彈性力學之薄板彎曲問題

第一節(jié)有關(guān)概念及計算假定第二節(jié)彈性曲面的微分方程第三節(jié)薄板橫截面上的內(nèi)力第四節(jié)邊界條件扭矩的等效剪力第五節(jié)四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解第六節(jié)矩形薄板的單三角級數(shù)解第七節(jié)矩形薄板的差分解第八節(jié)圓形薄板的彎曲第九節(jié)圓形薄板的軸對稱彎曲例題第九章薄板彎曲問題薄板是厚度遠小于板面尺寸的物體?！?-1有關(guān)概念及計算假定定義薄板的上下平行面稱為板面。薄板的側(cè)面，稱為板邊。平分厚度的面,稱為中面。比較薄板受到橫向荷載（⊥板面）的作用--

薄板的彎曲問題。薄板受到縱向荷載（∥板面）的作用--

平面應力問題；桿件受到橫向荷載（⊥桿軸）的作用--

梁的彎曲問題。桿件受到縱向荷載（∥桿軸）的作用--

桿件的拉壓問題；

薄板彎曲問題屬于空間問題。其中，根據(jù)其內(nèi)力及變形的特征，又提出了3個計算假定，用以簡化空間問題的基本方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。特點 當薄板彎曲時，中面所彎成的曲面，稱為薄板的彈性曲面。定義小撓度薄板--這種板雖然薄，但仍有相當?shù)目箯潉偠?。它的特征是?3)在內(nèi)力中，僅由橫向剪力與橫向荷

載q成平衡，縱向軸力的作用可以不計。(2)在中面位移中,w是主要的，而縱向位

移u,v很小，可以不計；(1)具有一定的剛度，橫向撓度；1.

垂直于中面的線應變可以不計。取，由，得 故中面法線上各點，都具有相同的橫向位移，即撓度w。

本章研究小撓度薄板的彎曲問題。

根據(jù)其內(nèi)力和變形特征，提出了3個計算假定：計算假定彎應力（合成彎矩）及扭應力（合成扭矩）橫向切應力（合成橫向剪力）擠壓應力

2.

次要應力分量遠小于其他應力分量，它們引起的形變可以不計。薄板中的應力與梁相似，也分為三個數(shù)量級：

所以為次要應力，為更次要應力。略去它們引起的形變，即得并在空間問題的物理方程中，略去引起的形變項。因此，當略去后，薄板彎曲問題的物理方程為

(1)在薄板彎曲問題中，略去了次要應力引起的形變;但在平衡條件中，仍考慮它們的作用。說明：⑵薄板彎彎曲問題的物物理方程(b)與平面應應力問題的物物理方程相同同。但沿板厚厚方向，對于于平平面應應力問題的應應力為均勻分分布，合成軸軸力而薄板彎曲問題題的應力為線線性分布，在中面為0，合成彎矩矩和和扭矩。。⑶從計算假假定1、2，，得出故中面法線在在薄板彎曲時時保持不伸縮縮，并且成為為彈性曲面的的法線。因此，中面在在變形后，其其線段和面積積在xy面上的投影形形狀保持不變變。由于故3.中面的縱向向位移可以以不計，即實踐證明，，只要是小小撓度的薄薄板，薄板板的彎曲理理論就可以以應用，并并具有足夠夠的精度。。類似于梁的的彎曲理論論，在薄板板彎曲問題題中提出了了上述3個個計算假定定，并應用用這3個計計算假定,簡化空間間問題的基基本方程，，建立了小撓度薄板板彎曲理論論。1.試考慮慮在材料力力學梁的彎彎曲問題中中，是否也也應用了這這3個計算算假定？2.在材料料力學的梁梁彎曲問題題中，采用用了平面截截面假設。。在薄板中中有否采用用此假設？？思考題§9-2彈彈性曲面面的微分方方程本節(jié)從空間問題的的基本方程程出發(fā)，應用用3個計算假假定進行簡化，，導出按位移求解解薄板彎曲曲問題的基基本方程。薄板問題解解法2.將其他未知函函數(shù)─縱向位移移u,v；主要應應變分量量;主要應應力分量；；次要應力力分量及及最次要要應力均用w來表示。薄板彎曲問題是是按位移求解的的，主要內(nèi)容是：：4.導出板邊的邊界條件件。3.導出求解w的方程。1.取撓度w(x,y)為基本未知函數(shù)。具體推導如下：1.取撓度為為基本本未知函數(shù)。應用幾何方程及及計算假定1，，2.將，用用表表示。應用幾何方程及及計算假定2，得對積分，又由計算假定3，故得3.主要應變用用表示。應用其余三個幾幾何方程，并代代入(a)，得：(b)4.主要應力用用表示。應用薄板的三個個物理方程及式式(b)，得：(c)5.次要應力用用表表示。應用平衡微分方方程的前兩式（（其中縱向體力）），，有代入式(c)，并對z積分，得：其中因為上下板面是大邊界，必須須精確滿足應力邊邊界條件由此求出及及，，代入得到6.更次要應力用用表示。。應用第三個平衡衡微分方程，將將體力及板面上上的面力等效地地移置到上板面面，有代入式(d)，并對z積分，得由下板面的邊界條條件求出，故更更次要應力為7.導出求解w的基本方程。由上板面邊界條件件（屬于靜力平衡衡條件）得出在A域中求w的方程，(f)(g)為薄板的抗彎剛度度求w方程說明：⑴在三個計算假定定下，縱向位移u,v；主要應變；；主要應力；；沿z向均為線性分分布，在中面為為0；；次要應力（橫向向切應力）沿沿z向為拋物線分布；－－均與材料力力學相似。更次要應力（擠擠壓應力）沿沿z為三次曲線分布。⑵按位移求解薄薄板彎曲問題，只只取為基本未知函數(shù)。在在導出求的的基本方程中應用了3個計計算假定，與材料料力學解梁的彎曲問題題相似。⑶從上述推導過程可可見,空間問題的6個幾幾何方程，6個物物理方程和3個平平衡微分方程都已已考慮并滿足（其中應用了3個個計算假定）；并并且在（））的大邊界板面上，3個應力邊界條件件也已精確滿足。⑷只有板邊的邊界條件尚未考慮，它們將將作為求解微分方方程（f）的邊界界條件。思考題試比較梁的彎曲問問題和薄板彎曲問問題的異同。薄板內(nèi)力，是薄板每單位寬度的的橫截面上,由應力合成的的主矢量和主矩。。求薄板內(nèi)力的目的的：§9-3薄板橫橫截面上的內(nèi)力⑵在板邊（小邊邊界）上，要用內(nèi)內(nèi)力的邊界條件代替應力的的邊界條件。⑴薄板是按內(nèi)力力設計的；薄板內(nèi)力求內(nèi)力：取出的的六面體，x面上，有應力，，，y面上，有應力，，，。其中，，=，沿z為直線分布，在中中面為0；，，沿z為二次分布，方向向∥橫截面。x面面積積上，應力的主矢量和和主矩為：x面內(nèi)力─合成主矢量稱為為橫向剪力,─合成主矢量為0,合成主矩稱為扭矩,─合成主矢量為0,合成主矩稱為彎矩,類似地，求出y面面面積上的內(nèi)內(nèi)力：y面內(nèi)力彎矩扭矩橫向剪力內(nèi)力的正負號規(guī)定定，根據(jù)應力符號確確定:正的應力方向的主主矢量為正;正的應力×正的矩矩臂的力矩方向為為正,如圖。xyz內(nèi)力符號內(nèi)力均為單位寬度度上的主矢量和主主矩，所以其量綱綱均應降低一次長長度量綱。(e)(f)中面內(nèi)力力平衡條條件考慮上圖圖的中面平衡衡條件，可得：：薄板內(nèi)力力是橫截截面上，，應力向向中面合合成的主主矢量和和主矩。。再將用用w來表示，，同樣地地得出撓撓曲線微微分方程程將前兩式式代入后后式，得得§9－4邊界界條件扭扭矩的的等效剪剪力薄板的邊邊界條件件：在上下板板面（大邊界界），已已精確地地滿足了了3個應應力邊界界條件。。邊界條件件板邊為小小邊界，，可以應用用圣維南原原理來簡化邊邊界條件件,將板邊的邊邊界條件件歸結(jié)為中面的位位移邊界界條件或中面的內(nèi)內(nèi)力邊界界條件。板邊（小邊界界）的邊界條條件尚未未考慮,是求解解撓曲線線微分方方程的邊邊界條件件。，可看成成是中面面的撓曲曲微分方程,或或中面面的平衡衡方程；；邊界條件件薄板板邊邊的邊界界條件分為三類類：1.固定邊--若為為廣義固固定邊，，則其中為為給定的約束位位移。若完全固固定，則固定邊(a)2.簡支邊--若為為廣義簡簡支邊，則其中，，分分別為給定的的約束位移和和彎矩。若，，則一般的的簡支邊條件件為簡支邊故第第二二個條件可以以簡化。簡支支邊的條件為為因簡支邊3.自由邊--若為為一般的自由由邊，則上式邊界條件件共有3個，，與四階微分分方程不相對對應。經(jīng)過過約20年后后，基爾霍夫夫指出，薄板板板邊上的扭扭矩可化為等等效的橫向剪剪力。自由邊在EF=dx微分段上，總扭矩，，化為E、F上等效的一對對力，，分別向下下（E）和向上（F）；在FG=dx微分段上，總扭矩，，化為F、G上等效的一對對力，，分別別向下（F）和向上（G）。圖中，取出板邊AB（y面），扭矩的等效剪剪力在F點，合成集中中力,向下下。再化為寬寬度上的的分布剪力。故AB邊界總的分布布剪力為此外，在A，B兩端，還有兩個未未被抵的集中剪力用撓度表示為為因此，自由邊的邊界界條件成為同理可導出的的自由邊條條件。4.自由邊交交點的角點條條件─在角點B，集中力為若B點有支承，阻阻止撓度的發(fā)發(fā)生，則有若B點無支承，應應無集中力，，有角點條件角點集中力的的正負號及方方向，根據(jù)扭扭矩確定，見見習題9-2。固定邊是位移移邊界條件，，自由邊是內(nèi)內(nèi)力邊界條件件，簡支邊是是混合邊界條條件。小撓度薄板的的彎曲問題，，已經(jīng)歸結(jié)為為求解撓度w，w應滿足撓曲線微分方方程和板邊的邊界條條件?！?－5四四邊簡支矩形形薄板板的重三角級級數(shù)解求w條件對于四邊簡支的矩形板，邊界條件為為(b)四邊簡支納維將w表示為重三角級數(shù)，其中m，n為正整數(shù)。代代入式(b)，全部部邊界條件滿滿足。將q(x,y)也展為為重三角級數(shù)數(shù)，再代入式(a)，得將q代入上式，比比較兩邊系數(shù)數(shù)，得納維解答是用用多種正弦波波形的疊加來表示示撓度w的。對于各種種形式的荷載q，均可方便便地求出解解答。它的的主要是，，只能適用于四四邊簡支的的薄板。當q為集中荷載載F，作用于一一點時時，可用代代替q，并且只在在處處的的微分面積積上存在，，其余區(qū)域域q=0，于是是中中當q為均布荷載載時，代代入式(f)，便便可求出，，并并得出w解答。設矩形板的兩兩對邊為為簡支邊邊，其余兩邊邊為任意邊邊界?！?－6矩矩形薄板板的單三角角級數(shù)解兩對邊簡支支其中是是待定定的函數(shù)，，m為正整數(shù)。。式(a)已滿足了了的的簡簡支邊條件件,萊維采用單三角級數(shù)數(shù)表示撓度，，將式(a)代入撓曲曲線微分方方程，得兩對邊簡支支將也也展開開為單三角角級數(shù)，兩對邊簡支支代入式(b)，比較較系數(shù)，得得出求的的常常微分方程程，其中為為式(d)的特解解；其余四四項為齊次次方程的通通解。將代代入式(a)，得得w解，其中的系數(shù)由其其余兩邊界界條件來確確定。式(d)的的解為書中列舉了了受均布荷荷載時時,四四邊簡支板板的解答。。矩形薄板應應用重三角角級數(shù)和單單三角級數(shù)數(shù)求解，是是非常重要要的解法。。下面我們們進一步說明幾點。。從求解薄板板彎曲問題題來看，兩兩者比較如下：適用性四邊簡支兩兩對對邊簡支，，另兩邊可可任意求解較困難，須須求解系數(shù)數(shù)收斂性慢快快應用局限于四邊簡支可可推廣應應用到其他他各種邊界界納維解法萊萊維解法簡便2.應用疊加方法，可將萊維維提出的單單三角級數(shù)解，，用于解決各種矩形薄板的邊界條件問題。3.納維解法和萊維維解法，不僅在在薄板的靜力（彎曲）問題題中得到了廣泛泛的應用，而且可以推廣應應用于薄板的動動力、穩(wěn)定問題,以及能量量法中。1.試考慮四邊邊固定的矩形板板，受任意荷載載，如何應應用萊維法求解解？2.試考慮一邊邊固定三邊自由由的矩形板，受受任意荷載，，如何應用萊萊維法求解？思考題應用差分法求解薄板彎曲問問題，是比較簡簡便的。首先將撓曲線微分方程程變換為差分方程程,插分方程§9－7矩形形板的差分解對點，，即固定邊和簡支邊邊附近的w值，如下圖所示示。若AB為簡支邊，對于o點，若AB為固定邊，則對于o點，(a)固定邊邊(b)簡支邊對于自由邊的情形，邊界界點的w值是未知數(shù)，，須列式(a)的差分方方程，其中涉涉及邊界外一一、二行虛結(jié)結(jié)點的w值，用自由邊邊的邊界條件件來表示，所所以求解時比比較麻煩。對于具有支承邊（簡支邊，固固定邊）的矩矩形板，每一一內(nèi)結(jié)點的w值為未知數(shù)，，對每一內(nèi)結(jié)結(jié)點應列式(a)的方程程。其中涉及及邊界點和邊邊界外一行虛虛結(jié)點的w值，如式(b)或(c)所示。例1四邊簡支的正正方形薄板，，，，受到均布布荷載的的作用，試取取的的網(wǎng)網(wǎng)格，如圖，用差分分法求解薄板板中心點的撓撓度和內(nèi)力（?。?。2121012120網(wǎng)格精確解答案:例2同上題，但四個邊界均均為固定邊。網(wǎng)格精確解答案:總之，對于具具有支承邊的的矩形板，采采用差分法求求解是十分簡簡便有效的，，取較少的網(wǎng)網(wǎng)格便可求得得精度較好的的撓度值w。而由w求內(nèi)力時，因因為對近似解解w求導數(shù)后會降降低精度，所所以須適當?shù)氐丶用芫W(wǎng)格。。對于的的正方形形薄板，受均均布荷載作用，試取的的網(wǎng)格，分分別求解下列邊界問題的的中心點撓度度，并進行比比較：邊（1）四邊邊簡支；（2）三簡支支，一邊固定定；思考題（3）兩對邊邊簡支，另兩兩對邊固定；；（4）兩鄰邊邊簡支，另兩兩鄰邊固定；；（5）一邊簡簡支，三邊固固定；（6）四邊固固定。§9－8圓圓形薄板的彎彎曲圓板彎曲問題題的方程和公公式，都可以以從直角坐標標系的方程和和公式導出。。1.撓曲微分方程程仍為其中圓板方程將對x，y的導數(shù)變換為為對的的導數(shù)，并代代入，，得2.內(nèi)力公式--類似地可利用用公式，例如，內(nèi)力公式同樣，得出類似地，橫截截面上的總剪力為3.邊界條件可以表示為⑵設為為簡支邊，則⑴設為為固定邊，則邊界條件前一條件使w對的導數(shù)數(shù)在邊邊界上均為0，故簡支邊條條件為⑶設為為自由邊，則若圓板的荷載q和邊界條件均均為軸對稱，則薄板的撓度和內(nèi)力必然也為軸對稱。所以有§9－9圓圓形薄板的軸軸對稱彎曲撓曲微分方程程為軸對稱彎矩對于無孔板，則除2個外邊界條件件外，還應考考慮撓度和內(nèi)內(nèi)力在的的有限限值條件，所以得。。式(a)的全解為對于有孔板，由內(nèi)外邊界界共4個邊界條件來來確定。。通解的系數(shù)由由邊界條件件來確定：其中特解為邊界條件上述的軸對稱稱解答(b)，是軸對稱稱彎曲的一般般解，可以應應用于一切軸軸對稱彎曲問問題。讀者可可參考教科書書的解答和有有關(guān)力學手冊冊。第九章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題受均布荷載作作用用，如圖，試試求其撓度和和內(nèi)力。固定邊橢圓板板的邊界方程程為Oabyx例題1由，，顯然然。。因此，從從方向解：固定邊的邊邊界條件是(a)(b)導數(shù)的公式可可推出，為了滿足邊界界條件(a)，可以令便可滿足式(a)的邊界界條件。對于均布荷載載，，將式(c)代入方程程得出，，并從而而得因此，只需取取(c)內(nèi)力為為讀者可以檢驗驗，最大和最小彎彎矩分別為當時時，便由上上述解得出圓圓板的解答;若令則則橢圓圓板成為跨度度為的的平面應變變問題的固端端梁。四邊簡支矩形形板，如圖，，受有分布荷荷載的作用，試用用重三角級數(shù)數(shù)求解其撓度度。例題2解：將代代入積分式式，由三角函數(shù)的的正交性，及得