極坐標(biāo)系方程

關(guān)于極坐標(biāo)系方程第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一從這向南5000米。請(qǐng)問：去萬里怎么走？第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一請(qǐng)分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從這向南走5000米！出發(fā)點(diǎn)方向距離在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一一、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)。引一條射線OX，叫做極軸。再選定一個(gè)長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時(shí)針方向）。這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。XO第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定XOM對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長度，用表示從OX到OM的角度，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)（，）就叫做M的極坐標(biāo)。特別強(qiáng)調(diào)：表示線段OM的長度，即點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM為終邊的角。第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一①平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？②若不唯一，那有多少種表示方法？③坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？④不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？特別規(guī)定：當(dāng)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)=0，可以取任意值。想一想？第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一三、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究XOM如圖：OM的長度為4，請(qǐng)說出點(diǎn)M的極坐標(biāo)的其他表達(dá)式。思：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思考：這些極角有何關(guān)系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。本題點(diǎn)M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：極徑相同，不同的是極角第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一四、1、負(fù)極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負(fù)值。對(duì)于點(diǎn)M（，）負(fù)極徑時(shí)的規(guī)定：[1]作射線OP，使XOP=[2]在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使OM=OXPM第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一OXP=/4M四、2、負(fù)極徑的實(shí)例在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)M（－3，/4）的位置[1]作射線OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使OM=3第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一四、3、負(fù)極徑的實(shí)質(zhì)

從比較來看，負(fù)極徑比正極徑多了一個(gè)操作，將射線OP“反向延長”。OXPMOXPM

而反向延長也可以看成是旋轉(zhuǎn)，因此，所謂“負(fù)極徑”實(shí)質(zhì)是管方向的。這與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，用“負(fù)”表示“反向”。第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)情況[1]給定（,）,就可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)M。[2]給定平面上一點(diǎn)M，但卻有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對(duì)應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。OXPM(ρ,θ)…第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一一般地,若(ρ,θ)是一點(diǎn)的極坐標(biāo),則(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作為它的極坐標(biāo).如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了.第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一曲線的極坐標(biāo)方程一、定義：如果曲線Ｃ上的點(diǎn)與方程f(,)=0有如下關(guān)系(１)曲線Ｃ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中至少有一個(gè))符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線Ｃ上。

則曲線Ｃ的方程是f(,)=0。第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一探究如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？xC(a,0)O第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一題組練習(xí)1求下列圓的極坐標(biāo)方程(１)中心在極點(diǎn)，半徑為2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半徑為a；

(３)中心在(a,/2)，半徑為a；

(４)中心在Ｃ(0,０)，半徑為r。

＝2

＝2acos

＝2asin

2+0

2-20cos(-０)=r2第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

極坐標(biāo)方程分別是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個(gè)圓的圓心距是多少練習(xí)2第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)3以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是C第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)4曲線關(guān)于極軸對(duì)稱的曲線是：C第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例題1：求過極點(diǎn)，傾角為的射線的極坐標(biāo)方程。oMx﹚分析：如圖，所求的射線上任一點(diǎn)的極角都是，其極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求直線的極坐標(biāo)方程為新課講授第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一1、求過極點(diǎn)，傾角為的射線的極坐標(biāo)方程。易得思考：2、求過極點(diǎn)，傾角為的直線的極坐標(biāo)方程。第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為或第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例題2求過點(diǎn)A(a,0)(a>0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。解：如圖，設(shè)點(diǎn)為直線L上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OMox﹚AM在中有即可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)；3、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于的方程，并化簡；5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)：設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為A，直線過點(diǎn)P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。解：如圖，設(shè)點(diǎn)為直線上異于的點(diǎn)連接OM，﹚oMxA在中有即顯然A點(diǎn)也滿足上方程。第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例題3設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。oxMP﹚﹚第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一