第章 影響線及其應用

第十一章影響線及其應用P274§11—1概述§11—2用靜力法作單跨靜定梁的影響線§11—3間接荷載作用下的影響線§11—4用機動法作單跨靜定梁的影響線§11—5多跨靜定梁的影響線§11—6桁架的影響線§11—7利用影響線求量值§11—8鐵路和公路的標準荷載制§11—9最不利荷載位置§11—10換算荷載§11—11簡支梁的絕對最大彎矩§11—12簡支梁的包絡圖§11—1概述1.問題的提出工程結構除了承受固定荷載作用外，還要受到移動荷載的作用。例如：見圖。在移動荷載作用下，結構的反力和內(nèi)力將隨著荷載位置的移動而變化，在結構設計中，必須求出移動荷載作用下反力和內(nèi)力的最大值。為了解決這個問題，需要研究荷載移動時反力和內(nèi)力的變化規(guī)律。然而不同的反力和不同截面的內(nèi)力變化規(guī)律各不相同，即使同一截面，不同的內(nèi)力變化規(guī)律也不相同，解決這個復雜問題的工具就是影響線。2.最不利荷載位置某一量值產(chǎn)生最大值的荷載位置，稱為最不利荷載位置。ABRAF工程中移動荷載常由很多間距不變的豎向荷載組成，類型多種多樣，不可能逐一研究。先研究最簡單的荷載，即豎向單位集中荷載F=1沿結構移動時，對某量值產(chǎn)生的影響，據(jù)疊加原理可進一步研究各種移動荷載對該量值的影響。1231F=1F=1F=1F=1F=1所得圖形表示F=1在梁上移動時反力RA的變化規(guī)律，這一圖形就稱為反力RA的影響線。03/41/21/43.影響線的定義指向不變的單位集中荷載(豎直向下)沿結構移動時，表示某一量值變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。某量值的影響線一經(jīng)繪出，就可以利用它來確定最不利荷載位置，應用疊加法求出該量值的最大值。RA的影響線ABRAF1231F=1F=1F=1F=1F=103/41/21/4§11—2用靜力法作單跨靜定梁的影響線1.繪制影響線的基本方法：2.靜力法：1)選定一坐標系，荷載F=1置于橫坐標x處;2)據(jù)靜力條件求所求量值與荷載位置x之間的函數(shù)關系S(x)，即影響線方程;

3)根據(jù)方程S(x)繪影響線。靜力法和機動法。3.簡支梁的影響線（1）反力影響線由∑MB=0(0≤x≤l)當x=0,RA=1x=l,RA=0RA影響線1RA影響線:RB影響線由∑MA=0RBl－Fx=0(0≤x≤l)當x=0,RB=0x=l,RB=1RB影響線1yKxRARBF=1K00⊕⊕物理意義:當F=1移動到K截面時,支座A的反力RA的大小F=1（2）彎矩影響線繪制MC的影響線當F=1在C左側(cè)移動時,取截面C以右部分:MC=RBb=(0≤x≤a)得MC影響線的左直線。x=0,MC=0x=a,MC=ab/lb當F=1在截面C右側(cè)移動時:取截面C以左部分:MC=RAa=(a≤x≤l)得MC影響線的右直線。x=a,MC=x=l,MC=0ab/l左直線右直線xxMC影響線aF=1x0F=1RAabCRBxF=1F=111右直線左直線xxFsC影響線b/lF=1x繪制FsC的影響線（3）剪力影響線F=1RAabCRBxF=1-當F=1在AC段上移動時,取截面C以右部分:FsC=－RB(0≤x＜a)當F=1在CB段上移動時,取截面C以左部分:FsC=RA(a＜x≤l)(右直線)(左直線)4.伸臂梁的的影響線（1）反力影響響線F=1x由平衡條件求得得RA=RB=(-l1≤x≤l+l2)11（2）跨內(nèi)部分分截面內(nèi)力影響線MC、FsC影響線當F=1在DC段移動時，取截面C以以右部分為隔離體有有MC=RBbFsC=－RB1當F=1在CE段移動時，取截面C以以左部分為隔離體有有MC=RAaFsC=RAab1RA影響線RB影響線MC影響線FsC影響線RARBabEDABCF=1x⊕?(3)伸臂部分分截面內(nèi)力影響響線繪制MK、FsK影響線當F=1在DK段上移動時時KDEF=1x取K以左為隔離離體MK=－xFsK=－1dd1MK影響線FsK影響線當F=1在KE段段上移動時取K以左為隔離體體F=1MK=0FsK=0繪制FsA左影響線1FsA左影響線繪制FsA右影響線11FsA右影響線0??⊕⊕??§11—3間接接荷載作用下的影影響線1.間接荷載（結結點荷載）橋梁結構的縱橫梁梁橋面系統(tǒng)中的主主梁受力簡圖如圖所示。主梁橫梁（結點）縱梁計算主梁時通常假假定縱梁簡支在橫橫梁上，橫梁簡支支在主梁上。荷載載直接作用在縱梁梁上，再通過橫梁傳到主梁，即主主梁承受結點荷載載。這種荷載稱為為間接荷載或結點荷荷載。F2.間接荷載影影響線的繪制方法法以繪制MC影響線為例F=1（1）首先，將F=1移動到各結點處。F=1其MC與直接荷載作用在主梁上完全相同同。MC影響線yDyE（2）其次，當F=1在DE間移移動時，主梁在D、E處分分別受到結點荷載及的作用。xd設直接荷載作用下MC影響線在D、E處的豎標為yD、yE，在上述兩結點荷載作用下下MC值為y=（直線方程）x=0,y=yDx=d,y=yEyF=1F=1CDABEF=13.結論間接荷載作用下影影響線的繪制方法法：（1）首先作出直直接荷載作用下量量值的影響線。（2）然后取各結結點處的豎標，并并將其頂點在每一一縱梁范圍內(nèi)連成直線。。例題F=1RB影響線MK影響線aFsK影響線（練習）a10K練習：試繪制圖示示結構ME、FsE影響線。ME影響線FsE影響線15/85/83/81/21/41/41/43/25/45/43/4§11—4用機機動法作單跨靜定定梁的影響線靜力法和機動法是是作影響線的兩種種基本方法。1.機動法的依據(jù)據(jù)——虛位移原理剛體體系在力系作用下處于于平衡的充要條件件是：在任何微小的虛位位移中，力系所作作的虛功總和為零。2.機動法簡介介作反力RA的影響線，為求反反力RA，撤掉與其相應的約束束即A處的支座，，以正向反力代替。RA原結構變成有一個個自由度的幾何可變體系(機構)，給此體系微小虛位移。A虛功方程：RAA+FF=0FRA=－BA令A=1RA=－F虛位移圖F便代表了RA的影響線。F=1AB1RA(x)=－F(x)虛位移圖影響線F=13.機動動法由前面分析析可知，欲欲作某一反反力或內(nèi)力力S的影響響線，只需將與S相應的約約束撤掉，代以所求求量值S，，并使所得得機構沿S的的正向發(fā)生生單位位移，則由此得得到的豎向向位移圖即為S的影影響線。這這種方法稱稱為機動法。優(yōu)點在于不不必經(jīng)過具具體計算就就能迅速繪繪出影響線線。例：用機動動法繪MC影響線ABCabMCMCABCF=1A1Fa)()114字口訣訣:求何撤何代代以何,沿何吹氣位位移1。。§11—5多跨靜靜定梁的影影響線1.多跨跨靜定梁影影響線繪制制步驟首先分清多跨靜定梁梁的基本部部分和附屬屬部分及其其傳力關系，再利利用單跨靜靜定梁的已已知影響線線，多跨靜靜定梁的影影響線即可繪繪出。2.舉例例說明首先分析幾幾何組成并繪層疊疊圖。Kal當F=1在在CE段上上移動時MK影響線與CE段單獨獨作為一伸臂臂梁相同。。MK影響線當F=1在在AC段上上移動時MK=0當F=1在在EF段上上移動時RF此時CE梁梁相當于在在結點E處受到到VE的作用VE=故MK影響線在EF段為直線。a繪制MK的影響線繪制FsB左的影響線按上述步驟驟繪出FsB左影響線如圖圖。0VEF=1101FsB左影響線F=1xE3.結論論多跨靜定梁梁反力及內(nèi)內(nèi)力影響線線的一般作作法如下：：（1）當F=1在量值本身身梁段上移移動時，量量值的影響響線與相應單跨跨靜定梁相相同。（2）當F=1在對于量值值所在部分分來說是基基本部分的的梁段上移動時時，量值影影響線的豎豎標為零。。（3）當F=1在對于量值值所在部分分來說是附附屬部分的的梁段上移移動時，量量值影響線線為直線。。此外，用機機動法繪制制多跨靜定定梁的影響響線也很方方便。MC影響線83000MK影響線FsC左影響線0FsC右影響線1111.500習題RB影響線ABRB11MCCAB1abbab/lMC影響線RB影響線ABRB11MCCAB1abbab/lMC影響線RB影響線ABRB11FsC影響線FsC111b/la/l表示單位移移動荷載作作用下某指指定截面內(nèi)內(nèi)力變化規(guī)規(guī)律的圖形稱為內(nèi)內(nèi)力的影響響線。()課堂練習2.圖示示結構ME的影響線AC、CD段縱標為。F=1ABCDEAC、CD均不為零；；B.AC、CD均為零；AC為零，CD不為零；D.AC不為零，CD為零。3.圖示示結構MD的影響線在在C點處的的縱坐標值值為。F=1ADCB3m2m1m4/3m1m1、圖b是是圖a的_________影響線，，豎標是表示P=1作用在在_________截面時時________的數(shù)數(shù)值。4.圖b是圖a的的_____影響線線，豎標yD表示F=1作用在___截面面時________的的數(shù)值。F=1CABDK()()ab-yD1mMKDMK§11—6桁架的的影響線(自學)1.單跨跨靜定桁架架，其支座座反力的計計算與單跨跨靜定梁相同同，故二者者反力影響響線相同。。2.用用靜力法法作桁架架內(nèi)力影影響線，，其計算算方法與桁架內(nèi)內(nèi)力的計計算方法法相同，，同樣分分為結點點法和截截面法，不不同的是是作用的的是F=1的的移動荷荷載，只只需求出F=1在不同同位置時時內(nèi)力的的影響線線方程。。下面以簡支桁桁架為例，說說明桁架內(nèi)力力影響線的繪制方法。。3.作桁架架的影響線解：繪S12影響線用力矩法，作作Ⅰ-Ⅰ截面。當F=1在A－1間移動動時ⅠⅠF=1F=1AB取右部為隔離離體，由∑M5=0有有RARBRB×5d－S12h=0S12=RBS12影響線當F=1在2－B間移動動時取左部為隔離離體，F(xiàn)=1F=1由∑M5=0有有RA×3d－S12h=0S12=RA當F=1在節(jié)節(jié)間（1-2）內(nèi)移動時，S12的影響線為一直線?！?1—7利利用影響線線求量值前面學習了影影響線的繪制制方法。現(xiàn)在在開始研究影影響線的應用用。首先討論論如何利用影影響線求量值值。1.集中荷荷載某量值的影響響線已繪出，，若干個荷載作作用在已知位位置。F1F2Fny1y2yn據(jù)疊加原理S=F1y1+F2y2+…+Fnyn=∑FiyiS影響線RF1F2Fn若集中力作用用在影響線某某一直線范圍圍內(nèi)，則有:S影響線S影響線y1y2ynox1x2S=F1y1+F2y2+…+Fnyn0=(F1x1+F2x2+…+Fnxn)tg=tg∑Fixi據(jù)合力矩定定理∑Fixi=R故有S=Rtg=RR合力R作用點處影響線的豎標合力2.分布布荷載qxabS影響線微段dx上的荷載為為qxdx，則ab區(qū)區(qū)段內(nèi)分布布荷載產(chǎn)生生的影響量量:dxyS=均布荷載（Fs=常數(shù)）S=qS影響線abqxdxω影響線在荷載范圍內(nèi)面積的代數(shù)和§11—8鐵鐵路和公路標準準荷載制(P295,了解)公路上行駛的汽汽車、拖拉機等等類型繁多，載載運情況復雜，，設計結構時不不可能對每種情情況都進行計算算，而是以一種種統(tǒng)一的標準荷荷載來進行設計計。這種標準荷荷載是經(jīng)過統(tǒng)計計分析制定出來來的，它既概括括了當前各類車車輛的情況，又又適當考慮了將將來的發(fā)展。我國公路標準荷荷載，分為計算荷載和驗算算荷載。計算荷載汽車—10級汽車—20級汽車—超20級汽車—15級驗算荷載履帶—50掛車—100掛車—120掛車—80§11—9最最不利荷載位置置使某一量值發(fā)生生最大(或最小小)值的荷載位位置，即為最不利荷載位置置。移動荷載載作用下下的結構構，各種種量值均均隨荷載載位置的的變化而變變化，設設計時必必須求出出各種量量值的最最大值（（或最小值））。為此此，要首首先確定定最不利利荷載位位置。1.一一個集中中荷載最不利荷荷載位置置直觀判判斷。S影響線線FSmaxFSmin2.可以任意布布置的均布荷載（（如人群、貨物等等）由式S=q可知S影響線SmaxSmin3.行列荷載：：行列荷載的最不利利荷載位置難于直直觀判定。但據(jù)最不利荷載位置的定義義可知，當荷載移移動到該位置時，，所求量值S最大，因而而荷載由該位置不不論向左或向右移移動到鄰近位置時，S值值均將減小。因此此，下面從討論荷荷載移動時S的增量入手手解決這個問題。。一系列間距不變的的移動集中荷載設某量值S的影響響線如圖,規(guī)定以順時針為正.xyS影響線12現(xiàn)有一組集中荷載載處于圖示位置，R1R2Rny1y2yn所產(chǎn)生的影響量S1為S1=R1y1+R2y2+…+Rnyn當整個荷載組向右右移動△x時，△x△y1△x△x△y2△ynn相應的量值值為S2S2=R1(y1+△y1)+R2(y2+△y2)+…+Rn(yn+△yn)故S的增量量:△S=S2－S1=R1△y1+R2△y2+…+Rn△yn=R1△xtg1+R2△xtg2+…+Rn△xtgn=△x∑Ritgi則△S=△x∑Ritgi當△x>0(荷載右右移)∑Ritgi＜0∑Ritgi0＞0同理，S有有極小值時總之，荷載載向左、右右移動微小小距離后，，∑Ritgi變號，S才可能有有極值?！鱏=△x∑Ritgi＜0當S有極大值的條件:當△x<0(荷載左左移)當△x>0(荷載右右移)∑Ritgi>0∑Ritgi0<0當△x<0(荷荷載左移)△S=△x∑Ritgi>0那末，在什么情情況下∑Ritgi才可能變號？式式中tgi是各段影響線的的斜率，它是常常數(shù)，并不隨荷荷載移動而變號。故引起起變號就是各段段上的合力Ri的數(shù)值發(fā)生變化，顯然只有當當某一集中荷載恰恰好作用在影響響線的某一個頂點處時，才有可能。能使∑Ritgi變號的荷載稱為為臨界荷載，此時的荷載位置稱為臨界荷載位置。臨界荷載位置置判別式如前。。確定臨界位置一一般采用試算法。一般臨界位置置可能不止一個，這就就需將與各臨界界位置相應的S極值均求出，，從中選出最大（（最?。┲担?，相應的荷載位位置就是最不利利荷載位置。為了減小試算次次數(shù)，可事先大大致估計最不利利荷載位置，對于常用的的三角形影響線，abh臨界位置判別式式可進一步簡化，設臨界荷荷載Fcr處于三角形影響線的的頂點，RaFcrRb臨界位置判別式式為：荷載左移(Ra+Fcr)tg－Rbtg＞0荷載右移Ratg－(Fcr+Rb)tg＜0將tg=和tg=代入，得三角形影響線判判別臨界位置的的公式，可以形形象理解為：把Fcr歸到頂點哪一邊邊，哪一邊的平平均荷載就大。。對于均布荷載跨跨過三角形影響線線頂點的情況，，abhRaRb可由的條件來確定臨臨界位置。此時有∑Ritgi=得（11—7）即左、右兩邊的的平均荷載相等。直角三角形影響響線上面諸式不不適用。4.例題：求圖示簡支梁在在汽車—10級級荷載作用下截面C的最大彎彎矩。ABC40m15m25m解：作Mc影響線159·38首先考慮車隊右右行將重車后輪置于于頂點。1003070kN5070306m45415423·756·257·882·250·75按式（6—6)計算有故，這是臨界位位置其他行駛位置置不必考慮。。其次再考慮車車隊調(diào)頭向左行駛。。將重車后輪置于影響線線頂點。有故這又是一臨臨界位置，其它情況也不不必考慮。據(jù)上述兩種臨臨界位置，可可分別算出相相應的MC值。經(jīng)比較得得右行時MC值大，故：MCmax=70×3.75+30×6.25+100×9.38+50×7.88+70×2.25+30××0.75=1962kN·m§11—10換算荷載載在移動荷載作作用下，求結結構上某一量量值的最大（（最?。┲?，，一般先通過過試算確定最最不利荷載位位置，然后求求出相應的量量值，計算較較為麻煩。在在實際工作中中，為了簡化化計算，可利利用編制好的的換算荷載表。換算荷載表：：是指這樣一種種均布荷載K，它產(chǎn)生的的某一量值，與所給移移動荷載產(chǎn)生的該該量值的最大值Smax相等，即K=Smax由此式可求出任何何移動荷載的等效效荷載。例題：ABC40m15m25m159·38據(jù)上題的彎矩MCmax，求汽車—10級級的換算荷載。K=MC影響線MCmaxω=196221ⅹ40ⅹ9.38=10.5kN·mω換算荷載的數(shù)值與與移動荷載及影響響線的形狀有關。但對豎標成成固定比例的各影影響線，其換算荷載相等。y1y2=ny1證明如下設有兩影響線的豎豎標按同一比例變化化，即y2=ny1從而可知2=n1于是有K2=長度相同、頂點位位置也相同，但最最大豎標不同的各各三角形影響線是是成固定比例的，，故用同一換算荷荷載。換算荷載表（部分分）見下頁。12汽車—10級的的換算荷載（kN/m每列車車）跨徑或荷載長度（m）影響線頂點位置（標準荷載）端部1/8處1/4處3/8處跨中1200·0200·0200·0200·0200·02100·0100·0100·0100·0100·0366·766·766·766·766·7450·050·050·050·050·0638·937·335·233·333·3831·330·429·227·52501026·025·424·723·622·01321·520·419·919·319·41618·918·016·917·317·02017·116·015·816·115·22514·914·214·114·313·73013·312·712·612·712·33512·511·511·411·411·1例11—4利用換算荷載表表計算在汽車——10級荷載作作用下圖示簡支支梁截面C的最最大（?。┘袅α蛷澗?。ABC20m15m5m解：1.作FsC、MC影響線153.75MC影響線110.250.75FsC影響線⊕⊕2.計算MCmaxl=20m5/20=1/4由表查得K=15·8MC影響線面積=1/2×3·75×20=37·5㎡于是MCmax=K=15·8×37·5=590·5kN··m3.計算FsCmax取正號三角形計計算，從表中查的l=4mK=50.0l=5mK=？l=6mK=38.9K=44.5FsCmax=K=44.5××1/2×5××0.25=27.8kN4.計算FsCmin（略·作為課后習題）由直線內(nèi)插法求求得關于內(nèi)插法的說說明???abcK1K2Kh1h2hK=K2+h1+h2h2(K1+K2)=h1+h2K1h2+K2h1§11—11簡簡支梁的絕對最最大彎矩1.絕對最大大彎矩：梁的各截面最大大彎矩中的最大大者，稱為絕對最大彎彎矩。2.確定絕對對最大彎矩的一一般方法須解決：（1）絕對最大大彎矩發(fā)生的截截面；（2）該截面發(fā)發(fā)生最大彎矩的的荷載位置。應逐個截面計算算最大彎矩，然然后加以比較。。即使取有限個截面計算算也是較繁瑣的的。當梁上作用的荷荷載是集中荷載載時，問題可以以簡化。在集中荷載作用用下，彎矩圖的的頂點總是在集集中荷載作用處，可以斷定絕絕對最大彎矩必必定發(fā)生在某一一集中荷載作用點處截面上。。余下的問題只是是確定它發(fā)生在在哪一個荷載作作用點處及該點位置。3.集中荷荷載作用下絕對對最大彎矩的確確定方法如下：任選一集中荷載載，找出該集中中荷載作用點處處截面在什么位位置彎矩有最大大值，然后按同同樣方法計算其其它荷載作用處處截面的最大彎彎矩，再加以比比較，即可求出出絕對最大彎矩矩。ABF1F2FkFn取荷載Fk,其作用點處彎矩矩：Mx=RAx－Mkl/2l/2Fkx=RA/l(l－x－a)x－MkRA=R/l(l－x－a)Fk以左荷載對Fk作用點力矩總和，是與x無關的常數(shù)。Mx有極大值時即Ra有可逐個荷荷載計算算，然后后加以比比較，便可以得得出絕對對最大彎彎矩。x=l/2－a/2即當Fk與合力R對稱于于梁的中中點計算步驟驟:（1）先先找出可可能使跨跨中產(chǎn)生生最大彎彎矩的臨臨界荷載載。（2）使使上述荷荷載與梁梁上所有有荷載的的合力對對稱于中中截面，，計算此此時臨界界荷載所所在截面面的最大大彎矩。。（3）類類似地，，計算出出其它截截面的最最大彎矩矩并加以以比較，，其中最最大者即即為絕對對最大彎彎矩。ABF1F2FkFnl/2l/2FkxR例11—5求圖示簡簡支梁在在汽車——10級級荷載作作用下的的絕對最最大彎矩矩，并與與跨中截截面的最最大彎矩矩比較。。ABC20m解：（1）求求MCmax10m繪MC影響線105.0MC影響線6m4m5m4m100503070顯然重車后后輪位于影影響線頂點點時為最不不利荷載位位置3.02.50.5MCmax=50×3.0+100×5.0+30×2.5+70×0.5=760kN··m（2）求絕絕對最大彎彎矩設發(fā)生絕對對最大彎矩矩時有四個個荷載在梁上上，其合力