常系數(shù)高階齊次線性微分方程

關(guān)于常系數(shù)高階齊次線性微分方程第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(2)的特征方程第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一解特征方程為解得故所求通解為例2第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征根對(duì)應(yīng)的特解注1、n次代數(shù)方程恰有n個(gè)根。2、屬于不同特征根的解線性無(wú)關(guān)。第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一特征根為故所求通解為解特征方程為例3第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一思考題求微分方程的通解.第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一思考題解答令則特征根通解第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一練習(xí)題第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一練習(xí)題答案第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一微分方程的應(yīng)用題第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一

例1.

某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.

現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h.經(jīng)測(cè)試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多？注:kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一【分析】本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可。【解1】由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時(shí)的水平速度從飛機(jī)接觸跑道開始記時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得又第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一由以上兩式得積分得由于故得從而當(dāng)時(shí)所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2

如圖所示，平行與軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一所求曲線為第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一答:第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例4

拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖第二十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一得微分方程由夾角正切