最優(yōu)控制結課報告

結課報告最優(yōu)控制理論是現(xiàn)在控制理論的一個重要組成部分?？刂评碚摪l(fā)展到今天，經(jīng)歷了古典控制理論和現(xiàn)代控制理論兩個重要發(fā)展階段，現(xiàn)已進入了以大系統(tǒng)理論和智能控制理論為核心的第三個階段。對于確定性系統(tǒng)的最優(yōu)控制理論，實際是從20世紀50年代才開始真正發(fā)展起來的，它以1956年原蘇聯(lián)數(shù)學家龐特里亞金(Pontryagin)提出的極大值原理和1957年貝爾曼提出的動態(tài)規(guī)劃法為標志。這些理論一開始被應用于航空航天領域，這是由于導彈、衛(wèi)星等都是復雜的MIMO非線性系統(tǒng)，而且在性能上有極其嚴格的要求。時至今日，隨著數(shù)字技術和電子計算機的快速發(fā)展，最優(yōu)控制的應用已不僅僅局限于高端的航空航天領域，而更加滲入到生產(chǎn)過程、軍事行動、經(jīng)濟活動以及人類的其他有目的的活動中。最優(yōu)控制的發(fā)展成果主要包括分布式參數(shù)的最優(yōu)控制、隨機最優(yōu)控制、自適應控制、大系統(tǒng)最優(yōu)控制、微分對策等，可以這樣講，最有控制理論對于國民經(jīng)濟和國防事業(yè)起著非常重要的作用。這個學期開設的最優(yōu)控制課程，主要介紹的是靜態(tài)優(yōu)化，經(jīng)典變分法以及極小值原理。對于靜態(tài)優(yōu)化的方法，解決的主要是如何求解函數(shù)的極值問題；變分法則被用來求解泛函的極值問題;極小值原理的方法，適用于類似最短時間控制、最少燃料控制的問題。另外，在這些的基礎上，我們還學習研究了線性系統(tǒng)二次型指標的最優(yōu)控制，即線性二次型問題(LQR)。類似其他的控制理論與控制工程的專業(yè)課程，最優(yōu)控制的基礎不但是有關自動化、控制方面的內(nèi)容，很大一部分可以說是高等數(shù)學，以及更加深刻的數(shù)學知識和理論。就這門課程而言，遇到的第一個比較重要的數(shù)學命題，就是關于泛函的問題。在學習泛函之前，我們都對于函數(shù)的定義非常清楚，簡而言之，泛函就是“函數(shù)的函數(shù)”。在動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題中，其性能指標就是一個泛函，而性能指標最優(yōu)即泛函達到極值。以如下方式表示泛函，J=J[X(t)]那么求解泛函極值的問題，就是讓J(X)在X=X*處有極值的必要條件是對于所有容許的增量函數(shù)5X(自變量的變分)，泛函J(X)在X*處的變分為0：6J(X*,5X)=0為了判別其為極大還是極小，就需要計算其二階變分52J。具體的泛函極值問題又可以分為兩類，無約束條件與有約束條件。對于泛函J=jtfF「X,X,t]dt(X,X為向量)取無約束極值的必要條件為竺-—(竺)=0tL」 6Xdt6X0(歐拉-拉格朗日方程)，當X(t0)X(f自由時，還需要橫截條件焉=0(當t=t0和t=t時)。f對于狀態(tài)方程為X=f[x(t),U(t),t]的系統(tǒng)，其性能指標

J=?[X(tf),tf+jtfF[x(t),J=?[X(tf),tf〕(協(xié)態(tài)方程)(〕(協(xié)態(tài)方程)(狀態(tài)方程)￥ aH人=— aX文aHX=型=0dUa人型=0dUa? a? aGT(橫截條件)人(t)= :—+ v(橫截條件)f ax(t)ax(t)f f其中，H(X,U,人,t)=F(X,U,t)+Xt?f(X,U,t)稱作哈密頓函數(shù)。在經(jīng)典變分法中，5U為任意，如果不滿足這種情況，就需要利用極小值原理來求解。極小值原理是對經(jīng)典變分法的擴展，可以解決經(jīng)典變分法無法解決的最優(yōu)控制問題。也就是當控制有約束，哈密頓函數(shù)H對U不可微時，要用極小值原理。所得出的最優(yōu)控制必要條件與變分法所得的條件的差別，僅在于用哈密頓函數(shù)在最優(yōu)控制上取值的條件aH一H(X*,U*,X*,t)=minH(X*,U,U,t)代替k=0，可以看出，后者可以作為前者的特UeQ aU殊情況。其他條件包括正則方程，橫截條件，邊界條件等都一樣。需要注意的是，極小值原理解決最短時間控制問題時，最短時間的控制量只能取約束的邊界值+1或-1；而最少燃料控制的控制量可取邊界值+1、-1、0。用極小值原理解非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制將導致非線性兩點邊值問題，這類問題求解是很困難的。即使系統(tǒng)是線性的，但當指標函數(shù)是最短時間、最少燃料這種形式，要求得到最優(yōu)控制的解析表達式，并構成反饋控制(即把U⑴表示為X(t)的函數(shù))也是非常困難的。線性二次型問題的實用意義在于：把它所得到的最優(yōu)反饋控制與非線性系統(tǒng)的開環(huán)最優(yōu)控制結合起來，可減少開環(huán)控制的誤差，達到更精確的控制的目的。與經(jīng)典控制問題相比，線性二次型問題有兩個顯著的特點：第一，它研究的是多輸入多輸出動態(tài)系統(tǒng)的控制問題，其中包括了作為特例的單輸入單輸出情形；第二，它的性能指標是綜合性的，既包含有誤差的成分，又包含有控制能量的成分。根據(jù)線性的最優(yōu)反饋控制律，即控制量正比與狀態(tài)變量，可寫成u(t)=—G(t)X(t)或u(k)=—L(k)X(k)。把這種線性二次型問題的最優(yōu)控制與非線性系統(tǒng)的開環(huán)控制結合起來，還可減少開環(huán)控制的誤差。線性二次型問題的最優(yōu)控制一般可分狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題和伺服跟蹤問題兩大類。對于終端時刻tf有限的連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，要求加權陣P、Q為對稱半正定，R為對稱正定，但并不要求系統(tǒng)完全可控。將最優(yōu)控制寫成U(t)=—R-i(t)Bt(t)K(t)X(t)=—G(t)X(t)，K(t)滿足黎卡提矩陣微分方程K(t)=—K(t)A(t)—At(t)K(t)+K(t)B(t)R-1(t)Bt(t)K(t)—Q(t)從tf至0t0逆向積分建議采用變步長四階龍格-庫塔法。近一段時間看了一些相關與最優(yōu)控制方法的論文，同時通過控制系統(tǒng)實驗，進一步加強了對最優(yōu)化控制理論的了解和認識。在對單級倒立擺的控制中，采用了線性二次最優(yōu)LQR控制，根據(jù)系統(tǒng)方程X=AX+Bu確定最佳控制向量K，使得性能指標J=M（X*QX+u*Ru）dt達到最小值，其控制原理圖如下0對線性系統(tǒng)：X=AX+BuY=CX根據(jù)期望性能指標選取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反饋矩陣K的值。K=lqr（A，B，Q，R）改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應效果，Q的值越大（在一定的范圍之內(nèi)），系統(tǒng)抵抗干擾的能力越強，調(diào)整時間越短。具體實驗結果如圖：LQR最優(yōu)控制系統(tǒng)中Q(t),R(t)的選擇是相互制約，相互影響的，因此，在實際應用中，根據(jù)性能指標的要求來對Q(t)，R(t)中元素的加權值提出相應的要求，使系統(tǒng)性能指標最優(yōu)的同叫又均衡考慮能量消耗等因素.研究結果表明：使用線性二次型最優(yōu)控制器對被控對象進行控制，控制效果好，可實現(xiàn)最優(yōu)控制的目的.適應性強，因而值得進一步研究和推廣。最優(yōu)控制理論的實現(xiàn)，離不開一系列的最優(yōu)化方法，主要包括兩個方面就是如何將最優(yōu)化問題表示為數(shù)學模型，如何根據(jù)數(shù)學模型盡快求出其最優(yōu)解。在最優(yōu)化問題的數(shù)學模型建立后，其求解方法大致可以分為解析法、數(shù)值解法(即直接法)、解析與數(shù)值相結合的求解方法、網(wǎng)絡最優(yōu)化方法。而隨著模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡等智能技術和計算機技術的發(fā)展，智能式的優(yōu)化方法在控制領域中得到了重視和發(fā)展，比如將模糊控制與自適應算法相融合，或者將模糊控制與神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法等相融合的智能優(yōu)化。它們通過改進自學習算法、遺傳算法，按給定的優(yōu)化性能指標，對被控對象進行逐步尋優(yōu)學習，從而有效地確定控制器的結構和參數(shù)。作為一名雙控專業(yè)的研究生，對于控制算法的精益求精是最本質(zhì)的追求。在如今的控制領域，各種控制算法，尤其是與數(shù)學學科相融合，得到了極大的發(fā)展。最優(yōu)控制作為一門發(fā)展較為成熟的理論，其成效已在日常生活中顯而易見。人們不斷的追求高質(zhì)量的生活，同時也不得不考慮未來的能源緊缺問題，因此尋找一個適合人類生存的最優(yōu)方式，已經(jīng)成了人類面臨的最大命題。因此，最優(yōu)控制理論還亟待更快更好的發(fā)展。而學習到的最優(yōu)控制知識還遠遠不夠，不僅需要拓寬自己的知識層面，也需要鞏固已學到的知識。將理論與實際結合，將知識付諸于實踐。同時，不斷深入研究，爭取在控制領域有所建樹。參考文獻張洪鉞，王青。最優(yōu)控制理論與應用。北京：高等教育出版社，2006.方洋旺。隨機系統(tǒng)最優(yōu)控制。北京：清華大學出版社，2005.巨永鋒，李登峰。最優(yōu)控制。重慶：重慶大學出版社，2005.肖軍，白靜。狀態(tài)反饋最優(yōu)控制器設計及仿真。鞍