)

，

P()0.15

，所以

P(B)

．故選B6．【解析】根據(jù)題意有：5525

10h

25)

，∴

t10

t1lg30.477125)10320.30102

，故選C．7析A為標原點，ACC，中點D(1,2)

方向分別為

軸y軸方建立平面直角坐標系，設

x,2x)

，所以

x,2x)，PD(1)

，AP))2[)(2x)]時，最大值為．故選．

8．【析】令0，

f(2)ff(2)，即，fx2)f(2)

，因為函數(shù)

y(

的圖象關于點1,0)對稱，所以函數(shù)

yf(x

的圖象關于點

對稱，即

f(()

，所以

fxf(2)(x

，6

2222即

fx(x)，f(f()

，則

ff(253f(1)

，故選D．二、多選擇題：本題共4題，小題5，共20．在每小題出的四選項中，有多項符題目要求．部選對得5分有選錯得分，部分對的得3分．題號答案

9ACD

10AB

11ABD

12BCD9．解析】依題意a

，b

，

滿足

，且0

，所以c

，

，由

c

caab

，所以A項正確．當b0

時，cb，以B項錯誤．

0,c

c(b)

，所以C選項正確．

0,ac

(

，所以D選項正確．故選ACD．10．【析】因為方程

2ay

表示圓，所以

)

2

，解得所以滿足條件的只有．故選AB．．【析】連接，易知B11

，又正方體中

CD面BCC111

，從而有

CDBC，C，BC平面BDC111111

，從而得

BBD1

，異面直線

1

與

BC1

所成的角大小為90°，A正；正方體中

1

平面ABCD

，則

1

，

CD1

，同理CD，1

，∴四面體

DBC1

的四個面都是直角三角形B正；由

BCCD1

，

BCCC1

，知

1

是二面角

B1

的平面角，為45°，即二面角

B1

為45°，錯；易知BD的中點是正方體外接球和內(nèi)切球的球心，17

又外接球半徑為

，內(nèi)切球半徑為，∴內(nèi)切球上一點與外接球上一點的距離的最小值為故選．

，正．12．【析】∵

f()sin

sin3xsin7x

，f(x

sin[3(xsin[5(7

xsin5xsin7(f(x)57

，所以，

不是函數(shù)

yf(x)

的最小正周期，A選錯誤；∵

f(

))sin3sin5sin755

，f)sin(x

sin[3(xsin[5(sin[7(x7sinx

xsin5f(

，所以，函數(shù)

yf(x

的圖象關于直線

對稱，選項正確；f

coscos3xcos7x

，∵

1

，

cos3

，

1

，

cos7x

，則

fx)xcos3cos5x

，又

f

，所以函數(shù)

y

()

的最大值為4，選確．故選．三、填題：本大題4小題，每小題5分，20分．13．【析】法1：由題意知直線

lx

，即

2

．∵直線l

經(jīng)過拋物線

C:

2

0)

的焦點，∴

，2

．∴直線l

的方程為

y

．設y1

y

2xp，聯(lián)立，去y2px,

整理可得

4

2

px

2

，8

55由韋達定理得

12

，又

|

，∴

12

，p．法2：設直線的傾斜角為則tank2

，得

sin

5

，∴

|AB

2psin2

2p2

，．14．【解析】將絕對值相同的字分為一組，則每組數(shù)字個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列nn

，因為

(n63

，前2021項包含63個整組，第組后一個數(shù)字為第2016項故2021項第64組第5個字由奇偶項正負交替規(guī)律，其為．15．

【解析】根據(jù)題意可得，分后盛水桶所轉(zhuǎn)過的角為

3

，而除去一圈，

23

，所以轉(zhuǎn)分之后

0

所轉(zhuǎn)到的位置

P

滿足

POA

2

，所以點水面的距離

5m2

．16．

【解析】如圖，連接

1

，則

//11

，∴等腰梯形AEFD為面AEF截方體所得截面圖形，1由正方體棱長為1，得AD

，

EF

，

51

，則

E

到

1

的距離為5244

，∴

SAEFD

122

348

．∵平面

AACC1

平面ABCD

，且平面

AACC1

平面ABCDAC

，過

E

作EHAC

于

，則

平面

ACCA11

，∵為BC

中點，∴

2

，9

22以點為球心，

為半徑的球面與對角面

ACCA11

的交線為圓弧，22其半徑為4

，由

，HN2

，得

NHC

，∴MHN

，所求交線為劣弧，度為

2

．四、解題：共70．解答寫出文字說、證明程或演算步．17析選①：由

sincos2得sinB

，又

B

，所以

B

．

3分選②：由

Bcos0得：cos

，解得

B

，又

B(0,

，所以

．

3分選③：由

b

2

2

c

2

3

得：

c

2

2

2

3

，得

B

ac2ac

，又

)

，所以B．

3分又因為

Ccb

，所以

sinB3

．由

)

，所以

或

2

．

6分當

時，

A

，又因為a4

，所以b

，

c3

．所以面積

33

．

8分

當

2時，A，所以．6又因為a4，以4．所以面積

S

．

10分18析由

aaa23

2n

*

，可得

a

n

，所以

2

，

3分即

*

，1

也滿足，所以

6分（）

2020

1

2020122

12021

．

12分19析由

PA

平面ABCD

，得

PA

AB

，由

，得ADCD，

2分∵AB/CD，

AB

，

3分∵

PA

A，AB面PAD，∵

PD平，∴PD

AB

．5分（）射線AB,,AP為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系則A(0,0,0)，B(1,0,0)，(0,P(0,0,1)，(2,3,0)，AC3,0)，，(2,

．

7分設平面的法向量

n,yz

．則由

即

x0,2y0.

9分取

33

|,AC||

．

11分

故直線

與平面PBC

所成角的正弦值為

．

12分20析甲最后贏得整場比賽的情況為第四局贏或第四局輸?shù)谖寰众A，所以甲隊最后贏得整場比賽的概率為

132

．

4分（）據(jù)比賽規(guī)則，x

的取值只能為2,4或6，應比分為1

,

,

18:16

.兩隊打了2個后甲贏得整場比賽，即打第一個球甲發(fā)球甲得分，打第二個球甲發(fā)球甲得分，時概率為

；6分兩隊打了4個后甲贏得整場比賽，即打第一個球甲發(fā)球甲得分，打第二個球甲發(fā)球甲失分，第三個球乙球甲發(fā)球甲得分四球發(fā)球甲得分概為

3555

．8分兩隊打了個后甲贏得整場比6球的勝負情況如圖（勝者用√表示1

2

3

4

5

6甲

√

√

√

√乙

√

√1

2

3

4

5

6甲

√

√

√

√乙

√

√1

2

3

4

5

6甲

√

√

√

√乙

√

√1

2

3

4

5

6甲

√

√

√

√乙

√

√(6)

332333335555555．12分21析由意得

A(1,0)

，

1分點

A

在拋物線

C

的準線上，

NN則

，，

2分所以拋物線C的準方程為2

y

2

4x

．

3分（）明：因為過的直線l和物線交于兩點，1所以

l1

的斜率存在且不為，設l的程為1

x

，其中是率的倒數(shù)，

4分設y11

2

2

，聯(lián)立方程組

xmyy22px,整理得

y

2

pmy0

，

且

ypm,y,2

5分因為C

是

AB

的中點，所以

y2y1

2

，所以

，2，42

22

，所以點的坐標為定值．

6分（ⅱ）因為直線l的斜角和直線l的傾斜角互補，21所以

l2

的斜率和

l1

的斜率互為相反數(shù)．設直線l的方程為2

xy

12

,

M,,M

，即

x

，聯(lián)立方程組

xxy

整理得

，m)

2

2

2

，所以m2，y

m3，yy．2m

8分因為點C

是中點，所以

BMN

AMN

，因為

A(

到

的距離

2

，MN1yy

，

xx；xx；時g()0；x時g所以

AMN

MN

m

．

10分令

tm

，則

S

AMN

t

2

tt

164tt

3

122

，當且僅當t

，

時等號成立，所以

14

94p

，

．

12分22析fx)

．①當

0

時，

f)

，函數(shù)

f(x)

在

上單調(diào)遞增；

2分②當a

時，由

f

)

解得

22x，由f)解xln

．故

fx)

在

2上調(diào)遞增，在

單調(diào)遞減．

4分綜上所述，當a時fx)

在R上調(diào)遞增；當

時，

f)

在

22上單調(diào)遞增，在,

上單調(diào)遞減．（）法一：原不等式等價于

eaxa

．

6分令

g(

exx2aax

，則

x)

(xax

x2

．當1時ae

x

x

，

8分令

h(x)

x

，當x0時h

x)

x

，∴當0

時，

x)

單調(diào)遞增，即

h((0)

，

9分∴當x時g

x)

，∴

g(x)

．

11分即

e20，故f()(aaxa

．

12分證法二：原不等式等價于

a

(

．

x)0；時g()，x)0；時g()，x時令

()x

，則

)x

．當x，

x

．∴

()

，即

x

0

，當且僅當時號成立．

6分當x

時，

(x

顯然成立；當0且時

x

0

．欲證對任意的

a

，

a

(

成立，只需證

x2

．

8分思路：∵x0，不等式

x

ex

可化為

e10

，令

h(

ex，則x)

(x

，

10分易證當x0

時，

，∴當x

時，

()

，∴函