人教版八年級數(shù)學下冊教案集

第一十六章二次根式

教材分析：

1.本單元教學的主要內(nèi)容：

二次根式的概念；二次根式的加減：二次根式的乘除；最簡二次根式.

學情分析：

新學期，根據(jù)八年級的實際，首先是先摸清底子，穩(wěn)住學生，然后根據(jù)學生學情分布情況，

重新劃分學習小組，對新轉(zhuǎn)班過來的學生，做好各方面的工作，使他們迅速適應(yīng)新環(huán)境，然

后，盡快幫他們找到新的學習榜樣和新學伴，幫他們樹立競爭意識和發(fā)展意識以及創(chuàng)新意識,

鼓勵大家在新學期，獲得更大的進步，取得更大的發(fā)展。

教學目標：

1.知識與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解右(a>0)是一個非負數(shù)，(&)2=a(a)0),J/=a(a20).

(3)掌握G,4b=4ab(a20,b20),4ab~4a,>Jb；

JaaaJa

(a>0,b>0),,—(a,0,b>0).

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念.再對概念的內(nèi)

涵進行分析，得出兒個重要結(jié)論，并運用這些重要結(jié)論進行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規(guī)定，并運用

規(guī)定進行計算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化簡.

(4)通過分析前面的計算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概

念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和

化簡的目的.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過本單元的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，經(jīng)過探索二

次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學重點

1.二次根式右(a》0)的內(nèi)涵.4a(a20)是一個非負數(shù)；(C),=a(a'O)；

y/a^=a(a20)及其運用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學難點

1.對&(a'O)是一個非負數(shù)的理解；對等式(、萬)2=a(a20)及J/=a(a》

0）的理解及應(yīng)用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

教學關(guān)鍵

1.潛移默化地培養(yǎng)學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點.

2.培養(yǎng)學生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進行準確計算的能力，培養(yǎng)學生一絲不茍

的科學精神.

單元課時劃分

本單元教學時間約需11課時，具體分配如下：

16.1二次根式3課時

16.2二次根式的乘法3課時

16.3二次根式的加減3課時

教學活動、習題課、小結(jié)2課時

16.1二次根式

教學內(nèi)容

二次根式的概念及其運用

教學目標

知識與技能目標：理解二次根式的概念，并利用〃'（a，0）的意義解答具體題目.

過程與方法目標：提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，

發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學重難點關(guān)鍵

1.重點：形如右（a20）的式子叫做二次根式的概念；

2.難點與關(guān)鍵：利用“五（a20）”解決具體問題.

教法：1、引導發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學生產(chǎn)生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現(xiàn)了教師主導和學生主體的作用，對實現(xiàn)教學目標起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，與平方根進行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行

分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的模型，形成有效的學習策

略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內(nèi)進行他

檢，提高學生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：

問題1：已知反比例函數(shù)y=32,那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標

x

是?

問題2：如圖，在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長是.

A

老師點評：

問題1：橫、縱坐標相等，即*=丫，所以X2=3.因為點在第一象限，所以x=0,所以

所求點的坐標（百，也）.

問題2：由勾股定理得AB=JJU

二、探索新知

很明顯百、麗，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子,

我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如右（a20）的式子叫做二次根式,

稱為二次根號.

議一議：

1.T有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當a<0,&有意義嗎？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：丘、6、>、G（x〉0）、J5、

X

痣、-0、一!—、Jx+y（x20,yNO）.

x+y

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“?”：第二，被開方數(shù)是正數(shù)

或0.

解：二次根式有：6、4x（x>0）、瓜、-0、y/x+y（x20,y20）；不是二次

根式的有：我、痣、」一

xx+y

例2.當x是多少時，，3x-l在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-l>0,J不

才能有意義.

解：由3xT20,得：x>—

3

當X2!時，J3x-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、應(yīng)用拓展

例3.當x是多少時，j2x+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

X4-1

分析：要使j2x+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足J2x+3中的20和」一

x+lX+1

的x+l#0.

2x+3>0

解：依題意，得

x+1w0

3

由①得：X^--

2

由②得：x#-l

31

當X2-—且xW-l時，j2x+3+——在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4⑴已知y=JT^+JT^+5,求土的值.（答案⑵

y

⑵若而1+屈工=0,求aZO'b?004的值.（答案：,）

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，“、廠”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù).

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-V?B.折C.4xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.\/4B.J16C.A/8D.—

X

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.V5C.|D.以上皆不對

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為In?的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計需要，底面應(yīng)做

成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？

W^+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

2.當x是多少時,

X

3.若J3-X+4-3有意義,則4^=—

4.使式子J-（x-5產(chǎn)有意義的未知數(shù)x有（）個.

A.0B.1C.2I）.無數(shù)

5.已知a、b為實數(shù)，且V^?+2jl0-2a=b+4,求a、b的值.

答案：

一、1.A2.D3.B二、1.4a（a》0）2.03.沒有

三、1.設(shè)底面邊長為x,則0.2x?=l,解答：x=石.2.依題意得：12'+3'°」X2一萬

"0八

...當X>--且xWO時，■光+3+x2在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

2x

3.—4.B5.a=5,b=-4

3

板書設(shè)計：

§16.1.1.二次根式（1）

情境引入例2學生板演

二次根式的定義例3

例1例4小結(jié)

16.1二次根式（2）

教學內(nèi)容

1.y/a（a>0）是一個非負數(shù)；

2.（6）%%20）.

教學目標

知識與技能目標：理解G（a20）是一個非負數(shù)和（G）2=a（a20）,并利用它們進行

計算和化簡.

過程與方法目標：過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出血（a20）是一個非負

數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導出（G）-a（a）0）；最后運用結(jié)論嚴謹解題.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，

發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學重難點關(guān)鍵

1.重點：W（a20）是一個非負數(shù)；（、份）-a（a20）及其運用.

2.難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導出夜（a20）是一個非負數(shù)；用探究的方法導

出（4a）%（a》0）.

教法：1、引導發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學生產(chǎn)生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現(xiàn)了教師主導和學生主體的作用，對實現(xiàn)教學目標起了重要的作用：2、講練結(jié)合法：在

例題教學中，引導學生閱讀、類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行分層練習，培

養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生理解人（a>0）是一個非負數(shù)和（右）

z=a（a>0）,形成有效的學習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料-，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內(nèi)進行他

檢，提高學生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程

一、復習引入

（學生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當a20時，叫什么？當a<0時，&有意義嗎？

老師點評（略）.

二、探究新知

議一議：g（a>0）是一個什么數(shù)呢？

老師點評：

&（a-0）是一個非負數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（74）2=_；（V2）2=__；（>/9）2=__；（V3）2=

（即=一；《J——；IC）'——?

老師點評：”是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，、〃是一個平方等于4的

非負數(shù)，因此有（）=4.

同理可得：（V2）、2,（?。㎎9,（6）2=3,（J-）（J-）2=-,（VO）

V33\22

2=0,所以

（\[a）2=a（a20）

例1、計算

1.（^1）22.（3A/5）23.>24.（書）？

分析：我們可以直接利用（G）Ja（a20）的結(jié)論解題.

解：(J-)2,(375)2=32?(V5)2=32-5=45,

V22

（也八包一

2224

三、鞏固練習

計算下列各式的值：

（加）2（舟呼）2心,

(3⑹2_(5同

四、應(yīng)用拓展

例2、計算

1.(Vx+T)2(x^o)2.(行)23.(yla2+2a+\)2

4.(V4X2-12X+9)2

分析：(1)因為x20,所以x+l〉0；(2)a>O；(3)a2+2a+l=(a+1)》0；

(4)4x-12x+9=(2x)-2?2x?3+3=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運用(J3)-a(a20)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因為x20,所以x+l〉0

(VTH)2=x+l

(2)Va^O,(Vo7)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

XV(a+1),O,.-.a2+2a+l>0,AVa2+2a+l=a2+2a+l

(4)V4x-12x+9=(2x)-2?2x-3+32=(2x-3)2

又■(2x-3)z>0

.,.4x-12x+9^0,Z.(V4X2-12X+9)=4x-12x+9

例3、在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x-3(2)x-4(3)2x-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.4a(a20)是一個非負數(shù)；

2.(4a)Ja(a20);反之:a=(4a)2(a》0).

六、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列各式中后、扃、“2一1、揚+丁、7?12+20,J-144,二次根式

的個數(shù)是().

A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是().

A.a>0B.aNOC.a<0D.a=0

二、填空題

1.(-V3)2-.

2.已知而1有意義，那么是一個數(shù).

三、綜合提高題

1.計算

2

(1)(V9)(2)-(6)2⑶(，而)2(4)(-3\3)

2

(5)(26+3后)(26-3揚

2.把下列非負數(shù)寫成個數(shù)的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.已知yjx-y+\+-x/x-3=0,求x'的值.

4.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x-2(2)x-93x-5

答案：一、1.B2.C；二、1.32.非負數(shù)；三、1.(1)(79)J9(2)-

I?3(22

(V3)=-3(3)(-V6)2=-X6=-；(4)(-3.-)2=9X-=6(5)-6

242V33

2.(1)5=(6)？；(2)3.4=(^4)2；(3)-=(J-)2；(4)x=(4)

6v6

(x20)

-

xy+1=0x=3.9/—/—

3.<-<xy=3=81；4.(1)x-2=(X+J2)(x-j2)

九一3=0[y=4

(2)x"-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(X+6)(x-6)；⑶略

板書設(shè)計：

§16.1.二次根式(2)

情境引入例1學生板演

1.y/a(a>0)是一個非負數(shù)；例2

2.(Va)2=a(a20);

反之：a=(>[a)2(a20).例3小結(jié)

16.1二次根式（3）

教學內(nèi)容：、岳=a（a》0）

教學目標

知識與技能目標：理解J7=a（a）0）并利用它進行計算和化簡.

過程與方法目標：通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究J^=a（a20）,并利用這個結(jié)論解決具體

問題.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化筒的嚴謹?shù)目茖W精神，

發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學重難點關(guān)鍵

1.重點：—a（a》0）.

2.難點：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時，"=&才成立.

教法：1、引導發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學生產(chǎn)生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現(xiàn)了教師主導和學生主體的作用，對實現(xiàn)教學目標起了重要的作用：2、講練結(jié)合法：在

例題教學中，引導學生閱讀類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行分層練習，培養(yǎng)

學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟值=2（a》0）,形成有效的學習策

略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材.料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內(nèi)進行他

檢，提高學生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程:一、復習引入

1.形如。（a20）的式子叫做二次根式；

2.G（a>0）是一個非負數(shù)；

3.）2=a（a20）.

那么，我們猜想當a20時，J/ua是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知

填空：

=______；A/O.OI2=______；J(.?

(老師點評)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

應(yīng)2Vo.oi2=0.oi；J(.)j,J(|y；再=0；J(|o.

因此，一般地：J/=a(a20)

例1、化簡

(1)V9(2)J(-4>(3)V25(4)J(-3>

分析:因為(D9=-32,(2)(-4)%,(3)25=52,

(4)(-3)J*所以都可運用"=a(a>0)去化簡.

解：(1)囪=正=3(2)7(-4)2=7?=4

(3)岳=疔=5(4)J(-3)2=疔=3

三、應(yīng)用拓展

例2、填空：當a20時，4^=.當a<0時，J/=,并根據(jù)這一性

質(zhì)回答下列問題.

(1)若J/=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若J/=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)V??>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：:J/=a(a20),.?.要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)

變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當aWO時，J(-a)?,那么-a20.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件：(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知J/=

Ia|,而IaI要大于a,只有什么時候才能保證呢?a<0.

解：(1)因為行=@,所以a》0；

(2)因為J/=-a,所以a<0；

(3)因為當a，0時J/=a,要使J/>a,即使a>a所以a不存在；當a<0時，=~a,

要使J/>a,即使-a〉a,a<0綜上,a<0

例3、當x>2,化簡J(x_2>_J(1_2X)2.

分析：(略)

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：C=a(a》0)及其運用，同時理解當a<0時，J/=-a的應(yīng)用拓

展.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

33

2.a20時，行、J(-4比較它們的結(jié)果，下面四個選項中正確的是().

A.必=4—a]》一籽B.必>J(F)2>一在

C.行<<_"D.一值>"=)(_4)2

二、填空題

1.-j0.0004=_

2.若疝而是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是__

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當a=9時，求a+Jl-2”+力的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(l-4=a+(1-a)=1；

乙的解答為：原式=a+J(]-a)2=a+(a-l)=2aT=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是.

2.若|1995-a|+Ja-2000=a,求a-1995?的值.

(提示：先由a-200020,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負數(shù)，去掉絕對值)

3.若-3WxW2時，試化簡|x-2|+J(x+3>+&-10x+25。

答案:一、1.C2.A；二、1.-0.022.5；三、1.甲甲沒有先判定1-a是正數(shù)還是

負數(shù)

2.由已知得a-2000\0,a>2000

所以a-1995+yja-2000=a,Ja—2000=1995,a-2000=1995',

所以a-19952=2000.

3.10-x

板書設(shè)計：

§16.1.二次根式(3)

情境引入例2學生板演

=a(a^O).例3

例1練習小結(jié)

教學反思:

16.2二次根式的乘除(1)

教學內(nèi)容：4a,\[b=\[ab(a>0,b>0),反之=,Jb(a>0,b>0)及其

運用.

教學目標

知識與技能目標：理解右,\[b=\[ab(a>0,b20),\[ab-4a?4b(a20,b

20),并利用它們進行計算和化簡

過程與方法目標：由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出。?6=疝(a20,b20)并運

用它進行計算；利用逆向思維，得出疝=6?4b(a20,b20)并運用它進行解題和

化簡.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精

神，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學重難點關(guān)鍵

重點：yfa,y/b=4ab(a>0,b20),4ab=>Ja,>Jh(a20,b20)及它們的運

用.

難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出。,-Jb—\[ab（a》0,b20）.

關(guān)鍵：要講清4ab(a<0,b<0)=夜振，如J(—2)x(—3)=J-(-2)x-(-3)或

7（-2）x（-3）=VM=V2X百.

教法：1、引導發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學生產(chǎn)生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現(xiàn)了教師主導和學生主體的作用，對實現(xiàn)教學目標起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，與算術(shù)平方根的乘法進行類比，獲得解決問題的方法后配以精

講，并進行分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的乘法法則，形成有效的學

習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內(nèi)進行他

檢，提高學生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學完成下列各題.

1.填空

(1)74x79=______,74^9=；

(2)V16X^25=,J16x25=.

(3)7100x736=，7100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或=”填空.

V4XV974^9,V16XV25V16x25,V100X

V36V100x36

2.利用計算器計算填空

(1)72xV36，(2)V2xV5回,

(3)75x76V30,(4)V4xV5而，

（5）幣xVioV70.

老師點評（糾正學生練習中的錯誤）

二、探索新知

（1）被開方數(shù)都是正數(shù)；

（2）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘，作

為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為:y/a,4b=4ab.(a，0,b20)

反過來:=G?&(a20,b，0)

例1.計算

（1）VsxV7（2）2(3)V9XV27(4)

分析：直接利用G-y/b=y[ab（a）0,b20）計算即可.

解：⑴V5X>/7=>/35

；x9=6

(2)

M義亞=19x27=J9?x3=96

；x6=y/3

(4)

例2化簡

(1)J9xl6(2)716x81(3),81x100

(4)MV(5)V54

分析：利用瘋=6-4h（aNO,b，0）直接化簡即可.

解：(1)V9xl6=V9XV16=3X4=12

(2)716x81=716xVH=4X9=36

(3)781x100=V81XV100=9X10=90

（4）收后=用X后手=由XEX后=3xy

(5)V54=—9x6=V?XV6=3V6

三、鞏固練習

(i)計算：①Vi6x瓜②3V6x2V10③,J~ay

(2)化簡：而；在；V24;V54;Ji2a2b2

四、應(yīng)用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)J(-4)x(-9)=J-4xJ-9

(2)J4—XV25=4XJ—xV25=4J—X725=4712=873

V25V25V25

解：(1)不正確.

改正：J(—4)x(—9)=="4次=2義3=6

(2)不正確.

改正：J4—XV25=J—XV25=J—x25=VT12=V16x7=477

五、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）4a,4b=4ab-（a）0,b>0）,4ab=4a?\[b

（a20,b20）及其運用.

六、布置作業(yè)：一、選擇題

1.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為后cm和在cm,那么此直角三角形斜邊

長是（）.

A.85/2cmB.3A/3cmC.9cmD.27cm

—」的結(jié)果是（）.

2.化簡a

a

A.J-aB.y[aC.-yj-aD.-y[a

3.等式J7TT&斤=J%?一1成立的條件是（）

A.x21B.x2TC.TWxWlD.x21或xWT

4.下列各等式成立的是().

A.46X2石=8V5B.573X4A/2=20>/5

C.4百X30=7石D.5A/3X4A/2=20V6

二、填空題：1.71014=

2.自由落體的公式為S='g/(g為重力加速度，它的值為10m/8),若物體下落的高

2

度為720m,則下落的時間是.

三、綜合提高題：1.一個底面為30cmX30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分

水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm,

鐵桶的底面邊長是多少厘米？

2.探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.

通過上述探究你能猜測出:(a>0),并驗證你的結(jié)論.

答案:一、1.B2.C3.A4.D；二、1.13762.12s

三、1.設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為X,

則x'x10=30X30X20,x=30X30X2,

x=730x30X-X/2=3OV2.

板書設(shè)計:

16.2二次根式的乘除(1)

情境引入例2學生板演

4a?4b=y[ab(a>0,b20),例3

反之=G,4b(a20,b20).

例1練習小結(jié)

16.2二次根式的乘除(2)

教學內(nèi)容

4a[a_4a

(a>0,b>0),反過來(a>0,b>0)及利用它們進行計算和化簡.

而Vb4b

教學目標

知識與技能目標：理解組1口

(a20,b>0)(a20,b>0)及利用它們

4bU

進行運算.

過程與方法目標：利用具體數(shù)據(jù)，通過學生練習活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并

用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精

神，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

4a_la

教學重難點關(guān)鍵：1.重點：理解(a20,b>0),(a，0,b>0)及利用

b4b

它們進行計算和化簡.

2.難點關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教法：1、引導發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學生產(chǎn)生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現(xiàn)了教師主導和學生主體的作用，對實現(xiàn)教學目標起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，與商的平方根進行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并

進行分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的除法法則，形成有效的學

習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內(nèi)進行他

檢，提高學生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程：一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下列各題：

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

(1)

V16

3.利用計算器計算填空:

V3，V2V2

(2)耳⑷

出

規(guī)律:

忑一

二、探索新知

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:(a>0,b>0),

fa_y/a

反過來,Nb4b(a20,b>0)

下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

yfa_[a

分析:上面4小題利用yfbNb(aNO,b>0)便可直接得出答案.

3

(2)8=43x4=>/3X=2G

8rrvl

分析：直接利用1口=5(a>o,b>0)就可以達到化簡之目的.

Vby/b

分析：式子4=骼，只有a2°，b>0時才能成立.

因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因為x為偶數(shù)，所以x=8.

A…[9-x>0[x<9

解：由題意得《，即《

x-6>O[x>6

；.6<xW9

Vx為偶數(shù)

/.x=8

(x-4)(1)

工原式二(l+x)

(x+l)(x-l)

x-4

(1+x)

x+\

Jx-4I-------------

=(1+X);=J(i+x)(x—4)

J(x+1)

.?.當x=8時，原式的值=J?^=6.

四、歸納小結(jié)

\Jaa一ayJa

本節(jié)課要掌握(a20,b>0)和q—=j(a^O,b>0)及其運用

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1計算惇居

的結(jié)果是().

V2

A.-V5BC.V2D.

7-7

2.閱讀下列運算過程:

1_V3_732_2752V5

也x6-3'百一氐6"V

2

數(shù)學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡二的結(jié)果是

().

A.2B.6C.—V6D.V6

3

二、填空題

1；⑶票

1.分母有理化：(1)；(2)

372

2.已知x=3,y=4>z=5,那么+的最后結(jié)果是

三、綜合提高題

1.有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為百：1,現(xiàn)用直徑為

3715cmW?種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？

(m>0,n>0)

a1

(a>0)

m-n

M五x加近2叵

答案：一、LA2.C二、1.(1)—;(2)—;(3)

662y[5~2y[5-23

三、1.設(shè)：矩形房梁的寬為x(cm),則長為百xcm,依題意，得：(V3x)2+x2=(3>/15)

4xJ9X15,x=—V15(cm),6x?x二6■百(cm2).

24

=~=--二=-JG(2)原式

mVmmmm.

r)(〃"嗎"嘰，:一2叵，屆

V2a~m+〃m-nv2

板書設(shè)計：

16.2二次根式的乘除(2)

情境引入例2學生板演

(a》0,b>0),

反過來=(a>0,b>0)例3

\b4b

例1練習小結(jié)

16.2二次根式的乘除(3)

教學內(nèi)容:最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算.

教學目標

知識與技能目標：理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最筒二次根式的化成最簡

二次根式.

過程與方法目標：通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特

點來檢驗最后結(jié)果是否滿足最簡二次根式的要求.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精

神，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

重難點關(guān)鍵

1.重點：最簡二次根式的運用.

2.難點關(guān)鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教法：1、引導發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計的問題鏈，使學生產(chǎn)生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現(xiàn)了教師主導和學生主體的作用，對實現(xiàn)教學目標起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行分層練習，培

養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟最簡二次根式的模型，形成有效的學

習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內(nèi)進行他

檢，提高學生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程：一、復習引入

請同學們完成下列各題

,、［笆/I、6(八3五樞

1.計算(1)-F,(2)—,—，(3)—,—

V5V27yJ2a

V3_V15372_V678_14a

755'V273'京a

2.現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是hikm,hekm,那么它們的

傳播半徑的比是—

它們的比是武

二、探索新知

觀察上面計算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點:

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式.

學生分組討論，推薦3~4個人到黑板上板書.

老師點評：不是.

例2.如圖，在RtZ\ABC中,ZC=90°，AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長.

解：因為AB'ACZ+BC?

所以AB=1+62=J(|)2+36=舊=嚼*=6.5(cm)

因此AB的長為6.5cm.

三、應(yīng)用拓展

例3.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:

1_lx(挺-1)二夜，石1,

V2+1(V2+1)(72-1)-2-1，

1_lx(V3-V2)V3-V2f-行

萬口F西溝莊面一不二

同理可得：1~~尸=，？-6，...

V4+V3

從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算

+-廠1L+-＞廠+……——11——(V2002+1)的值.

V2+1V3+V2V4+V3V2002+VW1

分析：山題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以

達到化簡的目的.

解：原式=(y/2_1+A/3-V2+5/4-A/3++V2002-V2001)x(V2002+D

二(V2002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡二次根式的概念及其運用.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1.如果有（y>°）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）.

A.牛（y>0）B.yfxy（y>0）C.（y>0）D.以上都不對

2.把（a-1）.一一L中根號外的（aT）移入根號內(nèi)得（）.

Va-\

A.y/ci—1B.*\/l—u,