《常微分方程》教學大綱（本科）

PAGEPAGE1“常微分方程”（本科）課程教學大綱課程編號：n08032020課程名稱：常微分方程/ordinarydifferentialequations學時：72學時學分:4學分適用專業(yè)：數學與應用數學開課學期：第3學期開課部門：數學與計算機科學學院先修課程：數學分析、高等代數考核要求：閉卷考試（卷面成績和平時成績各占70％和30％）使用教材及主要參考書：王高雄等主編，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社，東北師范大學數學系主編，《常微分方程》（第二版），高等教育出版社，2005年一、課程的性質和任務常微分方程是數學與應用數學專業(yè)的重要基礎課，也是應用性很強的一門數學課。本課程的任務是使學生鞏固和加深已學過的數學分析，高等代數等基礎課所學的知識，也是為以后學習偏微分方程、微分幾何、泛函分析作好準備。二、教學目的和要求本課程以微積分、線性代數、解析幾何、普通物理等為基礎課，是數理方程、微分幾何、泛函分析等課程的重要基礎課之一，同時它的發(fā)展也離不開實變函數論、復變函數論、拓撲學與代數幾何的發(fā)展。目的是培養(yǎng)學生理論聯系實際和分析問題、解決問題的能力。要求學生掌握常見類型的線性常微分方程以及常微分方程組的解法，理解一階常微分方程的解的存在性定理。三、學時分配章節(jié)課程內容講課1緒論42一階微分方程的初等解法203一階微分方程的解的存在定理124高階微分方程185線性微分方程組18四、教學中應注意的問題教學中應本課程應重視基本概念的正確理解，基本理論的系統(tǒng)闡述以及基本運算能力的嚴格訓練，同時注意與已有知識和現實生活中的例子結合，做到學以致用。教學內容的選擇應努力貫徹少而精的原則，在教學中，應注意思想方法的傳授，解題思路的培養(yǎng)，由淺入深，注意闡明本課程與其它課程的聯系，特別與數學分析的銜接．在基本運算方面，應通過例題及習題，使學生受到足夠的訓練，掌握有關方法。五、教學內容第一章緒論1．基本內容：某些物理過程的數學模型，基本概念，常微分方程的發(fā)展歷史。2．教學基本要求：理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數、線性與非線性，掌握將實際問題建立成常微分方程模型的一般步驟，理解積分曲線的概念。3．教學重點、難點：將實際問題建立成常微分方程模型，積分曲線。4．教學建議：講授4課時。第二章一階微分方程的初等解法1．基本內容：變量分離方程與變量變換，線性方程與常數變易法，恰當方程與積分因子，一階隱方程與參數表示。2．教學基本要求：理解變量分離方程以及可化為變量分離方程的類型（齊次方程），熟練掌握變量分離方程的解法。熟練掌握常數變易法及伯努利方程的求解，掌握恰當方程的解法及簡單積分因子的求法。理解一階隱式方程的可積類型，掌握隱式方程的參數解法。3．教學重點、難點：一階微分方程的各類初等解法，積分因子的求法以及隱式方程的解法。

4．教學建議：講授18課時，習題課2課時。第三章一階微分方程的解的存在定理1．基本內容：解的存在唯一性定理與逐步逼近法、解的延拓，解對初值的連續(xù)性和可微性定理。2．教學基本要求：理解解的存在唯一性定理的條件、結論及證明思路，掌握逐步逼近法，熟練近似解的誤差估計式。了解解的延拓定理及延拓條件。理解解對初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結論。

3．教學重點、難點：解的存在唯一性定理的證明，解對初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。4．教學建議：講授10課時，習題課2課時。第四章高階微分方程1．基本內容：線性微分方程的一般理論，常系數線性方程的解法，高階方程的降價和冪級數解法。2．教學基本要求：理解高階線性微分方程的一般理論，階齊次（非齊次）線性微分方程解的性質與結構，熟練掌握階常系數齊次線性微分方程的待定指數函數解法。掌握階非齊次線性微分方程的常數變易法，理解階常系數非齊次線性微分方程特解的待定系數法和Laplace變換法。熟練歐拉方程與高階方程的降階法和冪級數解法。3．教學重點、難點：線性微分方程解的性質與結構，高階方程的各種解法，待定系數法求特解。

4．教學建議：講授16課時，習題課2課時。第五章線性微分方程組1．基本內容：存在唯一性定理，線性微分方程組的一般理論，常系數線性微分方程組。2．教學基本要求：理解線性微分方程組解的存在唯一性定理，掌握一階齊（非齊）線性微分方程組解的性質與結構，理解階線性微分方程與一階線性微分方程組的關系。掌握非齊次線性微分方程組的常數變易法，理解常系數齊線性微分方程組基解矩陣的概念，掌握求基