薄壁箱梁畸變理論

薄壁箱梁的畸變理論畸變荷載用靜力平衡法推導直腹板箱梁畸變微分方程用能量變分法推導斜腹板箱梁的畸變微分方程畸變微分方程的邊界條件及其求解方法小結本章參考文獻

畸變是伴隨扭轉而產(chǎn)生的，由于畸變的存在，截面發(fā)生翹曲而在縱向產(chǎn)生翹曲正應力和翹曲剪應力，同時在橫向還產(chǎn)生橫向框架應力畸變荷載

箱形梁在偏心荷載作用下會產(chǎn)生扭轉和畸變效應，能引起這種變形的荷載不外乎是豎直偏心荷載、水平偏心荷載和在自重作用下由于支點傾側（所謂三條腿）產(chǎn)生的扭矩等三種荷載。這三種荷載都可以通過荷載分解得到剛性扭轉荷載和畸變荷載。

(1)直腹板箱梁如下圖所示的豎向反對稱荷載為，經(jīng)荷載分解所得的剛性扭轉荷載和畸變荷載

豎向反對稱荷載的分解

圖所示的水平向偏心荷載，設其與截面扭轉中心的距離為，則按力學原理。扭矩可用角點反對稱荷載來代替。經(jīng)分解后得到剛性扭轉荷載和畸變荷載為

水平荷載的分解

對于圖所示的簡支梁一個支座脫空后的三條腿支承，經(jīng)分解后其剛性扭轉荷載和畸變荷載為

三條腿支承箱梁（2）斜腹板箱梁如圖所示的斜腹板箱梁上承受反對稱角點荷載，經(jīng)分解后也可得到剛性扭轉荷載和畸變荷載。在假定剪應力沿板厚均勻分布下，箱梁中剪力流為斜腹板箱梁豎向反對稱載的分解

剛性扭轉荷載：畸變荷載：用靜力平衡法推導直腹板箱梁畸變微分方程（1）基本假定畸變荷載是一組自相平衡的力系，因而由畸變變形產(chǎn)生的內(nèi)力也是自相平衡的。箱形梁畸變時，產(chǎn)生了兩種畸變變形：①橫向:組成箱形梁的各板元產(chǎn)生了垂直于自身平面的位移一—畸變橫向撓曲；②縱向:因各板元橫向撓曲而產(chǎn)生了相應的與梁軸線方向平行的翹曲位移——畸變翹曲。前者受到了箱形梁橫向框架剛度的抵抗，而后者則受到了箱形梁翹曲剛度的抵抗分析時，將箱形梁畸變的兩種變形及其相應的力系分開考慮。把相應于畸變橫向撓曲的內(nèi)外力稱為板元的平面外力系；相應于畸變翹曲的內(nèi)外力稱為各板元的平面內(nèi)力系。用以計算畸變位移的物理量如圖所示，角點位移為及，若令箱梁、畸變荷截與畸變位移則得到畸變角與畸變位移的關系為此畸變角是畸變分析唯一獨立變量此外，在結構分析中還假定：①組成箱形梁的各板沿自身平面的撓曲滿足平截面假定，可應用初等梁理論計算其撓度和撓曲應力；②翹曲正應力和剪應力沿壁厚均勻分布。（2）各板元平面內(nèi)力系分析沿縱向從箱形梁中取出的一微段單元，并把截斷處用相應的內(nèi)力代替，如下圖所示。根據(jù)平截面假定，箱梁截面的翹曲應力可視為各板元平面內(nèi)的撓曲應力，并沿周邊直線變化，如圖a)所示。令為翹曲應力，由于翹曲應力在截面內(nèi)自相平衡，故應滿足以下條件平面內(nèi)平衡條件式各板元平面內(nèi)力力系a)翹曲應力b)各板元平面內(nèi)內(nèi)力系因截面對稱于軸軸，而應力力反對稱于軸軸，所以平衡衡條件式的第一一、三式自然滿滿足，并且上、、下板中點處的的翹曲應力為零零。令左腹板頂頂點翹曲應力與與底點翹曲應力力之比為，，根根據(jù)平衡條件式式第二式得令，則各板元平面內(nèi)彎彎矩和剪力如圖圖b)所示，根據(jù)各板板元在其自身平平面內(nèi)的受力平平衡條件，可以以得到下列公式式頂板：由、、得得令則則得底板：由、、得得左腹板：由、、得得令則則得消去T1，T2有而再消去Qi并整理得由于角點處頂板與腹腹板、底板與腹腹板具有相同的翹曲應力。根根據(jù)初等梁理論論的撓曲應力公公式，可得到角角點翹曲應力與各板元自自身內(nèi)彎矩、、和和的的關系式式為各板在其自身身平面內(nèi)的慣性性矩應用關系，，將上式化化簡得回代并消去M1，M2整理得到根據(jù)基本假定，，箱形梁各板元元沿自身平面的的橫向撓曲滿足足初等梁理論，，所以得到各板板元內(nèi)彎矩和位位移的關系為根據(jù)畸變角和和畸畸變位移的關系系可得到在上式中消去M1，M2得從而得到板元平平面彎矩和畸變變角的關系式為為經(jīng)兩次微分得消去M3得此方程是根據(jù)箱箱形梁在畸變荷荷載作用下，產(chǎn)產(chǎn)生軸向翹曲位位移及相應的力力系（各板元平面內(nèi)力力系）平衡條件推導導得到的畸變微微分方程。（3）各板板元平面外力系系分析箱形梁各板元平平面外力系為產(chǎn)產(chǎn)生橫向撓曲的的力系（如下圖圖所示）。箱形形梁抵抗橫向撓曲的作用稱為框架作用，分析框架作用用時，不考慮頂頂板和底板的懸懸臂部分。圖b)表示從箱形梁中中取出微段單元元的的頂板、左腹腹板、底板的分分離體各自受到到角點彎矩和剪剪力作用的情形形。由于截面對對稱于軸軸，而力反對對稱于軸軸，故可可得據(jù)角點力矩平衡衡得由頂板力矩平衡衡條件得各板元平面外力力系a)框架變形；；b)平面面外力系底板力矩平衡得得腹板力矩平衡得得整理得上列兩式合并，，得到和和的的關關系為框架中的節(jié)點是是剛性固結的，，因此組成框架架的各板元相當當于兩端嵌固的的梁。根據(jù)結構構力學的坡度撓撓度公式，可得得到橫向彎矩與與橫橫向撓曲位移的的關系式中：——沿軸向單位長度度的板橫向抗彎彎慣性矩，。。、——框架、、節(jié)節(jié)點轉角由得得到由得得到上列兩式合并整整理得將、、分分別代代入和和的的表達式中有有將mAD，mBC代入qy整理得框架抗彎剛度令得得則（4）畸變變平衡微分方程程由箱形梁各板元元組成的框架抵抵抗橫向撓曲作作用（即各板元元平面外力系））推導得到代入微分方程并并經(jīng)整理得引入畸變雙力矩矩的概念，則稱為箱形梁畸變變翹曲剛度箱形梁的畸變雙雙力矩得到則畸變應力計算算公式為為截面A點畸變翹曲率為截面B點畸變翹曲率用能量變分法推推導斜腹板箱梁梁的畸變微分方方程取如下圖所示的的箱梁橫截面，，坐標系同第上節(jié)，則當梁受偏偏心荷載發(fā)生畸畸變時，各板在在自身平面內(nèi)發(fā)發(fā)生翹曲，產(chǎn)生生畸變翹曲應變能能。同時橫向框架架有橫向翹曲，，產(chǎn)生框架畸變應變能能。（1）畸變變應變能（a）橫截面框框架畸變應變能能現(xiàn)取沿跨徑方向向單位長度一一段箱梁分析析，并設角點2處的畸變角為。。框架由于畸畸變角所所具有有的應變能與梁梁上板發(fā)生的水水平位移a所所產(chǎn)生的應變能能是等同的。當結構對稱稱，而外部影響響因素（例如位位移）是反對稱稱的，框架中由由于水平位移引引起的橫向彎矩矩也是反對稱的的，如下下圖b)所示。斜腹板單室箱梁梁橫向框架變形與與橫向彎矩由于結構對稱，，取半個框架如如下圖所示，則則在單位水平荷荷載作作用下，，未知贅余剪力力為，，則有框架求解用圖乘法知由圖知，點點的水平位位移為為水平位移及豎向向位移求解但由于水平位移移為作用力是則角點的的橫向彎矩為——分別為單位位長度上各板的的慣性矩因此，橫向框架架畸變應變能式中：（b）畸變翹曲曲應變能符拉索夫采用虛虛功原理分析薄薄壁多箱式直桿桿時，曾做了三三個基本假定，，它們是：薄壁桿所屬各板板在橫截面內(nèi)的的長度不變橫截面內(nèi)各板的的法向位移沿該該板的橫向長度度服從線性變化化規(guī)律在橫截面上各板板的法向應力與與剪應力力沿板厚厚認為是常量因為畸變應力在在水平與豎向軸軸的力矩均為零零，故翹曲應力力也是自相平衡衡的，故有設，，則由下圖圖知即兩邊懸臂長度之之和翹曲應力、、已知同理,即整理后解得在角點處，由于于頂板與腹板，，底板與腹板存存在翹曲應力。。，，,的的關系式可寫寫成如下表達式式，下圖所示為板塊慣矩如果各板塊沿周周向的變位為，，，，，，，看作是板梁翹曲曲時在自身平面面內(nèi)的撓度，根根據(jù)初等梁的彎曲理理論，則將畸變角用用方方向的位位移表示（圖示示）翹曲應力引起的的彎矩經(jīng)過整理后，則則有將上式求導，并并將v1，v2，v3，v4式代入，整理后后得到則翹曲應變能為為已知則為為對于頂板①對于底板②對于腹板③令①①+②+③（c）荷載勢能（d）結構畸變變總勢能當忽略剪切變形形的應變能時，，箱梁在畸變荷荷載作用下的總總勢能可由周邊邊橫向彎曲應變變能，，板平面內(nèi)翹曲曲應變能和荷載勢能三三個部分組成，，即（2）畸變變微分方程（a）的的極值條件如果總勢能的表表達式為根據(jù)歐拉—拉格朗日（Euler-Lagrange）條件式，取取得極值的的必要條件為很明顯，、、、、及及均均為跨徑方向函函數(shù)數(shù)（b）常截面控控制微分方程將上列諸式代入入歐拉—拉格朗日條件式式中得到令則有如果引入畸變雙雙力矩的概念，，則（c）變截面控控制微分方程同樣利用歐拉—拉格朗日的條件件式，不過也也是的的變量，則故變截面畸變控控制微分方程式式為對于如圖所示的的雙室矩形箱梁梁，其畸變微分分方程式亦為雙室矩形箱梁(d)雙室矩形形箱梁其畸變微微分方程畸變微分方程的的邊界條件及其其求解方法(1)邊界界條件在工程上，常用用的邊界條件有有：①支點為剛性固固定支承，則②簡支梁端部設設置剛性橫隔梁梁時，則③自由懸臂端且且無隔梁時，則則(2)求解解建議（a）常截面畸畸變應力可用彈彈性基礎梁比擬擬法（簡稱））求解。（b）變截面畸畸變應力也能用用B.E.F比擬法求解。但但是由于地基的的彈簧是變的，，會遇到求解的的困難。用加權殘值法的配配點原理可獲得近似解。。（c）根據(jù)不同同邊界條件，用用加權殘值法求求解時，建建議如下：①對剛性性固定支支座，可可取?、趯ψ杂捎蓱冶鄱硕饲覠o橫橫隔梁時時，可取?、蹖喼еЯ憾瞬坎吭O置剛剛性橫隔隔梁時，，可取事實上，，為求得得近似解解，只取取級數(shù)的的前幾項就能滿足足解答的的要求，，有時甚甚至取級級數(shù)首項項也能得得到近似似的答案案?，F(xiàn)以剛性性固定支支座為例例，取將上列微微分諸式式代入變變截面畸畸變控制制微分方方程中，，則殘余余值為為利用配點點法令可以根據(jù)據(jù)各截面面具體數(shù)數(shù)據(jù)擬合合成一曲曲線方程程，然后后通過二二次微分分求。。代入入上式得得，，進進而求出出的應力力值。。如果取取，，其效效果可能能更好。。(3)用用彈彈性地基基梁比擬擬法（））求求解常截截面箱梁梁的畸變變應力由于常截截面箱梁梁畸變控控制微分分方程與彈性地地基梁撓撓曲的控控制微分分方程具有完全全相似的的表達式式，因此此解彈性性地基梁梁的撓度度就就等于解解箱梁的的畸變角角。。比擬擬法在解解工程問問題上常常被采用用下表給出出彈性地地基梁與與箱梁畸畸變兩種種物理模模型之間間的相似似關系。。彈性地基基梁彎曲曲和箱形形梁畸變變的相似似關系彈性地基梁彎曲箱形梁畸變微分方程相似的物理量

彈性地基梁抗彎慣矩（m4）彈性地基梁抗彎剛度（kN·m2）彈性地基梁地基彈性系數(shù)kN/m2）彈性地基梁的分布荷載（kN·m）彈性地基梁的撓度（m）彈性地基梁的彎矩箱形梁抗畸變翹曲慣矩（m6）箱形梁抗畸變翹曲剛度（kN·m4）箱形梁抗畸變框架剛度（kN·m4）箱形梁上分布的畸變垂直分力的力偶（kN·m/m）箱形梁的畸變角（弧度）箱形梁的畸變雙力矩邊界條件件相似關關系本章介紹紹了（1）偏偏心荷載載作用下下薄壁箱箱形梁的的畸變計計算理論論，分別用（2）靜靜力平衡衡法推導導了單箱箱單室直直腹板等等截面箱箱形梁的的畸變微微分方程程，用（3）能能量變分分原理推推導了斜斜腹板箱箱形梁的的畸變微微分方程程，為求符號號統(tǒng)一起起見。所所定義的的畸變角角雖雖不在在同一角角上。但但采用了了同一符符號。由結果可可見，無無